2021年湖南省衡阳市耒阳市雅江中学高一数学理模拟试卷含解析

2021年湖南省衡阳市耒阳市雅江中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则=（）A． B．7 C． D．﹣7参考答案：A【考点】GR：两角和与差的正切函数；GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．【解答】∵∴sinα==即tanα=∴tan（）==故答案为：A【点评】考查了两角和公式的应用，属于基础题．2.函数y＝ax－2＋2(a>0，且a≠1)的图象必经过点A．(0,1)

B．(1,1)

C．(2,2)

D．(2,3)参考答案：D3.若幂函数f（x）=xm﹣1在（0，+∞）上是增函数，则（）A．m＞1 B．m＜1 C．m=1 D．不能确定参考答案：A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的单调性即可得出．【解答】解：幂函数f（x）=xm﹣1在（0，+∞）上是增函数，故m﹣1＞0，解得：m＞1，故选：A．4.下列说法中不正确的是（

）A.对于线性回归方程，直线必经过点B.茎叶图的优点在于它可以保存原始数据，并且可以随时记录C.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变D.掷一枚均匀硬币出现正面向上的概率是，那么一枚硬币投掷2次一定出现正面参考答案：D试题分析：对于A由线性回归方程的推导可知直线必经过点，作为常规结论最好记住；对于B也正确；对于C可以对新的一组数据重新计算它的方差会发现方差与原来的方差一样，不会改变，也正确，作为常规结论最好记住；对于D，主要是对概率概念的理解不正确，概率说的是一种可能性，概率大的事件一次实验中也可能不发生，概率小的事件一次试验中也可能发生，所以一枚硬币投掷2次也可能不会出现正面，因此D不正确.考点：统计与概率的基本概念.5.右图是函数y=sin（ωx+j）（x∈R）在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y=sinx（x∈R）的图像上所有点 A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变。 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变。参考答案：A略6.已知，则（

）A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：D7.设是定义在上的奇函数，当时，，则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A8.下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β参考答案：D9.已知集合A是函数的定义域，集合B是其值域，则的子集的个数为（）A．4 B．6 C．8 D．16参考答案：C10.若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A.39 B.20 C.19.5 D.33参考答案：D【分析】根据等差数列的通项公式，纵向观察三个式子的项的脚标关系，可巧解.【详解】由等差数列得：所以同理：故选D.【点睛】本题考查等差数列通项公式，关键纵向观察出脚标的特殊关系更妙，属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若，则实数的值等于_________参考答案：

12.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．参考答案：见解析．13.若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是________.参考答案：由题意可知函数的对称轴，即.14.关于的方程的两根分别为和，则关于的不等式的解集是．参考答案：15.求值cos690°=

．参考答案：【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：cos690°=cos=cos（﹣30°）=cos30°=．故答案为：16.关于下列命题：①函数f（x）=|2cos2x﹣1|最小正周期是π；②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；④关于x的方程sinx+cosx=a（0≤x≤）有两相异实根，则实数a的取值范围是（1，2）．写出所有正确的命题的题号：．参考答案：③【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的、余弦函数的周期性、奇偶性、图象的对称性，以及方程的根的存在性，正弦函数、余弦函数的图象特征，得出结论．【解答】解：①函数f（x）=|2cos2x﹣1|=|cos2x|最小正周期是?=，故排除①；②函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=sin2x，为奇函数，故排除②；③令2x﹣=kπ，求得x=+，k∈Z，可得函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0），故③正确；④关于x的方程sinx+cosx=a（0≤x≤）有两相异实根，即2sin（x+）=a有两相异实根，即y=2sin（x+）的图象和直线y=a有两个不同的交点．∵0≤x≤，∴≤x+≤，故≤a＜2，即实数a的取值范围是[，2），故排除④，故答案为：③．【点评】本题主要考查正弦函数的、余弦函数的周期性、奇偶性、图象的对称性，以及方程的根的存在性，正弦函数、余弦函数的图象特征，属于中档题．17.设函数，，若实数满足，请将0，按从小到大的顺序排列

（用“＜”连接）．参考答案：g（a）＜0＜f（b）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某中医研制了一种治疗咳嗽的汤剂，规格是0.25kg/瓶，服用剂量是每次一瓶，治疗时需把汤剂放在热水中加热到t0C才能给病人服用，若把m1kg汤药放入m2kg热水中，待二者温度相同时取出，则汤剂提高的温度t1℃与热水降低的温度t2℃满足关系式m1t1=0.8m2t2，某次治疗时，王护士把x瓶温度为100C汤剂放入温度为90°C、质量为2.5kg的热水中加热，待二者温度相同时取出，恰好适合病人服用．（1）求x关于t的函数解析式；（2）若t∈[30，40]，问：王护士加热的汤剂最多够多少个病人服用？参考答案：【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）利用条件列出方程0.25x（t﹣10）=0.8×2.5（90﹣t），可得x关于t的函数解析式．（2）解法一：设30≤t1＜t2≤40，判断函数x（t）在[30，40]上为减函数，然后求解最大值，推出结果．解法二：由，可得，利用t∈[30，40]，转化为不等式求解即可．【解答】解：（1）依题意，可得0.25x（t﹣10）=0.8×2.5（90﹣t），整理得x关于t的函数解析式为[．…（2）解法一：设30≤t1＜t2≤40，则因为30≤t1＜t2≤40，所以（t1﹣10）（t2﹣10）＞0，t2﹣t1＞0，所以，即x（t1）﹣x（t2）＞0，所以x（t1）＞x（t2），所以x（t）在[30，40]上为减函数．…所以，所以王护士加热的汤剂最多够24个病人服用．…解法二：由，可得．…由t∈[30，40]，可得，因为x+8＞0，所以3（x+8）≤72+x≤4（x+8），解得．所以王护士加热的汤剂最多够24个病人服用．…12分19.已知函数，（1）求函数的定义域；

（2）求的值；参考答案：解：（1）要使函数有意义

得且

所以函数的定义域为

（2）依题意，得

略20.（10分）设数列的前项和为,（1）若,求;

（2）若,证明是等差数列.参考答案：略21.（本小题满分12分）已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα)，α∈(,).（1）若||=||，求角α的值；（2）若·=-1，求的值.参考答案：解：（1）∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),∴||=，||=.由||=||,得sinα=cosα.又∵α∈(,)，∴α=.（2）由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα=.①又=2sinαcosα.由①式两边平方,得1+2sinαcosα=,∴2sinα