函数的图象与性质-课件完整版

3课时突破函数与导数高考小题第1课时函数的图象与性质关键能力·应用实践考向一函数及其表示【多维题组】速通关1.(2020·泰安三模)已知函数

,则函数

的定义域为(

)【解析】选D.令2x>4x,即2x<1,解得x<0.若有意义,则即.2.(2020·焦作三模)已知

为奇函数,则(

)A.2+log23 B.1C.0 D.-log23【解析】选D.因为

为奇函数,所以

所以g(2)=1-log24=-1,所以=f(-1)=-1+log22=0.f(-8)=-1+log216=3,所以=g(3)=1-log26,所以=1-log26=1-log22-log23=-log23.3.已知函数f(x)=

若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为(

)A.-

B.-1或2C.1 D.-3或1【解析】选A.由题意得f(1)=20=1,即f(a)=-1,又f(x)=2x-1>0恒成立,所以a-=-1,即a=-.【变式拓展】本题函数不变,若f(a-1)>f(1),试求a的取值范围.【解析】函数y=2x-1在区间上为增函数,函数在上为增函数,且2-1>0-.所以函数f(x)在上为增函数.由得a-1>1,解得a>2.4.已知函数

则不等式x2·f(x)+x-2≤0的解集是________.

【解析】由题意可得

所以-1≤x<或≤x≤1,即解集为{x|-1≤x≤1}.答案:{x|-1≤x≤1}【技法点拨】提素养分段函数常见的五种问题类型及解题策略

考向二函数的性质及其应用【多维题组】速通关1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则(

)【解析】选C.因为f(x)为R上的偶函数,所以因为20.6<2=log39<log313<log327=3且f(x)在上单调递增,所以所以【变式拓展】本题条件变为:若f(x)为奇函数且在R上连续,其余条件不变,则哪个选项正确?【解析】若函数f(x)为R上的奇函数且在R上连续,又在上单调递增,所以该函数在R上单调递增.又因为log313<log327=3,所以0>-log313>-3,又20.6>0,所以20.6>0>-log313>-3.所以故选项A正确.2.(2020·新高考全国Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(

)A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]【解析】选D.因为f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上单调递减,f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(-2)=0,当x>0时,f(x-1)≥0=f(2),即0<x-1≤2,解得1<x≤3,当x=0或x=1时,显然符合题意,当x<0时,f(x-1)≤0=f(-2),即-2≤x-1<0,解得-1≤x<0,所以不等式xf(x-1)≥0的解集为[-1,0]∪[1,3].3.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(

)A.是偶函数,且在

单调递增B.是奇函数,且在

单调递减C.是偶函数,且在

单调递增D.是奇函数,且在

单调递减【解析】选D.函数f(x)的定义域为,关于原点对称,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以f(x)为奇函数,x∈时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),单调递增;x∈时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=单调递减.4.已知函数g(x)是R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=-lg(1-x),函数

若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围为__________.

【解析】因为奇函数g(x)满足当x<0时,g(x)=-lg(1-x),所以当x>0时,-x<0,g(-x)=-lg(1+x),所以当x>0时,g(x)=-g(-x)=lg(1+x),所以所以f(x)在其定义域上是增函数,所以f(2-x2)>f(x)等价于2-x2>x,解得-2<x<1,所以实数x的取值范围为(-2,1).答案:(-2,1)5.(2020·晋中一模)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=loga(x-1)

且f(log0.516)=-2,则a=________.

【解析】函数f(x)是奇函数,当x>0时,且.因为log0.516=-4<0,log216=4>0,且函数f(x)是奇函数,所以

即=2,a2=3,因为a>0且a≠1,所以a=.答案:

【技法点拨】提素养函数性质的应用函数性质应用指南奇偶性(1)具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切;(2)研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上.尤其注意偶函数f(x)的性质:f(|x|)=f(x)单调性(1)比较大小;(2)求函数最值;(3)解不等式;(4)证明方程根的唯一性周期性利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解提醒:函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到,函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.考向三函数的图象及应用(重难突破)【多维题组】速通关1.(2020·天津高考)函数y=

的图象大致为(

)

【考场思维】解题方法排除法性质应用·奇偶性定对称·特殊值定正负·端点值定趋势素养考查直观想象、逻辑推理【解析】选A.设f(x)=y=.由函数的解析式可得:f(-x)==-f(x),又其定义域关于原点对称,则函数f(x)为奇函数,其图象关于坐标原点对称,选项C,D错误;当x=1时,y==2>0,选项B错误.2.(2020·福州一模)如图所示的函数图象,对应的函数解析式可能是(

)A.y=2x-x2-1 B.y=2xsinxC.y=

D.y=

【考场思维】解题方法排除法性质应用·对称性定奇偶性·定义域定分布·图象位置定符号素养考查直观想象、逻辑推理【解析】选D.因为y=2xsinx为偶函数,其图象关于y轴对称,所以排除B.因为函数y=的定义域为所以排除C.对于y=2x-x2-1,当x=-2时,y=2-2-(-2)2-1<0,所以排除A.3.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(

)A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)【考场思维】解题方法数形结合法解题流程知式画图→借助图象判断素养考查直观想象、逻辑推理【解析】选C.将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值,

得作出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.

【技法点拨】提素养1.寻找函数图象与解析式对应关系的两种方法(1)知式选图“四维度”①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;②从函数的单调性,判断图象的变化趋势;③从函数的奇偶性,判断图象的对称性;④从函数的周期性,判断图象的循环往复.(2)知图选式“四维度”①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;②从图象的变化趋势,观察函数的单调性;③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;④从图象的循环往复,观察函数的周期性.2.利用函数的图象研究函数的性质①从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;②从图象的对称性,分析函数的奇偶性;③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.3.利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解,但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题,从而利用数形结合法求解.【变式训练】1.(2020·广州一模)已知某个函数的部分图象如图所示,则这个函数的解析式可能是(

)A.y=xlnx B.y=xlnx-x+1C.y=lnx+

-1 D.y=-

+x-1

【解析】选D.对于选项A,当x=2时,2ln2=ln4>lne=1,由图象可知选项A不符合题意;对于选项B,当x=e时,elne-e+1=1,由图象可知选项B不符合题意;对于选项C,当x=e时,lne+-1=<1,由图象可知选项C不符合题意.2.若函数

若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(

)A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)【解析】选C.方法一:由题意作出y=f(x)的图象如图.显然当a>1或-1<a<0时,满足f(a)>f(-a).故选C.方法二:对a分类讨论:当a>0时,log2a>,即log2a>0,所以a>1.当a<0时,

>log2(-a),即log2(-a)<0,所以-1<a<0.综上所述,a的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).

题组训练·素养提升【新题速递】1.(2020·郑州二模)已知f(x+2)是偶函数,f(x)在(-∞,2]上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是(

)【解析】选D.f(x+2)是偶函数,所以f(x)关于直线x=2对称;因此,由f(0)=0得f(4)=0;又f(x)在(-∞,2]上单调递减,则f(x)在(2,+∞)上单调递增;所以当2-3x≥2即x≤0时,由f(2-3x)>0得f(2-3x)>f(4),所以2-3x>4,解得x<-

;当2-3x<2即x>0时,由f(2-3x)>0得f(2-3x)>f(0),所以2-3x<0,解得x>;因此f(2-3x)>0的解集是2.(2020·银川一模)现有四个函数:①y=xsinx,②y=xcosx,③y=x|cosx|,④y=x·2x的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是(

)

A.④①②③ B.①④③②C.③④②① D.①④②③

【解析】选D.函数y=xsinx是偶函数,由图象知,函数①对应第一个图象;函数y=xcosx为奇函数,且当x=π时,y=-π<0,故函数②对应第三个图象;函数y=x|cosx|为奇函数,故函数③与第四个图象对应;函数y=x·2x为非奇非偶函数,与第二个图象对应.3.已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(

)A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(5,+∞) D.[5,+∞)【解析】选D.由x2-4x-5>0,得x<-1或x>5,令t=x2-4x-5,因为外层函数y=lgt是其定义域内的增函数,所以要使函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则需内层函数t=x2-4x-5在(a,+∞)上单调递增且恒大于0,则(a,+∞)⊆(5,+∞),即a≥5.所以a的取值范围是[5,+∞).4.(2020·福州二模)已知函数

的值域为R,则实数a的取值范围是____________.

【解析】当x≥1时,f(x)=≥1,因为函数的值域为R,所以当x<1时,y=(1-2a)x+3a必须取遍(-∞,1)内的所有实数,则解得0≤a<.答案:

【创新迁移】1.已知函数f(x)的定义域为R且满足f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x),若f(1)=4,则f(6)+f(7)=(

)A.-8 B.-4 C.0 D.4【解析】选B.f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,f(0)=0,f(x)=f(2-x)=-f(x-2),则f(x-2)=-f(x-4)=-f(x),函数周期为4.所以f(6)+f(7)=f(2)+f(-1)=f(0)-f(1)=0-4=-4.2.函数f(x)的定义域为R,且

若方程f(x)=x+a有两个不同实根,则a的取值范围是________.

【解题导引】1.确定解析式;2.画出该函数的图象;3.数形结合求解参数范围.【解析】当x≤0时,f(x)=2-x-1,当0<x≤1时,-1<x-1≤0,f(x)=f(x-1)=2-(x-1)-1.当1<x≤2时,-1<x-2≤0,f(x)=f(x-1)=f(x-2)=2-(x-2)-1.故x>0时,f(x)是周期函数,如图,

欲使方程f(x)=x+a有两解,即函数f(x)的图象与直线y=x+a有两个不同交点,故a<1,则a的取值范围是(-∞,1).答案:(-∞,1)专题能力提升练二十函数的图象与性质(40分钟80分)一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1.函数f(x)=

的定义域为(

)A.(0,2] B.(0,2)C.(0,1)∪(1,2] D.(-∞,2]【解析】选C.由得0<x≤2且x≠1,故选C.2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为(

)A.4 B.-4 C.6 D.-6【解析】选B.由题意,f(0)=30+m=0,解得m=-1,故当x≥0时,f(x)=3x-1,所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.3.设函数f(x)=

-1(a>0,且a≠1)过定点(2,0),且f(x)在定义域R上是减函数,则g(x)=loga(x+k)的图象是(

)

【解析】选A.由题意可知-1=0,解得k=2,所以f(x)=-1,又f(x)在定义域R上是减函数,所以0<a<1.此时g(x)=loga(x+2)在定义域上是减函数,且恒过点(-1,0).4.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n).若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m,n的值分别为(

)A.

,2B.

,4C.

,

D.

,4【解析】选A.f(x)=|log2x|=根据f(m)=f(n)(m<n)及f(x)的性质,知mn=1且0<m<1,n>1.又f(x)在[m2,n]上的最大值为2,由图象知:f(m2)>f(m)=f(n),所以f(x)max=f(m2),x∈[m2,n].故f(m2)=2,易得n=2,m=.5.已知函数f(x)=

对于任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]>0成立,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,3] B.(-∞,3)C.(3,+∞) D.[1,3)【解析】选D.由(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]>0,得(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,所以函数f(x)为R上的减函数,则解得1≤a<3.6.设函数f(x)=ln(1+|x|)-

,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(

)A.

B.

∪(1,+∞)C.

D.

∪

【解析】选A.f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,所以f(x)>f(2x-1)⇔f(|x|)>f(|2x-1|)⇔|x|>|2x-1|⇔<x<1.7.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(

)A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a【解析】选C.因为f(x)是奇函数,且在R上递增,所以x>0时,f(x)>0,从而g(x)=xf(x)在R上为偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,a=g(-log25.1)=g(log25.1),20.8<2,又4<5.1<8,所以2<log25.1<3,即0<20.8<log25.1<3,g(20.8)<g(log25.1)<g(3),所以b<a<c.8.在实数集R上定义一种运算“★”,对于任意给定的a,b∈R,a★b为唯一确定的实数,且具有下列三条性质:(1)a★b=b★a;(2)a★0=a;(3)(a★b)★c=c★(ab)+(a★c)+(c★b)-2c.关于函数f(x)=x★

,有如下说法:①函数f(x)在(0,+∞)上的最小值为3;②函数f(x)为偶函数;③函数f(x)为奇函数;④函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);⑤函数f(x)不是周期函数.其中正确说法的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.对于新运算“★”的性质(3),令c=0,则(a★b)★0=0★(ab)+(a★0)+(0★b)=ab+a+b,即a★b=ab+a+b.所以f(x)=x★=1+x+,当x>0时,f(x)=1+x+≥1+2=3,当且仅当x=,即x=1时取等号,所以函数f(x)在(0,+∞)上的最小值为3,故①正确;函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(1)=1+1+1=3,f(-1)=1-1-1=-1,所以f(-1)≠-f(1)且f(-1)≠f(1),所以函数f(x)为非奇非偶函数,故②③错误;根据函数的单调性,知函数f(x)=1+x+的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),故④正确;由④知,函数f(x)=1+x+不是周期函数,故⑤正确.综上所述,所有正确说法的个数为3.二、多项选择题(共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列函数中,既是偶函数,又在区间[0,1]上单调递减的是(

)A.y=cosx B.y=-x3C.y=

D.y=|sinx|【解析】选AC.对于A,y=cosx为余弦函数,是偶函数,在区间[0,1]上单调递减,符合题意;对于B,y=-x3,为奇函数,不符合题意;对于C,y=是偶函数,在(0,+∞)上y=为减函数,符合题意;对于D,y=|sinx|是偶函数,在(0,1)上y=sinx为增函数,不符合题意.10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则(

)A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x)的图象关于直线x=1对称D.f(31)=-1【解析】选ABCD.A,C显然正确,由f(x+1)=f(1-x)及f(-x)=-f(x),得f(x+2)=f[(x+1)+1]=f[1-(x+1)]=f(-x)=-f(x),则f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(31)=f(4×8-1)=f(-1)=-f(1)=-log2(1+1)=-1,故BD正确.11.设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x∈D,存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“H函数”.下列为“H函数”的是(

)A.y=sinxcosx B.y=lnx+exC.y=2x D.y=x2-2x【解析】选AB.由题意,得“H函数”的值域关于原点对称.A中,y=sinxcosx=sin2x∈,其值域关于原点对称,故A是“H函数”;B中,函数y=lnx+ex的值域为R,故B是“H函数”;C中,因为y=2x>0,故C不是“H函数”;D中,y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,其值域不关于原点对称,故D不是“H函数”.综上所述,A,B是“H函数”.12.若函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f(x)+2g(x)=ex,则(

)A.f(x)=

B.g(x)=

C.f(-2)<g(-1) D.g(-1)<f(-3)【解析】选AD.因为函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f(x)+2g(x)=ex

①,所以f(-x)+2g(-x)=e-x,即f(x)-2g(x)=e-x

②.联立①②得解得

所以f(-2)=,f(-3)=,g(-1)=<0,所以g(-1)<f(-2),g(-1)<f(-3).三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.(2020·枣庄二模)已知函数f(x)=则f(log23)=________.

【解析】因为f(x)=且log23>0,所以