数学专题球习题精讲

数学专题球习题精讲数学专题球习题精讲12/12数学专题球习题精讲球习题精选精讲球面距离的计算经模模范1．位于同一纬度线上两点的球面距离例1已知，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B的球面距离．解析：要求两点，B的球面距离，过，B作大圆，依照弧长公式，要点要求圆心角

的大小（见图

1），而要求

往往第一要求弦的长，即要求两点的球面距离，经常要先求这两点的直线距离．解作出直观图（见图

2），设

为球心，

为北纬

圈的圆心，连接

，，

，

，．由于地轴

平面

．∴

与

为纬度

，

为二面角

的平面角．∴

（经度差）．△中，．△中，由余弦定理，．△中，由余弦定理：，∴．∴的球面距离约为2．位于同一经线上两点的球面距离

．例2

求东经

线上，纬度分别为北纬

和的两地

，B的球面距离．（设地球半径为

）．（见图

3）解经过两地的大圆就是已知经线．，．3．位于不相同经线，不相同纬线上两点的球面距离例3地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4）解设

为球心，

，分别为北纬

和北纬

圈的圆心，连接

，，．△

中，由纬度为

知

，∴，．△中，，∴，∴

．注意到

与

是异面直线，它们的公垂线为

，所成的角为经度差

，利用异面直线上两点间的距离公式．（为经度差）．△中，．∴．∴的球面距离约为．球面距离公式的推导及应用球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常有问题是求地球上两点的球面距离。关于地球上过A、B两点大圆的劣弧长由球心角AOB的大小确定，一般地是先求弦长AB，尔后在等腰△AOB中求∠AOB。下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。地球球面上的点的地址由经度、纬度确定，我们引入有向角度看法与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经30o为经度α=-30o，南纬40o为纬度β=-40o），这样简单自然，记球面上一点A的球面坐标为A（经度α，纬度β），两标定点，清楚直观。设地球半径为

R，球面上两点

A、B的球面坐标为

A（α1，β1），B（α2，β2），α1、α2∈[-

π，π]，β1、β2∈[-

，]，如图，22设过地球

O的球面上

A处的经线与赤道交于

C点，过

B的经线与赤道交于

D点。设地球半径为

R；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ=α1-α2。别的，以O为原点，以OC所在直线为X轴，地轴所在直线ON为Z轴建立坐标系O-XYZ（如图）。则A（Rcosβ1,0,Rsinβ1）,B(Rcos2cos（α1-α2）,Rcosβ2sin（α1-α2）,Rsinβ2)cos∠AOB=cos〈OA，OB〉=cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2∠AOB=arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2]其中反余弦的单位为弧度。于是由弧长公式，得地球上两点球面距离公式：AB=R·arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2]（I）上述公式推导中只要写出A，B两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能得出结论，简单了然，易于理解，公式特色明显.从公式的推导中我们领悟到坐标法在解决立几问题的非凡表现。由公式（I）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦AB，只要两点的经纬度即可。公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A、B两点的经度或纬度相同时，有：1、β1=β2=β，则球面距离公式为：AB

=R·arcos[cos

2βcos（α1-α2）+sin2β]

（II

）2、α1-α2=α，则球面距离公式为：AB=R·arcos

（cosβ1cosβ2+sinβ1sin

β2）=R·arcoscos

（β1-β2）

（III

）例1、

设地球半径为

R，地球上

A、B两点都在北纬

45o的纬线上，

A、B两点的球面距离是

R，A在东经

20o，求

B点的地址。3解析：α1=20o，β1=β2=45o，由公式（II）得：R=R·arcos[cos245ocos（20o-α2）+sin245o]3cos=1cos（20o-α2）+1322cos（20o-α2）=0,20o-α2=±90o即：α2=110o或α2=-70o因此B点在北纬45o，东经110o或西经70o球1．一个球的内接正方体（正方体的极点都在球面上）的表面积为6，则球的体积为________．由已知得正方体棱长为1，因球的直径等于正方体的对角线长，因此直径2r3，∴3．球体积r23V4πr34π33π．33222．在赤道上，东径140°与西径130°的海面上有两点A、B，A、B的球面距离是________（设地球半径为R）．．设球心为O，∵A、B在赤道这个大圆上，∴∠AOB＝（180°－140°）+（180°－130°）＝90°，∴的球面距离为πR．2

πAOB，∴A、B23．设正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）．A．4cm3B．8cm3C．32cm3D．6cm3333A．由正方体全面积为24cm2，则棱长为2cm，内切于正方体的球的直径为2cm，则球的半径为1，其体积为4π134πcm3．334．一个正方体的极点都在球面上，其棱长为2cm，则球的表面积为（）．A．8cm2B．12cm2C．16cm2D．20cm2．B．球的直径与正方体的对角线长相等，∴2R32，∴R3，球表面积S4π(3)212π(cm2)．5．设地球半径为R，在北纬60°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长是πR，则这两地的球面距离是（）．A．3RC．7R2B．πRD．2R435．B．如图答9-70，设北纬60°圈的圆心为O，球心为O，则OAOBRcos60Rπ，∵A、B在纬度圈上的弧长为R，22πR则AOB2π，∴AO、B三点共线，∵OA＝OB，OAO60，R2ππ∴△AOB是正三角形，∴AOB，∴A、B的球面距离等于R．336．一个正方体的内切球与它的外接球的体积比是（）．A．1∶33B．1∶22C．1∶33D．1∶2844πa31133．A．设正方体的棱长为2a，则其内切球半径为a，外接球半径为3a，二球体积比为3:．4π(3a)3(3)337．球面上有A、B、C三点，AB＝BC＝2cm，AC22cm，球心O到截面ABC的距离等于球半径的一半，求球的体积．．∵A、B、C是球面上三点，∴OA＝OB＝OC．设截面圆圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，∴O1AO1BO1C，∴O1是△ABC的外接圆圆心．∵AB＝BC＝2，AC22，∴AB2BC2AC2，∴∠ABC是直角．RR2826AOOOO1A90，，，OA＝R，∴有(2)2R2，解得R2，，在△中，22333球体积V4π26646π(cm3)．33278．半径为1的球面上有三点A、B、C，其中A和B、A和C的球面距离为π，B和C的球面距离为π，求球心到平面ABC的距离．233．设球心为O，由球面距离的定义可知AOBπAOCπBOCπ，，．223∵OA⊥OB，OA⊥OC，∴OA⊥平面BOC．∴三棱锥O－ABC的体积V1313．3412在△ABC中，AB2,AC2,BC＝1，取BC中点M，则AM⊥BC，MB17．，AM22设点O到平面ABC的距离为h，∵VOABCVABOC，∴11AMBCh3，3212∴h321．即点O到平面ABC的距离为21．777球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：rR2d2，（计算公式）3）球的截面是圆面：球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆。9.已知倒立的圆锥形容器的轴截面是一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半经为

r的一个球，此时，水面恰好与球相切，求取出球后水面的高度。解：以下列图，圆锥轴截面为正三角形

ABP，设球心为

O，PC为圆锥的高，取出球后，水面为

EF，其高度为

PH，连接

OC、OA。则OCr，OA2r，AB23r，PC3r∴VPABC1BC2·PC3r33∵V球434r3V锥PABCV球5r3PH3V锥PEF5r。∵V球，∴V锥PEF又∵PC3V锥PABC9333∴PH35PC315r3，∴PH315r。故取出球后水面高为315r。910.在北纬45°的纬度圈上有A、B两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球的半径为R，求A、B两点的球面距离。解析：要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去解析，只要求得∠AOB的度数，AB的长度，即可求球面距离。解：设北纬45°圈的圆心为O'，地球中心为O，则∠AO'B=160°－70°=90°∠OBO'=45°，OB=R∴O'B=O'A=2R，ABR，连接AO、AB2则AOBOABR，∴∠AOB60°∴AB1·2R1R故A、B两点间球面的距离为1R。63311．已知地球的半径为，球面上两点都在北纬45°圈上，它们的球面距离为，点在东经30°上，求点的地址及两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度．解析：求点的地址，如图就是求的大小，只要求出弦的长度．关于应把它放在中求解，依照球面距离看法计算即可．解：如图，设球心为，北纬45°圈的中心为，由两点的球面距离为，因此=，为等边三角形．于是．由，．即=．又点在东经30°上，故的地址在东经120°，北纬45°也许西经60°，北纬45°．两点在其纬线圈上所对应的劣弧．说明：此题主要目的在于明确经度和纬度看法，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案．12．自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．解析：此题欲计算所求值，应第一把它们放在一个封闭的图形内进行计算，因此应引导学生构造熟悉的几何体并与球有亲近的关系，便于将球的条件与之相联．解：认为从一个极点出发的三条棱，将三棱锥补成一个长方体，则别的四个极点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．=．说明：此题突出构造法的使用，以及浸透利用切割补形的方法解决立体几何中体积计算．例7．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，尔后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．解析：要点在于能依照要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球必然组成正周围体的四个极点且正周围体的棱长为两球半径之和2．解：由题意，四球心组成棱长为2的正周围体的四个极点，则正周围体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为．13.一个球的半径为R，A、B是球面上的两个点，假如A、B沿球面的最短距离为R，求过A、B两点的平面到球心的最大距离。⌒11RAB球面AOB3R（设球心为O）R3解：3要使O到平面ABO’的距离最长（O’为过AB的圆的圆心），只须过A、B的小圆最小，即AB=2r则OO'OBcos303R即所求最大距离为3在O'OB中，OBR2R2AO’Bo30O14.设A、B是地球北纬60o圈上两点，点A、B的经度分别是东经40o和西经20o，求A、B两点的球面距离。解：设O’为北纬60o圈所在圆圆心，r为半径，地球半径为R在AO'O中，AO'O90，AOR，AOO'30O'Ar1R又AO'B402060ABr1R22在AOB中，AOB1⌒2Rarcsin12arcsin于是AB球面44O’AB30oO在小圆中求的长解三角形，求用弧长公式l⌒小结：12AOB3R，求AB球面求棱长为a的正周围体内切球的体积。解：设正周围体ABCD高为AO’=h，内切球心为O，半径为r则O'B2·3a3a在RtAO'B中，AO'AB2BO'2a2(3a)26a32333VABCD4·VOBCD即1Sh4S·rr1h6aV内切球4r36a3334123216AODBO’C注：正周围体外接球与内切球半径之比为3：1。在球面上有四个点P、A、B、C，若PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的体积和表面积。解：设过P、A、B三点的圆为圆O1【关于“球”的常有问题】问题：地球半径为R，A、B两地都在北纬45°线上，且A、B的球面距离为，求A、B两地经度的差.解答:解析：如图，O为球心，O1为北纬45°小圆的圆心，知A、B的球面距离，即可求得∠AOB的弧度数，进而求得线段AB的长，在AO1B中，∠AO1B的大小就是A、B两地的经度差.解设O1是北纬45°圈的中心，∵A、B都在此圈上，∴O1A＝O1B＝R.∵A、B的球面距离为，∴∠AOB＝＝＝,AOB为等边三角形22＝2222，.AB＝R，在AO1B中，∵O1A+O1BR+R＝R＝AB∴∠AO1B＝90°.∴A、B两地的经度差是90°.评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是特别重要的问题.问题：已知圆锥的母亲长为l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.解答:解设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，∠OAD＝，R＝OD＝AD·tan,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又设正方体棱长为222R.∴V正方体＝3.x，则3x＝EG＝4R,x＝(lcosθtan)问题：如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)222求三棱锥P—ABC的体积的求证：PA+PB+PC为定值；(2)最大值.解答:解析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直径，连PO并延长交⊙O22于D，PADB是矩形，PD＝AB＝1122PC和PD确定是大圆就可以了.PA+PB，尔后只要证得解(1)设过PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB，∴AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，则PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2.设O为球心，则OO⊥平面⊙O，∵PC⊥⊙O平面，∴OO∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PC⊥PD.∴CD是球1111的直径.故2222222定值.PA+PB+PC＝PD+PC＝CD＝4R(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥P—ABC的体积V＝xyz，V2＝x2y2z2≤( )3＝·＝R6.∴V≤R3.即V最大＝R3.评析：定值问题可用特别情况先“研究”，如此题(1)若先考虑PAB是大圆，研究得定值4R2可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质.问题：求棱长为a的正周围体的外接球和内切球的半径.解答:解如图，作AH⊥底面BCD于H，则AH＝a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4··Sr＝S·AH，∴r＝AH＝a,设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面CD于H，则H为圆BCD的圆心，求得BH＝a,AH＝a,由订交弦定理得a×(2R-a)＝(a)2.解得R＝a.问题：球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )D.解答:解设球半径为R，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点A、B、C，O为球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝＝OB∴ΔAOB是等边三角形同理，BOC、COA都是等边三角形，得ABC为等边三角形.

，又∵OA边长等于球半径R，r为ABC的外接圆半径.r＝AB＝问题：已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且

RR＝r＝2∴应选B.AB＝BC＝CA＝2，则球表面积是

(

)A.解答:解

π如图，过

B.πABC三点的截面圆的圆心是

O′，球心是

πO，连接AO′、OO′，则OO′⊥

D.πAO′.

ABC中，AB＝BC