《走向清华北大》高考总复习 不等式　推理与证明

第七模块不等式推理与证明(必修5：第三章不等式；选修1－2：第二章推理与证明)编辑ppt第三十一讲不等关系与不等式编辑ppt名师指导·练基础编辑ppt回归课本1.不等式的定义在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>､≥､<､≤､≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式.编辑ppt2.比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.另外,若b>0,则有 >1a>b;=1a=b;<1a<b.注意:在应用作差法比较实数大小时,一定要变形到能直接判断差的符号为止,变形过程中要保持等价性.编辑ppt3.不等式的性质性质1:对称性如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.性质2:传递性如果a>b,且b>c,那么a>c.也可等价表示为:如果c<b,且b<a,那么c<a.编辑ppt性质3:加法法则如果a>b,那么a+c>b+c.推论1:移项法则如果a+b>c,那么a>c-b.推论2:同向可加性如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.编辑ppt性质4:乘法法则如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且c<0,那么ac<bc.推论1:同向可乘性如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.编辑ppt推论2:乘方法则如果a>b>0,那么an>bn(n∈N*,且n>1).推论3:开方法则如果a>b>0,那么(n∈N*,且n>1).注意:运用上述性质解决问题时,必须注意性质成立的条件.如:同向不等式相乘时,注意a>b>0,c>d>0.编辑ppt考点陪练编辑ppt1.已知a≥b,则可以推出()A. B.ac2≥bc2C. D.(ac)2≥(bc)2答案:B编辑ppt2.“a>2且b>2”是“a+b>4,且ab>4”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A3.若x+y>0,a<0,ay>0,则x-y的值为()A.大于0B.等于0C.小于0D.符号不能确定答案:A编辑ppt4.已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0.那么下列选项中一定成立的是()A.ab>ac B.c(b-a)<0C.cb2<ab2 D.ac(a-c)>0答案:A编辑ppt答案:D编辑ppt名师讲解·练思维编辑ppt类型一 用不等式表示不等关系解题准备:1.我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子,叫做不等式.2.a≤b的含义是指“或者a<b,或者a=b”,等价于“a不大于b”;a≥b的含义是指“或者a>b,或者a=b”,等价于“a不小于b”.编辑ppt【典例1】某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过1000万元的奖金购买单价分别为40万元､90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.编辑ppt编辑ppt [反思感悟](1)将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表:编辑ppt文字语言数学符号文字语言数学符号大于>至多≤小于<至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤编辑ppt (2)注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关系强调的是关系，可用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”表示，不等式则是表示不等关系的式子，对于实际问题中的不等关系可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑到实际意义，本题中就容易忽视x，y∈N*.编辑ppt类型二 不等式性质的应用解题准备:不等式的性质就其逻辑关系而言,可分为推出关系(充分条件)和等价关系(充要条件)两类,同向可加性和同向可乘性可推广到两个或两个以上的不等式,同向可乘时,应注意a>b>0,c>d>0.深刻理解不等式的性质时,把握其逻辑关系,才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题.编辑ppt【典例2】下列各命题是否成立?如不成立,能否适当添加条件使命题成立?(1)若ac2>bc2,则a>b;(2)若a>b,则-ac>-bc;(3)若a>b,则(4)若a>b,c>d,则ac>bd.编辑ppt[解](1)命题成立(2)“c<0”(3)“ab>0”(4)需添加“c>0,b>0”或“a>0且d≥0”或“c>0且b≥0”可使命题成立.对照不等式的运算性质,还可添加“b≥0且d≥0”也可使命题成立.编辑ppt类型三 比较大小解题准备:作差法比较大小的步骤是:作差→变形→判断差的符号→下结论.作商法比较大小的步骤是:作商→变形→判断商与1的大小→下结论.其中变形是关键,变形方法主要是通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于与0或1比较大小.编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt类型四 利用不等式的性质求范围解题准备:1.在处理此类问题时,严格根据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证.2.此类问题中的参数不是相互独立的,而是相互制约的,故不可分割开来.应先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等式关系的运算求得待定整体的范围.这是避免此类题目出错的一条途径.编辑ppt【典例4】设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.[分析]利用f(-1)与f(1)表示出a,b,然后再代入f(-2)的表达式中,从而用f(-1)与f(1)表示f(-2),最后运用已知条件确定f(-2)的取值范围.此题还可用线性规划求解.编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt名师纠错·补漏洞编辑ppt错源 链式不等式组认识不到位编辑ppt[剖析]因为条件中有α<β,解题时往往忽略这个条件,致使解错.在研究范围问题时,一定要看清变量间有无内在联系,要确定准独立变量,以免产生错误.编辑ppt名师技法·练智力编辑ppt技法一 平方作差法两正数大小的比较,可用平方比较法去掉绝对值或根号.【典例1】设0<x<1,且a>0,a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.[解题切入点]因为两式皆正,故可采用平方作差法,去除绝对值符号.编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt技法二化简比较法[解题切入点