小学数学讲义暑假五年级第4讲枚举法进阶超常体系

第四讲枚举法进阶站牌级秋季合进阶级秋季数进阶级春季

五年级暑假枚举法进阶级寒假数初步合初步用枚举法计算较复杂的几何，数论等问题释义第9级上超常体系教师版1引入枚举法虽然是一种最简单，最基本的计数方法，但在生活中有很多的应用．例如，破译电脑密.够的时间和存储空间，枚举密码原则上是可行的.目标1. 掌握枚举法不重不漏的方法：分类，2. 灵活运用枚举法解决各种计数问题．精讲枚举常用的方法有列表法、树形图、标数法、找规律及公式法．（1）列表法例：有一张伍拾元，4张贰拾元，8张拾元．要拿出80元，可以有多少种不同的拿法？（2）树形图如他第一天在A市，第五天又回到A市，问他有几种不同的游览方案？2 第9级上超常体系教师版第一天第二天第三天第四天第五天

（3）标数法例：如图，从A到B的最短路线有多少条？（4）找规律:适用于规律性强，情形较多的题．用逐一列举来解．但通过适当的分类，逐一分析后，可利用公式解答．思路模块1：例1-2，树形图，标数法；模块2：例3-5，分类，定序枚举；1甲、乙二人打乒乓球,谁先连胜头两局谁赢,若没有人连胜头两局,则谁先胜三局谁赢,打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？【分析】法1：枚举法(树形图)．如下图,我们先考虑甲胜第一局的情况：第9级上超常体系教师版3图中打√的为胜者,一共有7种可能的情况．同理,乙胜第一局也有7种可能的情况．一共有77=14的情况．法2：标数法．如下图,设横线为甲胜,竖线为乙胜．则图中Ｃ,Ｄ,Ｂ分别表示甲乙比分为 3:1, 为7种,共有14种可能．

22 ,不同的走法？【分析】从A出发,第一条路线有3种选择；若从A第一步去往C地；则有6种； E F A F E 所以共有16种方法。24 第9级上超常体系教师版 如图，8个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有____条。(学案对应：超常2)【分析】直接用标数法，即可。观察发现，从A点出发的三个面左面、下面、前面所标数相等，则 18

A 【铺垫】在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条？CA

B

A等于到它左侧点的走法数与到它下侧点的走法数之和．而C是一个特殊的点，因为不能通行，所以不可能有路线经过C，可以认为到达C点的走法数是0．接下来，可以从左下角开始，按照加法原理，依次向上向右填上到各点的走法数．如图，从A到B的最短路线有6条．第9级上超常体系教师版5举法与密码破译穷举法是一种针对于密码的破译方法。这种方法很像数学上的“完全归纳法”，并在密码能找到真正的密码。利用这种方法我们可以运用计算机来进行逐个推算，也就是说我们破解一个密码也都只是一个时间问题。当然如果破译一个有8位而且可能拥有大小写字母、数字以及符号的密码用普通的家用电脑可能会用掉几个月甚至更多的时间去计算，其组合方法可能有几千万亿种组合。这样长”密码范围，很大程度上缩短了破译时间。3把等边三角形的每一条边都6等分，过各分点作边的平行线，然后擦掉其中的3条线段，到如下图形．数一数图中共有多少个三角形？【分析】法1：分类枚举按三角形的边长分类枚举，设最小的等边三角形边长为1，则边长为2的三角形有1032310212个；边长为3的三角形有023207个；边长为4的三角形有1236个；边长为5的三角形有123个；边长为6的三角形有1个；如果把这3条线段补上，共有78个三角形；擦掉3条线段后，三角形减少了6 第9级上超常体系教师版有多少个三角形？【分析】按三角形的边长分类枚举，设最小的等边三角形边长为1，则边长为2的三角形有1234512321个；边长为3的三角形有1234111个；边长为4的三角形有1236个；边长为5的三角形有123个；边长为6的三角形有1个；【巩固】数一数图中共有多少个正方形？1面积为1的正方形有4个；面积为2的正方形有4个；面积为4的正方形有5个；面积为8的正方形有1个；面积为16的正方形有1个；综上，图中共有4451115个正方形．4有一批长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10与11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边,可围成一个三角形．如果规定其中一边是11厘米长,你能围成多少个不同的三角形?(提示：三角形两边边长之和大于第三边),第9级上超常体系教师版7(10,10),(10,11)；9,9(9,10(9,11(8,8),(8,9),(8,10),(8,11)；(7,7),(7,8),(7,9),(7,10),(7,11)；(6,6),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(6,11)；(5,7,5,8)(5,9,(5,105,114,8,4,9,4,10,(3,9(3,10(3,112,10((1,11)．【铺垫】袋中有3个红球,4个黄球和5个白球,小明从中任意拿出6个球,他拿出球的情况共有________种可能．【分析】白球的数最多,红球的数最少,可以通过红球分类,最后用白球的数来补充剩下的．枚举如下(注：当其他球确定后,白球也就定下来了．此表中白球并未写出)：红球(不超过3)黄球(不超过4)白球(不超过5)3,41,2,3,41,2,3,42,35(1)从1～10中每次取两个不同的整数相加,和大于10的共有多少种取法？(3)从1～10中每次取两个不同的整数相加,和大于11的共有多少种取法？(5)从1～100中每次取两个不同的偶数相加,和大于101的共有多少种取法？(6)从1～100中每次取两个不同的奇数相加,和大于101的共有多少种取法？(7)从1～100中每次取两个不同的整数相加,和不超过150的共有多少种取法？【分析

(1)设第一个数较小,将和大于10的取法分为9类,枚举如下：因此,根据加法原理,共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10．通过枚举也要能发,,8 第9级上超常体系教师版择．因此此题答案为1+2+3+…+49+50+49+…+3+2+1=2500.(3)同(1)题的方法,枚举如下：,101010,10共有1+2+3+4+4+3+2+1=20种取法．此题中间的“拐弯”数有两个,需要注意．(4)同(3)题,答案为1+2+3+…+49+49+…+3+2+1=2450.(5)枚举找规律．98,1000054,56,…,10052,54,…,10054,…,100因此答案为1+2+3+…+24+25+24+…+3+2+1=625(律．97,9995,97,9953,55,…,9953,55,…,99因此答案为1+2+3+…+24+24+…+3+2+1=600(7)枚举找规律．50--10051--1002--993--98第9级上超常体系教师版94--9775,76因此答案为(99+98+97+…+51)+(50+48+…+4+2)=3675+650=43256自然数12,456,1256这些数有一个共同的特点,相邻两个数字,左边的数字小于右边的数字．我们取名为“上升数”． 个“上升数”(2)三位数中共有_______个“上升数(3)最大的“上升数”是___________．(4)自然数中共有 个“上升数”“一共有法2：组合．几个数字不同,那么每一种选择都会对应一个唯一的“上升数”．①当选2个数字时,共有C26种选择；②当选3个数字时,共有C34种选择；③当选4个数字时,共有C41种选择；,(2)组合．共有C384个3456789(4)法1：将两位,三位,四位,…,九位“上升数”相加．法2：加乘原理．123456789中任意删掉某个数字,剩下的还是“上升数”,因此每个数字都有“删”与“留”2种选择．9个数共有29512种选择,但是存在全删完(1种)和删掉8个(9种)的情况,因此共有512-1-9=502个“上升数”.7大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚,现在要将它们穿成一串,要求相同颜色的珠子不能相邻,共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？(学案对应：带号4)【分析】枚举：按照蓝球位置分类,位置对称的只考虑一种。①（1,3,5）共2×2=4种②（1,3,6）共2×2=4种③（1,3,7） 2种④（1,4,6）共2×2=4种⑤（1,4,7） 3种⑥（2,4,6） 4种2810第9级上超常体系教师版箭手、法师、猎人、牧师．为公平起见,分组比赛的规则是：两人或三人分为一组,若两人一组,则这个人,其中有三名游侠、三名牧师,其它七类高手各一名．若此时再有一人加入,所有这些人共分为五组比赛,那么新加入这个人的级别可以有____________种选择【分析】现在总共是有14个人,且分为五组,则必然是下面的这种情况：第①组第②组 第③组第④组第⑤组①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨．接下来分情况讨论： 里填①①,则其它组可以是：④⑤⑥、、⑨⑨也可以是：、④⑤⑥⑦⑧⑨⑨⑨③或⑥ 里填⑨⑨,则其它组可以是：①①①②③⑦⑧⑨那么加入或也可以是：①①①、②③④⑤⑥⑦、⑧⑨那么加入⑦第①组第②组 里填①①①⑨⑨⑨那么其它组可以是：⑤、⑥⑦⑧那么加入9第9级上超常体系教师版11Q先生和S先生、P先生在一起做游戏.Q先生用两张小纸片，各写一个数.这两个数都人只能看见对方额头上的数Q先生不断地问：你们谁能猜到自己头上的数吗?“.”P先生说：“我也猜不到.”S先生又说：“我还是猜不到.”P先生又说：“我也猜不到.”S先生仍然猜不到；P先生也猜不到.S先生和P先生都已经三次猜不到了.可是，到了第四次，S先生喊起来：“我知道了!”P先生也喊道：“我也知道了!”问：S先生和P先生头上各是什么数?1.如图,从起点走到终点,要求取出每个站点上的旗子,并且每个站点只允许通过一次,有种不同的走法。 ,：

共4种不同的走法。12第9级上超常体系教师版2.小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书,共10册．已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元,而且每种书至少买了一本．那么,共有多少种不同的购买方法？【分析

4种书每种1本,共3571126（元）,702644,44元买6本书,共4种:3.明明带8元钱去商店买冰激凌．有三种冰激凌,售价分别是5元一支、2元一支和1元一支．如8,？【分析】有顺序地思考买法,如下表：5元1支2元1支1元1支5218(元)248(元)22148(元)所以,共有7种不同的买法．4.给定三种重量的砝码（每种数量都有足够多个）3kg,11kg,17kg,将它们组合凑成100kg,有列表如下：还原后可得到如下的式子．100324111171,100313114171,32117171100,37111174100,311113172100,39112173100,一共有6种。5.称n个相同的数a相乘叫做a的n次方,记作an,并规定a01．如果某个自然数可以写成2的两个不同次方(包括零次方)的和,我们就称这样的数为“双子数”,如92320,362522,它们都是双子数．那么小于1040的双子数有_____个．【分析】设10402a2b(ab),那么a≤10a10时,b0,1,2,3；a9时,b0,1,2,3,4,5,6,7,8；a8时,b0,1,2,3,4,5,6,7；a1时,b

因此小于1040双子数有129449个6.有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如第9级上超常体系教师版13257,1459等等,这类数共有 【分析】法1：按自然数的最高位数分类：⑴最高位为1的有：10112358,112358,12358,1347,1459,156,167,178,189共9个2⑶最高位为3的有：303369,31459,3257,3369,347,358,369共7个⑼最高位为9的有：9099共1个所以这类数共有98762145个45个.7.一个三位数,若它的中间数字恰好是首尾数字的平均值,则称它是“好数”。则好数总共有____个。当十位为2时,共有：123；222；321；420共4个；当十位为3时,共有：135；234；333；432；531；630共6个；当十位为4时,共有：147；246；345；444；543；642；741；840共8个；当十位为5时,共有：159；258；357；456；555；654；753；852；951共9个；当十位为6时,共有：369；468；567；666；765；864；963；共7个；当十位为8时,共有：789；888；987共3个；当十位为9时,共有：999共1个；所以,中间数字恰好是首尾数字的平均值的好数共有：45个。法2：由题意得,首尾两数字同奇偶,定出首尾,则中间数确定．因此首位有9种选择,不管首位选择什么数,末尾都有5个对应的数．因此共有9×5=45个．点总结枚举法的核心是分类，有序枚举常用的方法：列表法、树形图、标数法、倒推法、公式法．作业1.一个学生假期往A、B、C三个城市游览．他今天在这个城市,明天就到另一个城市．假如他第14第9级上超常体系教师版 【分析】 AA2.如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法?()的读法．向下走四步的路线，而向下和向右一个排列顺序则代表了一种路线．所以总共有C470种不同的读法．3.把等边三角形的每一条边都5等分，过各分点作边的平行线，然后再擦掉一条线段，得到如下图形．数一数图中共有多少个三角形？按三角形的边长分类枚举，设最小的等边三角形边长为1，则边长为2的三角形有122319个；边长为3的三角形有1225个；边长为4的三角形有123个；边长为5的三角形有1个；如果把这条线段补上，共有48个三角形；擦掉线段后，三角形减少241007个，第9级上超常体系教师版154.三条边的边长均为整数,且最长边的边长是8厘米,这样的三角形共有多少种？【分析8,（1,）（8,）5.从1～30中每次取两个不同的整数相加,和为奇数且大于30的共有多少种取法？【分析】和为奇数，表明取出的数1奇1偶．设第一个数较小．枚举如下：16共1+1+2+2+…+7+8+7+…+2+2+1+1=120种取法．6.在所有的两位数中,十位数字比个位数字大的两位数有多少个？【分析】适合要求的两位数中,个位数字小于十位数字可将它们列出来：十位数字个位数字1 2 3 ………9

7.某工厂生产一批玩具,玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球,其中3个是红球,10个是白球。如相同的。那么一共可以生产多少种不同的圆环？【分析】按照白球个数分类。10442 550730 910433640 541 532622 16第9级上超常体系教师版8.1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，可以得到多少个不同的乘积?【分析】法1：按插入乘号的个数进行分类：43种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：1234，1234，1234．⑵若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从3个空档中选2个空当插入乘号31234，1234，1234．111234．个空，所以共有：222=8，去掉都不放的一种情况，所以共有：81=7（种）选择班学案,封信都装错了信封,问一共有多少种错装信封的可能？, 所以,共有9种可能．注：也可只分析A拿到2号的情况,共3种,由地位的对等性,A拿到3,4号也都是3种情况,舞蹈、杂技、小品4个节目．如果要求唱歌不排在第4项,舞蹈不排在第3项,杂技不排在第2项,小品不排在第1项,那么,满足上述要求的节目单,共有____种不同的排法．一样．【巩固】甲、乙、丙、丁四个同学排成一排,从左往右数,如果甲不排在第一个位置上,乙不排在第二个位置上,丙不排在第三个位置上,丁不排在第四个位置上,那么不同的排法共有____种．一样．第9级上超常体系教师版1736 有_____条。

20 56 128 128 【分析】最短路线有384条。有多少种不同的选法？【分析】设每边长度为n,

12394n

解得7

n11.25

共1+1+5+1+1=9种选法．【超常班学案4】自然数21,654,7520这些数有一个共同的特点,相邻两个数字,左边的数字大于右边的数字我们取名为“下降数 个“下降数”(2)三位数中共有_______个“下降数(3)最大的“下降数”是___________．(4)自然数中共有 个“下降数”一共有法2：组合．几个数字不同,那么每一种选择都会对应一个唯一的“下降数”．⑴当选2个数字时,共有C26种选择；⑵当选3个数字时,共有C34种选择；⑶当选4个数字时,共有C41种选择；,

120个“下降数”.76543210(4)2101101013个.18第9级上超常体系教师版123班学案【超常123班学案1】如图所示,一只蚂蚁从