微积分基本定理课件

微积分基本定理微积分基本定理微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)(1)条件：函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且___________.(2)结论：=__________.(3)符号表示：

=_________.(4)作用：建立了____与____间的密切联系，并提供了计算定积分的有效方法.F(b)-F(a)F′(x)=f(x)F(b)-F(a)积分导数微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)F(b)-F(a)F′(1.被积函数f(x)的原函数F(x)唯一吗？提示：不唯一.因为当F′(x)=f(x)时，［F(x)+C］′=f(x)(C为常数)，所以F(x)+C也是f(x)的一个原函数.实际上，=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a).2.=_______.【解析】∵(x+sinx)′=1+cosx,∴==π+2.答案：π+21.被积函数f(x)的原函数F(x)唯一吗？3.=______.【解析】∵=x2-x,∴=.答案：4.若=3，则k＝_____.【解析】∵(x2+kx)′=2x+k,∴=1+k=3,∴k=2.答案：23.=______.导数与定积分的联系(1)由于[F(x)+C]′=f(x)，所以F(x)+C也是函数f(x)的一个原函数，其中C为常数.(2)利用微积分基本定理求定积分的关键是找出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x)，因此可见求导运算与求原函数运算互为逆运算.(关键词：互逆运算)

导数与定积分的联系求简单函数的定积分【技法点拨】利用微积分基本定理求简单函数的定积分的注意点和步骤(1)注意点：当被积函数的原函数不易求解时，可将被积函数适当变形后再求解.具体的方法是能化简的化简，不能化简的变为指数函数、对数函数、幂函数、正余弦函数的和或差的形式.(关键点：适当变形)求简单函数的定积分(2)步骤：第一步：求出f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算F(b)-F(a).(2)步骤：【典例训练】（建议教师以第2题为例重点讲解）1.的值为()(A)1+ln2 (B)2+ln2(C)3+ln2 (D)4+ln22.计算下列定积分：(1)；(2)；(3)；(4).【典例训练】（建议教师以第2题为例重点讲解）【解析】1.选D.∵f(x)=，取F(x)=x2+x+lnx，则F′(x)=2x+1+，∴=4+ln2.2.(1)∵[+2x]′=x+2，∴=(×22+2×2)-(×12+2×1)=.【解析】1.选D.∵f(x)=(2)∵(x2)′=2x,()′=-，∴=.(3)∵[]′=(x-1)5，∴=.(2)∵(x2)′=2x,()′=-，(4)∵=(1-cosx),[(x-sinx)]′=(1-cosx)，∴=.(4)∵=(1-cosx),【互动探究】若将题2(1)变为，求定积分.【解析】∵[(t+2)x]′=t+2，∴=t+2.

【互动探究】若将题2(1)变为，求定积分.【思考】(1)解答题1的注意点是什么？(2)解答题2的关键是什么？提示：(1)当原函数不易求出时，可将被积函数适当变形后再求解.(2)关键是正确求解被积函数的原函数，分清积分的上限与下限.【思考】(1)解答题1的注意点是什么？

几类特殊被积函数的定积分【技法点拨】1.三类特殊被积函数的定积分的求法(1)直接用微积分基本定理不易求解时，可以转化为用定积分的几何意义求定积分.(2)被积函数为分段函数时，通常是依据定积分的性质(3)，先分段积分，再求和，要注意各段定积分的上限和下限.(3)被积函数含绝对值时，需要去掉绝对值符号，即讨论f(x)的正负，转化为分段函数求定积分的问题.几类特殊被积函数的定积分2.正确认识，与不同的几何意义表示x轴，直线x=a,x=b及曲线y=f(x)所围成图形面积的代数和，可正、可负、可零.表示区间[a,b]上以|f(x)|为曲边的曲边梯形的面积.表示的绝对值.2.正确认识，与【典例训练】（建议教师以第3题为例重点讲解）1.设f(x)=则的值为()(A) (B) (C) (D)22.计算定积分=______.3.求下列定积分：(1)；(2).【典例训练】（建议教师以第3题为例重点讲解）【解析】1.A.∵=.2.解题流程：去绝对值∵f(x)=|x+3|=性质应用【解析】1.A.∵去绝性质答案：5分段积分分别取,,则F1＇(x)=-x-3,F2＇(x)=x+3，

===5.求和答案：5分段分别取,3.(1)①当-a≤-4即a≥4时，

=;②当-4＜-a＜3即-3＜a＜4时，

==;3.(1)①当-a≤-4即a≥4时，③当-a≥3即a≤-3时，==-7a+,综上，

③当-a≥3即a≤-3时，(2)=====-2.(2)【归纳】解答题1的关键点及题2的注意点.提示：(1)求分段函数的定积分的关键是利用定积分的性质将其表示为几段积分和的形式.(2)对于含绝对值的解析式，注意先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值符号，化为分段函数；含有字母参数的绝对值问题，要注意分类讨论.【归纳】解答题1的关键点及题2的注意点.

定积分的综合应用【技法点拨】定积分综合应用的认识利用定积分求平面区域面积的方法广泛应用于求不规则图形的面积，这种题型往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识相结合.应用时要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两类问题区分开.定积分是一种和的极限，可以为正，也可以为负或零，而平面图形的面积总为正.(关键词：定积分计算与平面图形的面积)定积分的综合应用【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解)1.设f(x)是一次函数，且=5，，则f(x)的解析式为______________.2.已知f(x)=，F(a)=，求函数F(a)的最小值.【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解)【解析】1.∵f(x)是一次函数，设f(x)=kx+b(k≠0)，则==k+b=5，=k+b=，解方程组得k=4,b=3，∴f(x)=4x+3.答案：f(x)=4x+3【解析】1.∵f(x)是一次函数，设f(x)=kx+b(k2.∵f(x)===6x2+4ax-(6a2-4a2)=6x2+4ax-2a2，∴F(a)====2×13+2a×12+a2×1=a2+2a+2=(a+1)2+1≥1，∴当a=-1时，F(a)取得最小值1.

2.∵f(x)=【想一想】(1)解答题1用到的思想方法是什么？(2)解答题2的关键点是什么？提示：(1)解答题1是利用待定系数法求函数的解析式，其实质是方程思想的应用.(2)关键是通过求定积分构造出关于a的函数F(a).【想一想】(1)解答题1用到的思想方法是什么？

分类讨论思想在分段函数积分中的应用【典例】(12分)已知f(x)=求使恒成立的k值.分类讨论思想在分段函数积分【解题指导】【解题指导】【规范解答】(1)当k∈(2,3]①时，

===，…………

4分整理得k3+3k+4=0，即k3+k2-k2+3k+4=0，∴(k+1)(k2-k+4)=0，∴k=-1.而k∈(2,3]，∴k=-1舍去.………………

5分【规范解答】(1)当k∈(2,3]①时，(2)当k∈[-2,2]①时，==(22+2)-(k2+k)+(3+×33)-(2+×23)=，………

8分∴k2+k=0，解得k=0或k=-1，…………

10分综上所述，k=0或k=-1③.…………………

12分(2)当k∈[-2,2]①时，【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②③见规范解答过程)【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示微积分基本定理课件【规范训练】(12分)已知=2a+6且f(t)=为偶函数，求a,b.【解题设问】(1)由已知条件可以得到什么？两个定积分的值可用a,b表示，进而得到关于a,b的两个方程.(2)利用微积分基本定理求两个定积分时，应注意什么？注意到g(x)=x3+ax为奇函数，进而求时，结合定积分的性质可以很容易求出.【规范训练】(12分)已知【规范答题】∵g(x)=x3+ax为奇函数，∴=0，…………2分∴===0+(3a-b)[1-(-1)]=6a-2b，……………………4分∴6a-2b=2a+6，即2a-b=3.①……………

6分又f(t)==为偶函数，…………

8分∴3a-b=0.②………………10分联立①②，解得a=-3,b=-9.

【规范答题】∵g(x)=x3+ax为奇函数，

微积分基本定理微积分基本定理微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)(1)条件：函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且___________.(2)结论：=__________.(3)符号表示：

=_________.(4)作用：建立了____与____间的密切联系，并提供了计算定积分的有效方法.F(b)-F(a)F′(x)=f(x)F(b)-F(a)积分导数微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)F(b)-F(a)F′(1.被积函数f(x)的原函数F(x)唯一吗？提示：不唯一.因为当F′(x)=f(x)时，［F(x)+C］′=f(x)(C为常数)，所以F(x)+C也是f(x)的一个原函数.实际上，=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a).2.=_______.【解析】∵(x+sinx)′=1+cosx,∴==π+2.答案：π+21.被积函数f(x)的原函数F(x)唯一吗？3.=______.【解析】∵=x2-x,∴=.答案：4.若=3，则k＝_____.【解析】∵(x2+kx)′=2x+k,∴=1+k=3,∴k=2.答案：23.=______.导数与定积分的联系(1)由于[F(x)+C]′=f(x)，所以F(x)+C也是函数f(x)的一个原函数，其中C为常数.(2)利用微积分基本定理求定积分的关键是找出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x)，因此可见求导运算与求原函数运算互为逆运算.(关键词：互逆运算)

导数与定积分的联系求简单函数的定积分【技法点拨】利用微积分基本定理求简单函数的定积分的注意点和步骤(1)注意点：当被积函数的原函数不易求解时，可将被积函数适当变形后再求解.具体的方法是能化简的化简，不能化简的变为指数函数、对数函数、幂函数、正余弦函数的和或差的形式.(关键点：适当变形)求简单函数的定积分(2)步骤：第一步：求出f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算F(b)-F(a).(2)步骤：【典例训练】（建议教师以第2题为例重点讲解）1.的值为()(A)1+ln2 (B)2+ln2(C)3+ln2 (D)4+ln22.计算下列定积分：(1)；(2)；(3)；(4).【典例训练】（建议教师以第2题为例重点讲解）【解析】1.选D.∵f(x)=，取F(x)=x2+x+lnx，则F′(x)=2x+1+，∴=4+ln2.2.(1)∵[+2x]′=x+2，∴=(×22+2×2)-(×12+2×1)=.【解析】1.选D.∵f(x)=(2)∵(x2)′=2x,()′=-，∴=.(3)∵[]′=(x-1)5，∴=.(2)∵(x2)′=2x,()′=-，(4)∵=(1-cosx),[(x-sinx)]′=(1-cosx)，∴=.(4)∵=(1-cosx),【互动探究】若将题2(1)变为，求定积分.【解析】∵[(t+2)x]′=t+2，∴=t+2.

【互动探究】若将题2(1)变为，求定积分.【思考】(1)解答题1的注意点是什么？(2)解答题2的关键是什么？提示：(1)当原函数不易求出时，可将被积函数适当变形后再求解.(2)关键是正确求解被积函数的原函数，分清积分的上限与下限.【思考】(1)解答题1的注意点是什么？

几类特殊被积函数的定积分【技法点拨】1.三类特殊被积函数的定积分的求法(1)直接用微积分基本定理不易求解时，可以转化为用定积分的几何意义求定积分.(2)被积函数为分段函数时，通常是依据定积分的性质(3)，先分段积分，再求和，要注意各段定积分的上限和下限.(3)被积函数含绝对值时，需要去掉绝对值符号，即讨论f(x)的正负，转化为分段函数求定积分的问题.几类特殊被积函数的定积分2.正确认识，与不同的几何意义表示x轴，直线x=a,x=b及曲线y=f(x)所围成图形面积的代数和，可正、可负、可零.表示区间[a,b]上以|f(x)|为曲边的曲边梯形的面积.表示的绝对值.2.正确认识，与【典例训练】（建议教师以第3题为例重点讲解）1.设f(x)=则的值为()(A) (B) (C) (D)22.计算定积分=______.3.求下列定积分：(1)；(2).【典例训练】（建议教师以第3题为例重点讲解）【解析】1.A.∵=.2.解题流程：去绝对值∵f(x)=|x+3|=性质应用【解析】1.A.∵去绝性质答案：5分段积分分别取,,则F1＇(x)=-x-3,F2＇(x)=x+3，

===5.求和答案：5分段分别取,3.(1)①当-a≤-4即a≥4时，

=;②当-4＜-a＜3即-3＜a＜4时，

==;3.(1)①当-a≤-4即a≥4时，③当-a≥3即a≤-3时，==-7a+,综上，

③当-a≥3即a≤-3时，(2)=====-2.(2)【归纳】解答题1的关键点及题2的注意点.提示：(1)求分段函数的定积分的关键是利用定积分的性质将其表示为几段积分和的形式.(2)对于含绝对值的解析式，注意先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值符号，化为分段函数；含有字母参数的绝对值问题，要注意分类讨论.【归纳】解答题1的关键点及题2的注意点.

定积分的综合应用【技法点拨】定积分综合应用的认识利用定积分求平面区域面积的方法广泛应用于求不规则图形的面积，这种题型往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识相结合.应用时要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两类问题区分开.定积分是一种和的极限，可以为正，也可以为负或零，而平面图形的面积总为正.(关键词：定积分计算与平面图形的面积)定积分的综合应用【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解)1.设f(x)是一次函数，且=5，，则f(x)的解析式为______________.2.已知f(x)=，F(a)=，求函数F(a)的最小值.【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解)【解析】1.∵f(x)是一次函数，设f(x)=kx+b(k≠0)，则==k+b=5，=k+b=，解方程组得k=4,b=3，∴f(x)=4x+3.答案：f(x)=4x+3【解析】1.∵f(x)是一次函数，设f(x)=kx+b(k2.∵f(x)===6x2+4ax-(6a2-4a2)=6x2+4ax-2a2，∴F(a)====2×13+2a×12+a2×1=a2+2a+2=(a+1)2+1≥1，∴当a=-1时，F(a)取得最小值1.

2.∵f(x)=【想一想】(1)解答题1用到的思想方法是什么？(2)解答题2的关键点是什么？提示：(1)解答题1是利用待定系数法求函数的解析式，其实质是方程思想的应用.(2)关键是通过求定积分构造出关于a的函数F(a).【想一想】(1)解答题1用到的思想方法是什么？

分类讨论思想在分段函数积分中的应用【典例】(12分)已知f(x)=求使恒成立的k值.分类讨论思想在分段函数积分【解题指导】【解题指导】【规范解答】(1)当k∈(2,3]①时，