数列的递推公式实用课件

数列的递推公式数列的递推公式1递推公式．前一项an－1

(或前几项)

如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项an

与它的_____________________间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．练习：已知数列{an}的第1项是2，递推公式为an＝1－

1an－1，则a2＝______，a3＝______.－112递推公式．前一项an－1(或前几项) 如果已知数列{an}21．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？答案：数列的递推公式不是

n的函数的关系式．2．通项公式与递推公式有何异同？

答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项．不同：通项公式是n的函数的关系式，可直接求出任一项；而递推公式可根据第一项(或前n项)的值，通过一次(或多次)赋值逐项求出数列的值，直至求出所需的项an.1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？ 答案：相同：二3题型1已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式

例1：已知下列数列的递推公式，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式．

(1)数列{an}满足an＋1＝2an＋1，n∈N*，且a1＝－1；(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋

1n(n－1)(n≥2)．题型1已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式 例1：已知下4

数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归纳的前提． 数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首5【变式与拓展】

1．根据递推公式，分别写出它的前5项，并归纳出通项公式：

(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝

2anan＋2(n∈N*)．解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4，a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16.由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，可归纳出an＝(n－1)2.【变式与拓展】(2)a1＝1，an＋1＝ 2an(n∈N*)6题型2已知递推公式，用累加法求通项公式

例2：已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求数列{an}的通项公式．

思维突破：先对an＝an－1＋3从2到n进行取值，得到n－1个式子，再把这n－1个式子相加，消去中间项．

自主解答：由递推关系

an＝an－1＋3(n≥2)，得

a2＝a1＋3，

a3＝a2＋3，

…题型2已知递推公式，用累加法求通项公式 例2：已知在数列{a7

若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式，且可求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．an－1＝an－2＋3，an＝an－1＋3.将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3，消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)．∵a1＝5，∴an＝3n＋2. 若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式，且可an－8【变式与拓展】2．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，求an.解：由递推关系，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，得

a2＝a1＋cosπ，a3＝a2＋cos2π，…，an－1＝an－2＋cos(n－2)π，an＝an－1＋cos(n－1)π，将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得

a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋cosπ＋a2＋cos2π＋…＋an－2＋cos(n－2)π＋an－1＋cos(n－1)π，【变式与拓展】2．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝an9将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得例1：已知下列数列的递推公式，写出此数列的前4项，可归纳出an＝(n－1)2.若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式，且可公式，试写出这个数列的前4项，并归纳出递推公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得例3：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an.a2＋a3＋…＋an－1＋an消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)．可归纳出an＝(n－1)2.1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？列{an}的通项公式．将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得解：由递推关系，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，得(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋它的_____________________间的关系可以用一个公式来表示，由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，∈N*)，求数列{an}的通项公式．将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得10题型3已知递推公式，用累乘法求通项公式

例3：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an.

思维突破：对an＋1＝2an从1到n－1进行取值，得到n－1个式子，再把这n－1个式子相乘，消去中间项．题型3已知递推公式，用累乘法求通项公式 例3：已知a1＝2，11【变式与拓展】3.设{an}是首项为1的正项数列，且满足关系：an＝3an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．【变式与拓展】3.设{an}是首项为1的正项数列，且满足关12数列的递推公式实用课件131．根据递推公式，分别写出它的前5项，并归纳出通项公式：1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？例3：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an.1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？2．通项公式与递推公式有何异同？可归纳出an＝(n－1)2.项或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16.何一项．不同：通项公式是n的函数的关系式，可直接求出任可归纳出an＝(n－1)2.如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项an与项或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任a2＋a3＋…＋an－1＋an而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归答案：数列的递推公式不是n的函数的关系式．练习：已知数列{an}的第1项是2，递推公式为an＝1－已知递推公式，用累加法求通项公式而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？2．通项公式与递推公式有何异同？(1)数列{an}满足an＋1＝2an＋1，n∈N*，且a1＝－1；a2＋a3＋…＋an－1＋an它的_____________________间的关系可以用一个公式来表示，1．根据递推公式，分别写出它的前5项，并归纳出通项公式：例3：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an.1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任并推测数列的通项公式．多次)赋值逐项求出数列的值，直至求出所需的项an.则a2＝______，a3＝______.1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)．答案：数列的递推公式不是n的函数的关系式．求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．并推测数列的通项公式．

例4：根据图2－1－1中的框图，建立所打印数列的递推公式，试写出这个数列的前4项，并归纳出递推公式．图2－1－1

易错点评：没有准确把握相邻两项(即an＋1

与an)之间的联系和区别．1．根据递推公式，分别写出它的前5项，并归纳出通项公式：14数列的递推公式数列的递推公式15递推公式．前一项an－1

(或前几项)

如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项an

与它的_____________________间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．练习：已知数列{an}的第1项是2，递推公式为an＝1－

1an－1，则a2＝______，a3＝______.－112递推公式．前一项an－1(或前几项) 如果已知数列{an}161．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？答案：数列的递推公式不是

n的函数的关系式．2．通项公式与递推公式有何异同？

答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项．不同：通项公式是n的函数的关系式，可直接求出任一项；而递推公式可根据第一项(或前n项)的值，通过一次(或多次)赋值逐项求出数列的值，直至求出所需的项an.1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？ 答案：相同：二17题型1已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式

例1：已知下列数列的递推公式，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式．

(1)数列{an}满足an＋1＝2an＋1，n∈N*，且a1＝－1；(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋

1n(n－1)(n≥2)．题型1已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式 例1：已知下18

数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归纳的前提． 数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首19【变式与拓展】

1．根据递推公式，分别写出它的前5项，并归纳出通项公式：

(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝

2anan＋2(n∈N*)．解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4，a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16.由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，可归纳出an＝(n－1)2.【变式与拓展】(2)a1＝1，an＋1＝ 2an(n∈N*)20题型2已知递推公式，用累加法求通项公式

例2：已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求数列{an}的通项公式．

思维突破：先对an＝an－1＋3从2到n进行取值，得到n－1个式子，再把这n－1个式子相加，消去中间项．

自主解答：由递推关系

an＝an－1＋3(n≥2)，得

a2＝a1＋3，

a3＝a2＋3，

…题型2已知递推公式，用累加法求通项公式 例2：已知在数列{a21

若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式，且可求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．an－1＝an－2＋3，an＝an－1＋3.将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3，消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)．∵a1＝5，∴an＝3n＋2. 若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式，且可an－22【变式与拓展】2．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，求an.解：由递推关系，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，得

a2＝a1＋cosπ，a3＝a2＋cos2π，…，an－1＝an－2＋cos(n－2)π，an＝an－1＋cos(n－1)π，将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得

a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋cosπ＋a2＋cos2π＋…＋an－2＋cos(n－2)π＋an－1＋cos(n－1)π，【变式与拓展】2．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝an23将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得例1：已知下列数列的递推公式，写出此数列的前4项，可归纳出an＝(n－1)2.若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式，且可公式，试写出这个数列的前4项，并归纳出递推公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得例3：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an.a2＋a3＋…＋an－1＋an消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)．可归纳出an＝(n－1)2.1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？列{an}的通项公式．将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得解：由递推关系，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，得(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋它的_____________________间的关系可以用一个公式来表示，由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，∈N*)，求数列{an}的通项公式．将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得24题型3已知递推公式，用累乘法求通项公式

例3：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an.

思维突破：对an＋1＝2an从1到n－1进行取值，得到n－1个式子，再把这n－1个式子相乘，消去中间项．题型3已知递推公式，用累乘法求通项公式 例3：已知a1＝2，25【变式与拓展】3.设{an}是首项为1的正项数列，且满足关系：an＝3an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．【变式与拓展】3.设{an}是首项为1的正项数列，且满足关26数列的递推公式实用课件271．根据递推公式，分别写出它的前5项，并归纳出通项公式：1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？例3：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an.1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？2．通项公式与递推公式有何异同？可归纳出an＝(n－1)2.项或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16.何一项．不同：通项公式是n的函数的关系式，可直接求出任可归纳出an＝(n－1)2.如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项