2020届一轮复习人教A版 相似三角形定理与圆幂定理本章整合 课件

本章整合本章整合2020届一轮复习人教A版相似三角形定理与圆幂定理本章整合课件专题一专题二专题三专题四专题五专题一

利用相似三角形证明等积线段或成比例线段利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式是解决这类问题的基本方法.解决这类问题一般可分为三步:(1)把等积式化为比例式,从而确定相关的两个三角形相似.(2)确定两个相关的三角形的方法是:把比例式横看或者竖看,将两条线段中的相同字母消去一个,由余下的字母组成三角形.(3)设法找到证明这两个三角形相似的条件.专题一专题二专题三专题四专题五专题一利用相似三角形证明等积专题一专题二专题三专题四专题五提示由条件知AB∶AC=BD∶AD,转化为证明BD∶AD=DF∶AF,即证△FAD∽△FDB.证明∵∠BAC=90°,∠ADB=90°,∴∠C=∠BAD,∴Rt△ADB∽Rt△CAB.∴AB∶AC=BD∶AD.又E是AC的中点,∴AE=DE=EC.∴∠DAE=∠ADE.∴∠BAD=∠CDE=∠BDF.又∠F=∠F,∴△FDB∽△FAD.∴BD∶AD=DF∶AF,专题一专题二专题三专题四专题五提示由条件知AB∶AC=BD∶专题一专题二专题三专题四专题五应用2

如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BC边的垂直平分线EM和AB,CA的延长线分别交于D,E两点,连接AM.求证:AM2=DM·EM.专题一专题二专题三专题四专题五应用2如图,在△ABC中,∠专题一专题二专题三专题四专题五证明∵∠BAC=90°,M是BC的中点,∴AM=CM,∴∠MAC=∠C.∵EM⊥BC,∴∠E+∠C=90°.又∠BAM+∠MAC=90°,∴∠E=∠BAM.∵∠EMA=∠AMD,∴△AMD∽△EMA.专题一专题二专题三专题四专题五证明∵∠BAC=90°,M是B专题一专题二专题三专题四专题五专题二

利用相似三角形证明线段相等证明两条线段相等,一般情况下,利用等角对等边或全等三角形的性质来解决.但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法得不出来,或过程比较烦琐,此时可以借助相似三角形的有关比例线段来解决.专题一专题二专题三专题四专题五专题二利用相似三角形证明线段专题一专题二专题三专题四专题五应用3

如图,AD,CF是△ABC的两条高,在AB上取一点P,使AP=AD,再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.求证:PQ=CF.提示利用相似三角形的性质,并结合AP=AD进行证明.专题一专题二专题三专题四专题五应用3如图,AD,CF是△A专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五应用4

如图,△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,以AB为边向外作正方形ABDE,连接EC交AB于点P,过点P作PQ

∥BC交AC于点Q.求证:PQ=PB.提示要证明PQ=PB,直接证明不容易证,可以先证明有关的三角形相似得出比例式,再由等式的性质证明其相等.专题一专题二专题三专题四专题五应用4如图,△ABC为直角三专题一专题二专题三专题四专题五证明∵PQ

∥BC,BC

∥AE,∴PQ

∥AE.

∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠CAE.而由题意,知AE=DE,∴PQ=PB.专题一专题二专题三专题四专题五证明∵PQ∥BC,BC∥A专题一专题二专题三专题四专题五专题三

平行线分线段的规律性质平行线分线段的相关定理即平行截割定理,其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律.主要用来证明比例式成立,证明直线平行,计算线段的长度,也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法.专题一专题二专题三专题四专题五专题三平行线分线段的规律性质专题一专题二专题三专题四专题五应用5

如图,在△ABC中,M是AC边的中点,E是AB边上的一点,且AE=AB,连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证:BC=2CD.专题一专题二专题三专题四专题五应用5如图,在△ABC中,M专题一专题二专题三专题四专题五应用6

如图,在△ABC中,DE∥BC,DH∥GC.求证:EG∥BH.专题一专题二专题三专题四专题五应用6如图,在△ABC中,D专题一专题二专题三专题四专题五专题四

与圆有关的角的计算与证明圆中的角有四类:圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角,与圆有关的角的计算与证明通常涉及这四类角,因此圆周角定理、圆心角定理和弦切角定理是解决此类问题的知识基础,通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系来转化,并借助圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决.专题一专题二专题三专题四专题五专题四与圆有关的角的计算与证专题一专题二专题三专题四专题五

专题一专题二专题三专题四专题五

专题一专题二专题三专题四专题五应用8

如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使BD=DC,连接AC,AE,DE.求证:∠E=∠C.证明如图,连接OD,因为BD=DC,O为AB的中点,所以OD∥AC,于是∠ODB=∠C.因为OB=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C.因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角,故∠E=∠B.所以∠E=∠C.专题一专题二专题三专题四专题五应用8证明如图,连接OD,因专题一专题二专题三专题四专题五专题五

与圆有关的线段的计算与证明在圆中,解决与圆有关的线段的计算与证明问题时,首先考虑相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理,从而获得成比例线段,然后结合射影定理、相似三角形进行等比代换或等线代换加以证明,或列出方程解得线段的长.专题一专题二专题三专题四专题五专题五与圆有关的线段的计算与专题一专题二专题三专题四专题五应用9

如图所示,过☉O外一点A作一条直线与☉O交于C,D两点,AB切☉O于点B,弦MN过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则MP·NP=

.

专题一专题二专题三专题四专题五应用9如图所示,过☉O外一点专题一专题二专题三专题四专题五应用10

在两圆公共弦AB上,任取一点G,过点G作直线交一圆于点C,D,交另一圆于点E,F.求证:CG·ED=EG·CF.提示简单型的比例线段问题,主要是证明两个三角形相似.专题一专题二专题三专题四专题五应用10在两圆公共弦AB上,专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五234156789101.(湖北高考)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为点D,点D在半径OC上的射影为点E.若AB=3AD,则

的值为

.

234156789101.23415678910

解析:

设AD=2,则AB=6,于是BD=4,OD=1.如图,由射影定理得CD2=AD·BD=8,答案:823415678910解析:设AD=2,则AB=6,234156789102.(陕西高考)如图,弦AB与CD相交于☉O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=

.

解析:∠C与∠A在同一个☉O中,所对的弧都是

,则∠C=∠A.又PE∥BC,∴∠C=∠PED.∴∠A=∠PED.又∠P=∠P,∴PE2=PA·PD.又PD=2DA=2,234156789102.(陕西高考)如图,弦AB与CD相交234156789103.(北京高考)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于点D,若PA=3,PD∶DB=9∶16,则PD=

,AB=

.

解析:设PD=9k,则DB=16k(k>0).由切割线定理可得PA2=PD·PB,234156789103.(北京高考)如图,AB为圆O的直径234156789104.(湖南高考)如图,在半径为

的☉O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为

.

234156789104.(湖南高考)23415678910解析:如图,取CD中点E,连接OE,OC.由圆内相交弦定理知PD·PC=PA·PB,所以PC=4,CD=5,23415678910解析:如图,取CD中点E,连接OE,O234156789105.(天津高考)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为

.

234156789105.(天津高考)如图,△ABC为圆的内23415678910解析:∵AE为圆的切线,∴由切割线定理,得AE2=EB·ED.又AE=6,BD=5,可解得EB=4.∵∠EAB为弦切角,且AB=AC,∴∠EAB=∠ACB=∠ABC.∴EA∥BC.又BD∥AC,∴四边形EBCA为平行四边形.∴BC=AE=6,AC=EB=4.由BD∥AC,得△ACF∽△DBF,23415678910解析:∵AE为圆的切线,∴由切割线定理234156789106.(重庆高考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为

.

解析:在Rt△ABC中,∠A=60°,AB=20,可得BC=10.由弦切角定理,可得∠BCD=∠A=60°.在Rt△BCD中,可求得CD=5,BD=15.又由切割线定理,可得CD2=DE·DB,可求得DE=5.答案:5234156789106.(重庆高考)如图,在△ABC中,∠234156789107.(广东高考)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=

.

234156789107.23415678910解析:如图,连接OC.∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.又BC=CD,∴AB=AD=6,∠BAC=∠CAD.又CE为圆O的切线,则OC⊥CE.∵∠ACE为弦切角,∴∠ACE=∠B.∴∠ACE+∠CAD=90°.∴CE⊥AD.又AC⊥CD,∴CD2=ED·AD=2×6=12,23415678910解析:如图,连接OC.∵AB为圆O的直234156789108.(课标全国Ⅱ高考)如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.234156789108.(课标全国Ⅱ高考)如图,CD为△A23415678910(1)证明因为CD为△ABC外接圆的切线,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.23415678910(1)证明因为CD为△ABC外接圆的切23415678910(2)解:如图,连接CE.因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为

.23415678910(2)解:如图,连接CE.因为∠CBE234156789109.(辽宁高考)如图,AB为☉O的直径,直线CD与☉O相切于点E,AD垂直CD于点D,BC垂直CD于点C,EF垂直AB于点F,连接AE,BE.证明:(1)∠FEB=∠CEB;(2)EF2=AD·BC.234156789109.(辽宁高考)23415678910证明(1)由直线CD与☉O相切,得∠CEB=∠EAB.由AB为☉O的直径,得AE⊥EB,从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB.(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF,所以EF2=AD·BC.23415678910证明(1)由直线CD与☉O相切,得∠C本章整合本章整合2020届一轮复习人教A版相似三角形定理与圆幂定理本章整合课件专题一专题二专题三专题四专题五专题一

利用相似三角形证明等积线段或成比例线段利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式是解决这类问题的基本方法.解决这类问题一般可分为三步:(1)把等积式化为比例式,从而确定相关的两个三角形相似.(2)确定两个相关的三角形的方法是:把比例式横看或者竖看,将两条线段中的相同字母消去一个,由余下的字母组成三角形.(3)设法找到证明这两个三角形相似的条件.专题一专题二专题三专题四专题五专题一利用相似三角形证明等积专题一专题二专题三专题四专题五提示由条件知AB∶AC=BD∶AD,转化为证明BD∶AD=DF∶AF,即证△FAD∽△FDB.证明∵∠BAC=90°,∠ADB=90°,∴∠C=∠BAD,∴Rt△ADB∽Rt△CAB.∴AB∶AC=BD∶AD.又E是AC的中点,∴AE=DE=EC.∴∠DAE=∠ADE.∴∠BAD=∠CDE=∠BDF.又∠F=∠F,∴△FDB∽△FAD.∴BD∶AD=DF∶AF,专题一专题二专题三专题四专题五提示由条件知AB∶AC=BD∶专题一专题二专题三专题四专题五应用2

如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BC边的垂直平分线EM和AB,CA的延长线分别交于D,E两点,连接AM.求证:AM2=DM·EM.专题一专题二专题三专题四专题五应用2如图,在△ABC中,∠专题一专题二专题三专题四专题五证明∵∠BAC=90°,M是BC的中点,∴AM=CM,∴∠MAC=∠C.∵EM⊥BC,∴∠E+∠C=90°.又∠BAM+∠MAC=90°,∴∠E=∠BAM.∵∠EMA=∠AMD,∴△AMD∽△EMA.专题一专题二专题三专题四专题五证明∵∠BAC=90°,M是B专题一专题二专题三专题四专题五专题二

利用相似三角形证明线段相等证明两条线段相等,一般情况下,利用等角对等边或全等三角形的性质来解决.但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法得不出来,或过程比较烦琐,此时可以借助相似三角形的有关比例线段来解决.专题一专题二专题三专题四专题五专题二利用相似三角形证明线段专题一专题二专题三专题四专题五应用3

如图,AD,CF是△ABC的两条高,在AB上取一点P,使AP=AD,再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.求证:PQ=CF.提示利用相似三角形的性质,并结合AP=AD进行证明.专题一专题二专题三专题四专题五应用3如图,AD,CF是△A专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五应用4

如图,△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,以AB为边向外作正方形ABDE,连接EC交AB于点P,过点P作PQ

∥BC交AC于点Q.求证:PQ=PB.提示要证明PQ=PB,直接证明不容易证,可以先证明有关的三角形相似得出比例式,再由等式的性质证明其相等.专题一专题二专题三专题四专题五应用4如图,△ABC为直角三专题一专题二专题三专题四专题五证明∵PQ

∥BC,BC

∥AE,∴PQ

∥AE.

∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠CAE.而由题意,知AE=DE,∴PQ=PB.专题一专题二专题三专题四专题五证明∵PQ∥BC,BC∥A专题一专题二专题三专题四专题五专题三

平行线分线段的规律性质平行线分线段的相关定理即平行截割定理,其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律.主要用来证明比例式成立,证明直线平行,计算线段的长度,也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法.专题一专题二专题三专题四专题五专题三平行线分线段的规律性质专题一专题二专题三专题四专题五应用5

如图,在△ABC中,M是AC边的中点,E是AB边上的一点,且AE=AB,连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证:BC=2CD.专题一专题二专题三专题四专题五应用5如图,在△ABC中,M专题一专题二专题三专题四专题五应用6

如图,在△ABC中,DE∥BC,DH∥GC.求证:EG∥BH.专题一专题二专题三专题四专题五应用6如图,在△ABC中,D专题一专题二专题三专题四专题五专题四

与圆有关的角的计算与证明圆中的角有四类:圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角,与圆有关的角的计算与证明通常涉及这四类角,因此圆周角定理、圆心角定理和弦切角定理是解决此类问题的知识基础,通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系来转化,并借助圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决.专题一专题二专题三专题四专题五专题四与圆有关的角的计算与证专题一专题二专题三专题四专题五

专题一专题二专题三专题四专题五

专题一专题二专题三专题四专题五应用8

如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使BD=DC,连接AC,AE,DE.求证:∠E=∠C.证明如图,连接OD,因为BD=DC,O为AB的中点,所以OD∥AC,于是∠ODB=∠C.因为OB=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C.因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角,故∠E=∠B.所以∠E=∠C.专题一专题二专题三专题四专题五应用8证明如图,连接OD,因专题一专题二专题三专题四专题五专题五

与圆有关的线段的计算与证明在圆中,解决与圆有关的线段的计算与证明问题时,首先考虑相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理,从而获得成比例线段,然后结合射影定理、相似三角形进行等比代换或等线代换加以证明,或列出方程解得线段的长.专题一专题二专题三专题四专题五专题五与圆有关的线段的计算与专题一专题二专题三专题四专题五应用9

如图所示,过☉O外一点A作一条直线与☉O交于C,D两点,AB切☉O于点B,弦MN过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则MP·NP=

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专题一专题二专题三专题四专题五应用9如图所示,过☉O外一点专题一专题二专题三专题四专题五应用10

在两圆公共弦AB上,任取一点G,过点G作直线交一圆于点C,D,交另一圆于点E,F.求证:CG·ED=EG·CF.提示简单型的比例线段问题,主要是证明两个三角形相似.专题一专题二专题三专题四专题五应用10在两圆公共弦AB上,专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五234156789101.(湖北高考)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为点D,点D在半径OC上的射影为点E.若AB=3AD,则

的值为

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234156789101.23415678910

解析:

设AD=2,则AB=6,于是BD=4,OD=1.如图,由射影定理得CD2=AD·BD=8,答案:823415678910解析:设AD=2,则AB=6,234156789102.(陕西高考)如图,弦AB与CD相交于☉O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=

.

解析:∠C与∠A在同一个☉O中,所对的弧都是

,则∠C=∠A.又PE∥BC,∴∠C=∠PED.∴∠A=∠PED.又∠P=∠P,∴PE2=PA·PD.又PD=2DA=2,234156789102.(陕西高考)如图,弦AB与CD相交234156789103.(北京高考)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于点D,若PA=3,PD∶DB=9∶16,则PD=

,AB=

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解析:设PD=9k,则DB=16k(k>0).由切割线定理可得PA2=PD·PB,234156789103.(北京高考)如图,AB为圆O的直径234156789104.(湖南高考)如图,在半径为

的☉O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为

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234156789104.(湖南高考)23415678910解析:如图,取CD中点E,连接OE,OC.由圆内相交弦定理知PD·PC=PA·PB,所以PC=4,CD=5,23415678910解析:如图,取CD中点E,连接OE,O234156789105.(天津高考)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为

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234156789105.(天津高考)如图,△ABC为圆的内23415678910解析:∵AE为圆的切线,∴由切割线定理,得AE2=EB·ED.又AE=6,BD=5,可解得EB=4.∵∠EAB为弦切角,且AB=AC,∴∠EAB=∠ACB=∠ABC.∴EA∥BC.又BD∥AC,∴四边形EBCA为平行四边形.∴BC=AE=6,AC=EB=4.由BD∥AC,得△ACF∽△DBF,23415678910解析:∵AE为圆的切线,∴由切割线定理234156789106.(重庆高考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为

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解析:在Rt△ABC中,∠A=60°,AB=20,可得BC=10.由弦切角定理,可得∠BCD=∠A=60°.在Rt△BCD中,可求得CD=5,BD=15.又由切割线定理,可得CD2=DE·DB,可求得DE=5.答案:5234156789106.(重庆高考)如图,在△ABC中,∠234156789107.(广东高考)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=

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234156789107.23415678910解析:如图,连接OC.∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.又BC=CD,∴AB=AD=6,∠BAC=∠CAD.又CE为圆O的切线,则OC⊥CE.∵∠ACE为弦切角,∴∠ACE=∠B