工程应用数学第二章 傅立叶级数

第二章傅立叶级数引子级数的概念傅立叶级数用Matlab进行傅立叶级数运算引子1引例

求半径为的圆的面积正六边形面积正十二边形的面积正边形面积即

当无限增大，则所求圆面积为2第二章傅立叶级数引子级数的概念傅立叶级数用Matlab进行傅立叶级数运算31、级数的定义一般项（常数项）无穷级数特例：正项级数级数的部分和级数的部分和数列42.级数的收敛与发散当无限增大时，如果级数的部分和数列有极限，即，则称无穷级数收敛，这时极限叫级数的和.并写成如果没有极限，则称无穷级数发散,发散的级数没有和.即（常数项）级数收敛（或发散）存在（或不存在）余项即误差为5例

讨论等比级数（几何级数）的敛散性.解

1）如果级数收敛，其和为级数发散6级数发散级数变为不存在，级数发散.2）如果综上7例

讨论无穷级数的收敛性.解

由于因此，该级数的部分和从而所以该级数收敛，它的和是183、函数项级数的一般概念设是定义在上的函数则称为定义在区间上的（函数项）无穷级数,简称（函数项）级数

Eg.形如的函数项级数，称为的幂级数当时,称为的幂级数.其中常数称为幂级数的系数9小结1、常数项级数的基本概念2、级数的收敛和发散即（常数项）级数收敛（或发散）存在（或不存在）3、函数项级数的一般概念，幂级数的概念10第二章傅立叶级数引子级数的概念傅立叶级数用Matlab进行傅立叶级数运算11引例非正弦周期函数:矩形波12不同频率正弦波逐个叠加131、函数系的正交性

三角函数系任意两个不同的函数之积在区间上的积分为零.而任何一个函数的平方在区间上的积分都不等零,其中复指数函数系

在区间内,具有正交性.其中:为虚数单位,142、函数展开成傅立叶级数

三角傅立叶级数三角级数：任意信号，在区间内，可用三角函数系表示为15一般取，则傅立叶系数表示为利用三角函数正交性，得到一个周期的傅立叶系数16特例

当时，，系数可表示为17函数的三角傅立叶级数：

三角傅立叶级数的另外一种形式：其中18物理意义：

谐波分析，即把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加.的直流分量：一次谐波(基波)：次谐波：次谐波分量：基频19指数傅立叶级数

的指数傅立叶级数：其中直流分量：一次谐波分量：次谐波分量：20指数傅立叶级数与三角傅立叶级数是傅立叶级数的两种表示方式，可以通过下式转化.或三角傅立叶级数系数与指数傅立叶系数之间的关系式为：或21傅立叶级数的收敛条件

被展开的函数需要满足如下的一组充分条件：条件1

在一周期内,函数绝对可积,即条件2

在一个周期内函数极大值和极小值点的个数应是有限个22条件3

在一个周期内，如果间断点存在，则间断点的数目应是有限个.当是的连续点时，级数当是的间断点时，级数并且该组条件称为“狄利克雷条件”

23案例【周期矩形信号】设是周期为的周期函数,它在上的表达式将展开为傅立叶级数.24解

当时，级数收敛于傅立叶系数如下：25得到的傅立叶级数展开式为当时，级数收敛于26案例【周期锯齿脉冲信号】

宁波波导公司的技术人员需分析周期脉冲锯齿波的信号的特征，现对信号进行谐波分析,并指出直流分量、基波和次谐波分量.解

信号的周期为，在一个周期内的表达式为2728得到的傅立叶级数展开式为29直流分量为基波为其中

为偶数时，次谐波分量为为奇数时，次谐波分量为30小结1、函数系的正交性；2、三角傅立叶级数及其傅立叶系数；

3、指数傅立叶级数及其傅立叶系数；4、三角傅立叶级数系数和指数傅立叶级数系数之间的关系；5、狄利克雷充分条件；6、周期为的周期函数的三角傅立叶级数。313、奇函数和偶函数的三角傅立叶级数周期信号的对称性与傅立叶系数的关系32案例【脉冲矩形波】

宁波春光无线电厂需分析方波信号的特征，现对方波信号进行谐波分析，指出基波和次谐波分量.解

由图知，为奇函数33得到的傅立叶级数展开式为:基波为只包含有正弦分量.次（奇次）谐波分量为34案例【半波整流余弦脉冲波】

杭州某研究所需分析周期性半波整流余弦脉冲信号，现对余弦信号进行分析.35解

由图知，为偶函数36得到的傅立叶级数展开式为374、奇函数和偶函数的指数傅立叶级数案例【周期矩形波】

杭州尖峰电子有限公司的技术人员需分析周期方波信号特征，其中脉宽为，脉幅为，周期为，现对方波信号进行谐波分析，并指出次谐波分量（用指数形式表示）.38解

在周期内的表达式为为偶函数，取39得到的傅立叶级数为次谐波分量为40案例【周期三角脉冲信号】

浙江某技术研究所需分析周期三角脉冲信号的特征，其中振幅为1，周期为2，现对三角脉冲信号进行谐波分析，并指出次谐波分量（用指数形式表示）.41解

由图知，

在区间的表达式为由为奇函数知取，则指数傅立叶系数为42所以周期三角脉冲信号的傅立叶展开式为次谐波分量为435、三角傅立叶级数和指数傅立叶级数的转化例

已知的三角傅立叶级数展开式为求它的指数傅立叶级数展开式.44解

45得到的指数傅立叶级数展开式为46小结1、奇函数和偶函数的三角傅立叶级数；2、奇函数和偶函数的指数傅立叶级数；3、三角傅立叶级数和指数傅立叶级数的转化.476、非周期函数的傅立叶级数

（1）如果只在区间上有信号，并且满足收敛条件，那么仍可以展开成傅立叶级数做法：周期延拓即作周期为的周期函数，端点处收敛于48例

将函数在区间上展开成傅立叶级数.解

所给函数在区间上满足收敛条件，并且拓广为周期函数时，它在每一点处都连续，如图因此拓广的周期函数的傅立叶级数在上收敛于49傅立叶系数如下：50于是516、非周期函数的傅立叶级数

（1）如果只在区间上有信号，并且满足收敛条件，那么仍可以展开成傅立叶级数做法：周期延拓即作周期为的周期函数，端点处收敛于52（2）如果只在上有信号且满足收敛条件，要得到在上的傅立叶展开式且展开形式不唯一，常用方法有奇延拓和偶延拓.做法：将延拓成函数

奇延拓:奇函数函数傅立叶正弦级数:53偶延拓:偶函数函数傅立叶余弦级数:54案例【信号分析】

将脉冲信号（1）用正弦分量分析在区间上的信号（2）用直流分量和余弦分量分析在区间上的信号55得到的傅立叶正弦级数为解

（1）求正弦级数，对函数进行奇延拓，如图56（2）求余弦级数，对信号函数进行偶延拓，如图得到的傅立叶余弦级数为57综合案例

有一水平弹簧振子，，重物的质量，静止在平衡位置上，设以一水平恒力作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动，此时撤去力，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求运动方程.58（2）建立数学模型：建立坐标系，点选在弹簧平衡位置处，水平向右为轴正方向.解

（1）模型假设：将物体视为质点物体受到的合外力：加速度为即：59令得：解微分方程得：其中待定.称为频率，振动的周期为简谐运动的总能量60（3）模型的求解：能量得到由初始条件得物体的运动方程为：61小结1、非周期函数的周期延拓；2、如何把非周期函数展开成正弦级数与余弦级数；62第二章傅立叶级数引子级数的概念傅立叶级数用Matlab进行傅立叶级数运算63引例用Matlab求的傅立叶系数symstnfun=t^2an=int(fun*cos(n*pi*t/2),t,-2,2)/2bn=int(fun*sin(n*pi*t/2),t,-2,2)/2641、求函数在上的傅立叶系数的Matlab主程序function[a0,an,bn]=fourier(fun,1)symsxna0=int(fun,x,-1,1)/l;an=int(fun*cos(n*pi*x/l),x,-1,1)/l;bn=int(fun*sin(n*pi*x/l),x,-1,1)/l;65functionS=sfourier(fun,a0,an,bn,l,m)symsxnsn=an*cos(n*pi*x/l)+bn*sin(n*pi*x/l);ssn=symsum(sn,n,l,m);S=a0/2+ssn;2、求函数fun在上的傅立叶级数前项的Matlab主程序66例

在闭区间上将函数展开成傅立叶级数.

输入主程序：>>symsxnfun=x^2+1;l=1;[a0,an,bn]=fourier(fun,l)67运行后屏幕显示在闭区间上函数的傅立叶系数为：a0=8/3an=4*(n^2*pi^2*sin(n*pi)+n*pi*cos(n*pi)-sin(n*pi))/n^3/pi^3bn=068再输入程序：>>symsxnfun=x^2+1;l=1;a0=8/3;an=4*(n^2*pi^2*sin(n*pi)+n*pi*cos(n*pi)-sin(n*pi))/n^3/pi^3;bn=0;S=sfourier(fun,a0,an,bn,1,9)69例

设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，将展开成傅立叶级数.解所给函数满足收敛的条件，它在点处不连续，在其他点处连续，从而的傅立叶级数收敛，并且当时收敛于70当时，级数收敛于因为，输入程序：>>symsxnfun=x;l=pi;[a0,an,bn]=fourier(fun,l)运行后屏幕显示函数的傅立叶系数为：a0=