北师大版高中数学必修五课件§43简单线性规划的应用

高中数学课件灿若寒星整理制作高中数学课件灿若寒星整理制作课题：简单的线性规划（3）－线性规划的应用2022/11/52课题：简单的线性规划（3）－线性规划的应用2022/11/1解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目标函数

3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解（注意整数解的调整）1）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题(准确作图，准确计算)画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；法1：移－在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；法2：算－线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。2022/11/53解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目应用1－有关二元一次代数式取值范围解：由①、②同向相加可得：③求2x+y的取值范围。例1.若实数x,y满足①②由②得将上式与①同向相加得④③+④得以上解法正确吗？为什么？2022/11/54应用1－有关二元一次代数式取值范围解：由①、②同向相加可得：首先：我们画出表示的平面区域当x=3,y=0时,得出2x+y的最小值为6,但此时x+y=3,点(3,0)不在不等式组的所表示的平面区域内,所以上述解答明显错了．1234567x6543210-1-1-2y-2-3-4ADCB但不等式与不等式所表示的平面区域却不同？（扩大了许多！）从图中我们可以看出没错解得2022/11/55首先：我们画出表示的平面区域当x=3,y=0时,得出2x+y通过分析，我们知道上述解法中，是对的，但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来确定2x+y的最大(小)值却是不合理的。怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就是我们今天要学习的线性规划问题。求2x+y的取值范围。例1.若实数x,y满足①②2022/11/56通过分析，我们知道上述解法中，怎么来解决这个问题和这一类问题y1234567x6543210-1-1-2-2-3-4ADCB我们设我们设z=2x+y方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为-2,纵截距为z的直线,把z看成参数,方程表示的是一组平行线．要求z的范围，现在就转化为求这一组平行线中,与阴影区域有交点,且在y轴上的截距达到最大和最小的直线.•由图，我们不难看出，这种直线的纵截距的最小值为过A(3,1)的直线，纵截距最大为过C(5,1)的直线。所以过A(3,1)时，因为z=2x+y，所以同理，过B(5,1)时，因为z=2x+y，所以2022/11/57y1234567x6543210-1-1-2-2-3-4ADy1234567x6543210-1-1-2-2-3-4ADCB•解：作线形约束条件所表示的平面区域，即如图所示四边形ABCD。作直线所以，求得A(3,1)B(4,0)

C(5,1)D(4,2)可使达到最小值，将直线平移，平移到过A点的平行线与重合时，达到最大值。可使当平移过C点时，与的平行线重合时，例1.若实数x,y满足求2x+y的取值范围2022/11/58y1234567x6543210-1-1-2-2-3-4AD解法2：由待定系数法:设2x+y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y∴m+n=2，m-n=1m=3/2，n=1/2∴2x+y=3/2×(x+y)+1/2×(x-y)∵4≤x+y≤6，2≤x-y≤4∴7≤2x+y≤11例1.若实数x,y满足求2x+y的取值范围2022/11/59解法2：由待定系数法:设2x+y=m(x+y)+n(x-y)例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大?甲产品（1t）乙产品（1t）资源限额（t）A种矿石（t）B种矿石（t）煤（t）利润（元）产品消耗量资源列表：51046004491000300200360设生产甲、乙两种产品.分别为xt、yt,利润总额为z元应用2－有关利润最高、效益最大等问题2022/11/510例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A例题分析甲产品（1t）乙产品（1t）资源限额（t）A种矿石（t）B种矿石（t）煤（t）利润（元）产品消耗量资源列表：51046004491000300200360把题中限制条件进行转化：约束条件10x+4y≤3005x+4y≤2004x+9y≤360x≥0y≥0z=600x+1000y.目标函数：设生产甲、乙两种产品.分别为xt、yt,利润总额为z元xtyt2022/11/511例题分析甲产品乙产品资源限额A种矿石（t）B种矿石（t）煤（例题分析解:设生产甲、乙两种产品.分别为xt、yt,利润总额为z=600x+1000y.元,那么{10x+4y≤3005x+4y≤2004x+9y≤360x≥0y≥0z=600x+1000y.作出以上不等式组所表示的可行域作出一组平行直线600x+1000y=t，解得交点M的坐标为(12.4,34.4)5x+4y=200{4x+9y=360由10x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600x+1000y=0M答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。(12.4,34.4)经过可行域上的点M时,目标函数在y轴上截距最大.90300xy10201075405040此时z=600x+1000y取得最大值.2022/11/512例题分析解:设生产甲、乙两种产品.分别为xt、yt,利润总额【例3】营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg？应用3－有关成本最低、运费最少等问题得点M的坐标为答：每天需要同时食用食物A约0.143kg，食物B约0.571kg，能够满足日常饮食要求，且花费最低16元.幻灯片13幻灯片142022/11/513【例3】营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.07解：设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总花费为z元,则目标函数为z=28x+21y且x、y满足约束条件,整理为作出约束条件所表示的可行域，如右图所示目标函数可变形为如图，作直线,当直线平移经过可行域时，在点M处达到轴上截距的最小值，即此时有最小值.解方程组，返回幻灯片122022/11/514解：设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总花费为z元,,整线性规划的应用练习：1、已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值范围。解法1：由待定系数法:设a+3b=m(a+b)+n(a-2b)=(m+n)a+(m-2n)b∴m+n=1，m-2n=3m=5/3，n=-2/3∴a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2b)∵-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3∴-11/3≤a+3b≤1解法2：∵-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3∴-2≤2a+2b≤2，-3≤2b-a≤-1∴-1/3≤a≤5/3-4/3≤b≤0∴-13/3≤a+3b≤5/32022/11/515线性规划的应用练习：1、已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值范围。解法2约束条件为：目标函数为：z=a+3b由图形知：-11/3≤z≤1即-11/3≤a+3b≤12022/11/516已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值范xy02x+y-600=0300600x+2y-900=0A(100,400)2.某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；（1）怎样安排生产可以获利最大？（2）若只生产书桌可以获利多少？（3）若只生产书橱可以获利多少？（1）设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元，则约束条件为{0.1x+0.2y≤902x+y≤600x，y∈N*Z=80x+120y作出不等式表示的平面区域，当生产100张书桌，400张书橱时利润最大为z=80×100+120×400=56000元（2）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利24000元；（3）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利54000元。将直线z=80x+120y平移可知：900450求解：2022/11/517xy02x+y-600=0300600x+2y-900=0A产品资源甲种棉纱（吨）x乙种棉纱（吨）y资源限额（吨）一级子棉（吨）21300二级子棉（吨）12250利润（元）6009003某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?2022/11/518产品甲种棉纱（吨）x乙种棉纱（吨）y资源限额（吨）一级子棉（解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则Z=600x+900y作出可行域，可知直线Z=600x+900y通过点M时利润最大。解方程组得点M的坐标x=350/3≈117y=200/3≈67答：应生产甲、乙两种棉纱分别为117吨、67吨，能使利润总额达到最大。2022/11/519解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则4、咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g、咖啡5g、糖10g．已知每天原料的使用限额为奶粉3600g，咖啡2000g糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？

解：将已知数据列为下表：消耗量资源甲产品（1杯）乙产品(1杯)资源限额（g）奶粉（g）943600咖啡(g)452000糖(g)3103000利润（元）0.71.2

产品2022/11/5204、咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g、咖啡4g、糖设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则作出可行域：目标函数为：z=0.7x+1.2y作直线l:0.7x+1.2y=0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点C，且与原点距离最大，此时z=0.7x+1.2y取最大值解方程组得点C的坐标为（200，240）_0_9x+4y=3600_C(200,240)_4x+5y=2000_3x+10y=3000_7x+12y=0_400_400_300_500_1000_900_0_x_y2022/11/521设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则作出可行域：_0_煤矿车站甲煤矿（元/吨）乙煤矿（元/吨）运量（万吨）东车站10.8280西车站1.51.6360产量（万吨）200300例2.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?应用3－有关成本最低、运费最少等问题2022/11/522煤矿甲煤矿乙煤矿运量东车站10.8280西车站1.51.63解：设甲煤矿运往东车站x万吨，乙煤矿运往东车站y万吨，则约束条件为：目标函数为:z=[x+1.5(200-x)]+[0.8y+1.6(300-y)]=780-0.5x-0.8y(万元)答案：当x=0,y=280时，即甲煤矿运往东车站0吨，西车站200吨；乙煤矿运往东车站280吨，西车站20吨.总运费最少556万元。2022/11/523解：设甲煤矿运往东车站x万吨，乙煤矿运往东车站y万吨，则约束复习回顾：二元一次不等式

表示平面区域直线定界，

特殊点定域简单的线性规划约束条件目标函数可行解可行域最优解应用求解方法：画、移、求、答2022/11/524复习回顾：二元一次不等式

表示平面区域直线定界，

特殊点定域高中数学课件灿若寒星整理制作高中数学课件灿若寒星整理制作课题：简单的线性规划（3）－线性规划的应用2022/11/526课题：简单的线性规划（3）－线性规划的应用2022/11/1解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目标函数

3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解（注意整数解的调整）1）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题(准确作图，准确计算)画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；法1：移－在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；法2：算－线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。2022/11/527解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目应用1－有关二元一次代数式取值范围解：由①、②同向相加可得：③求2x+y的取值范围。例1.若实数x,y满足①②由②得将上式与①同向相加得④③+④得以上解法正确吗？为什么？2022/11/528应用1－有关二元一次代数式取值范围解：由①、②同向相加可得：首先：我们画出表示的平面区域当x=3,y=0时,得出2x+y的最小值为6,但此时x+y=3,点(3,0)不在不等式组的所表示的平面区域内,所以上述解答明显错了．1234567x6543210-1-1-2y-2-3-4ADCB但不等式与不等式所表示的平面区域却不同？（扩大了许多！）从图中我们可以看出没错解得2022/11/529首先：我们画出表示的平面区域当x=3,y=0时,得出2x+y通过分析，我们知道上述解法中，是对的，但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来确定2x+y的最大(小)值却是不合理的。怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就是我们今天要学习的线性规划问题。求2x+y的取值范围。例1.若实数x,y满足①②2022/11/530通过分析，我们知道上述解法中，怎么来解决这个问题和这一类问题y1234567x6543210-1-1-2-2-3-4ADCB我们设我们设z=2x+y方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为-2,纵截距为z的直线,把z看成参数,方程表示的是一组平行线．要求z的范围，现在就转化为求这一组平行线中,与阴影区域有交点,且在y轴上的截距达到最大和最小的直线.•由图，我们不难看出，这种直线的纵截距的最小值为过A(3,1)的直线，纵截距最大为过C(5,1)的直线。所以过A(3,1)时，因为z=2x+y，所以同理，过B(5,1)时，因为z=2x+y，所以2022/11/531y1234567x6543210-1-1-2-2-3-4ADy1234567x6543210-1-1-2-2-3-4ADCB•解：作线形约束条件所表示的平面区域，即如图所示四边形ABCD。作直线所以，求得A(3,1)B(4,0)

C(5,1)D(4,2)可使达到最小值，将直线平移，平移到过A点的平行线与重合时，达到最大值。可使当平移过C点时，与的平行线重合时，例1.若实数x,y满足求2x+y的取值范围2022/11/532y1234567x6543210-1-1-2-2-3-4AD解法2：由待定系数法:设2x+y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y∴m+n=2，m-n=1m=3/2，n=1/2∴2x+y=3/2×(x+y)+1/2×(x-y)∵4≤x+y≤6，2≤x-y≤4∴7≤2x+y≤11例1.若实数x,y满足求2x+y的取值范围2022/11/533解法2：由待定系数法:设2x+y=m(x+y)+n(x-y)例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大?甲产品（1t）乙产品（1t）资源限额（t）A种矿石（t）B种矿石（t）煤（t）利润（元）产品消耗量资源列表：51046004491000300200360设生产甲、乙两种产品.分别为xt、yt,利润总额为z元应用2－有关利润最高、效益最大等问题2022/11/534例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A例题分析甲产品（1t）乙产品（1t）资源限额（t）A种矿石（t）B种矿石（t）煤（t）利润（元）产品消耗量资源列表：51046004491000300200360把题中限制条件进行转化：约束条件10x+4y≤3005x+4y≤2004x+9y≤360x≥0y≥0z=600x+1000y.目标函数：设生产甲、乙两种产品.分别为xt、yt,利润总额为z元xtyt2022/11/535例题分析甲产品乙产品资源限额A种矿石（t）B种矿石（t）煤（例题分析解:设生产甲、乙两种产品.分别为xt、yt,利润总额为z=600x+1000y.元,那么{10x+4y≤3005x+4y≤2004x+9y≤360x≥0y≥0z=600x+1000y.作出以上不等式组所表示的可行域作出一组平行直线600x+1000y=t，解得交点M的坐标为(12.4,34.4)5x+4y=200{4x+9y=360由10x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600x+1000y=0M答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。(12.4,34.4)经过可行域上的点M时,目标函数在y轴上截距最大.90300xy10201075405040此时z=600x+1000y取得最大值.2022/11/536例题分析解:设生产甲、乙两种产品.分别为xt、yt,利润总额【例3】营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg？应用3－有关成本最低、运费最少等问题得点M的坐标为答：每天需要同时食用食物A约0.143kg，食物B约0.571kg，能够满足日常饮食要求，且花费最低16元.幻灯片13幻灯片142022/11/537【例3】营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.07解：设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总花费为z元,则目标函数为z=28x+21y且x、y满足约束条件,整理为作出约束条件所表示的可行域，如右图所示目标函数可变形为如图，作直线,当直线平移经过可行域时，在点M处达到轴上截距的最小值，即此时有最小值.解方程组，返回幻灯片122022/11/538解：设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总花费为z元,,整线性规划的应用练习：1、已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值范围。解法1：由待定系数法:设a+3b=m(a+b)+n(a-2b)=(m+n)a+(m-2n)b∴m+n=1，m-2n=3m=5/3，n=-2/3∴a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2b)∵-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3∴-11/3≤a+3b≤1解法2：∵-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3∴-2≤2a+2b≤2，-3≤2b-a≤-1∴-1/3≤a≤5/3-4/3≤b≤0∴-13/3≤a+3b≤5/32022/11/539线性规划的应用练习：1、已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值范围。解法2约束条件为：目标函数为：z=a+3b由图形知：-11/3≤z≤1即-11/3≤a+3b≤12022/11/540已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值范xy02x+y-600=0300600x+2y-900=0A(100,400)2.某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；（1）怎样安排生产可以获利最大？（2）若只生产书桌可以获利多少？（3）若只生产书橱可以获利多少？（1）设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元，则约束条件为{0.1x+0.2y≤902x+y≤600x，y∈N*Z=80x+120y作出不等式表示的平面区域，当生产100张书桌，400张书橱时利润最大为z=80×100+120×400=56000元（2）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利24000元；（3）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利54000元。将直线z=80x+120y平移可知：900450求解：2022/11/541xy02x+y-600=0300600x+2y-900=0A产品资源甲种棉纱（吨）x乙种棉纱（吨）y资源限额（吨）一级子棉（吨）21300二级子棉（吨）12250利润（元）6009003某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?2022/11/542产品甲种棉纱（吨）x乙种棉纱（吨）y资源限额（吨）一级子棉（解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则Z=600x+900y作出可行域，可知直线Z=600x+900y通过点M时利润最大。解方程组得点M的坐标x=350/3≈117y=200/3≈67答：应生产甲、乙两种棉纱分别为117吨、67吨，能使利润总额达到最大。2022/11/543解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则4、咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g、咖啡5g、糖10g．已知每