垂直于弦的直径 定理 2021 2022学年九年级数学上册教学课件(人教版)

第24章圆人教版九年级(上)数学探究新知知识归纳典型例题当堂训练课堂小结导入新课24.1.2(1)

垂直于弦的直径-定理24.1

圆的有关性质第24章圆人教版九年级(上)数学探究新知知识归纳典型例【问题1】把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?圆是轴对称图形.O任何一条直径所在直线(或经过圆心的直线)都是圆的对称轴.O【问题2】圆有几条对称轴？【结论1】【结论2】温故知新【问题1】把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂径定理有关的分类讨论03知识点垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂【探究1】如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒

CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合,AC和BC,AD与BD重合；⌒⌒⌒⌒·OABDEC或利用△AOE≌△BOE(HL)来证明。理由如下：

把圆沿着直径CD折叠时,探究新知知识点一垂直于弦的直径-垂径定理【探究1】如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E·OABCDE归纳推导格式：∵直径CD⊥AB(或OD⊥AB)∴AE=BE,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理：要点归纳知识点一垂直于弦的直径-垂径定理·OABCDE归纳推导格式：∵直径CD⊥AB(或OD⊥下列图形是否具备垂径定理的条件？不是OABCOABCEOABCDE不是是定理中的两个条件缺一不可①过圆心(直径)；

②垂直于弦归纳总结垂径定理的几个基本图形：OABCDEOABCDOABCOABCE要点归纳知识点一垂直于弦的直径-垂径定理下列图形是否具备垂径定理的条件？不是OABCOABCEOAB【例1】如图,⊙O的弦AB=8cm,直径CE⊥AB于D,DC=2cm,

求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵直径CE⊥AB于D，∴设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得解得x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，典型例题知识点一垂直于弦的直径-垂径定理【例1】如图,⊙O的弦AB=8cm,直径CE⊥AB于D,DC1.如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.2.如图所示,AB是⊙O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,则下列结论不一定成立的是()A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.D.OE=BE·OABE16·OCDABED基础训练知识点一垂直于弦的直径-垂径定理1.如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6c垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂径定理有关的分类讨论03知识点垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂【例2】赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.求出赵州桥主桥拱的半径.(结果保留小数点后一位).典型例题知识点二利用垂径定理解决实际问题【例2】赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历37.4m7.23mABOCE解：如图,用弧AB表示主桥拱,设其坐在圆的圆心为O,半径为R经过点O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与弧AB相交于点C,连接OA.根据垂径定理,D是AB的重点,C是弧AB的重点,CD就是拱高由题设可知:AB=37cm,CD=7.23cm∴AD=0.5AB=0.5×37=18.5cm，OD=OC-CD=R-7.23在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2解得:R≈27.3(m)∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m典型例题知识点二利用垂径定理解决实际问题37.4m7.23mABOCE解：如图,用弧AB表示主桥拱,如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.OCDEF┗设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.基础训练知识点二利用垂径定理解决实际问题如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂径定理有关的分类讨论03知识点垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂【例3】一弓形弦长为cm,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为___________.DCOAB图aCBOAD图b2cm或12cm典型例题知识点三与垂径定理有关的分类讨论【例3】一弓形弦长为cm,弓形所在的圆的半径为7cm,已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,且AB=12cm,CD=16cm,则弦AB和CD之间的距离为__

.14cm或2cmODCBA图1ODCBA图2FEFE基础训练知识点三与垂径定理有关的分类讨论已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,且AB=12cm,C垂径定理内容辅助线垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线连半径,作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结垂径定理内容辅助线垂直于弦的直径平分弦,两条辅助线构造Rt△强化训练OPTION强化训练OPTION1.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P为AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是_______________.3cm≤OP≤5cmBAOP拓展提升1.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P为AB上的一个动点2.已知：如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.你认为AC和BD有什么关系?为什么?证明：过O作OE⊥AB,垂足为E，则AE=BE,CE=DE.∴AE-CE=BE-DE

即AC=BD..ACDBOE注意：解决有关弦的问题,常过圆心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直径,它是一种常用辅助线的添法.拓展提升2.已知：如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小3.已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM(垂直平分弦的直径平分弦所对的弧)

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒夹在两平行弦之间的弧相等。

拓展提升3.已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.⌒⌒.MCD4.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明:∵OE⊥AC,OD⊥AB,AB⊥AC.∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∴∠OEA=,∠EAD=∠ODA=90º,拓展提升4.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD5.如图,点A,B是⊙O上两点,AB=8,点P是⊙O上的动点(P不与A,B重合),连接AP,BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF=___.4OPFEBA拓展提升5.如图,点A,B是⊙O上两点,AB=8,点P是⊙O上的动点6.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,若油面宽AB=600mm,求油的深度。OBAOAB拓展提升6.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,若油面宽OABCDDOABC7.已知A、B、C是⊙O上三点,且AB=AC,圆心O到BC的距离为3厘米,圆的半径为5厘米,求AB长.拓展提升OABCDDOABC7.已知A、B、C是⊙O上三点,且AB=第24章圆人教版九年级(上)数学探究新知知识归纳典型例题当堂训练课堂小结导入新课24.1.2(1)

垂直于弦的直径-定理24.1

圆的有关性质第24章圆人教版九年级(上)数学探究新知知识归纳典型例【问题1】把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?圆是轴对称图形.O任何一条直径所在直线(或经过圆心的直线)都是圆的对称轴.O【问题2】圆有几条对称轴？【结论1】【结论2】温故知新【问题1】把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂径定理有关的分类讨论03知识点垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂【探究1】如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒

CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合,AC和BC,AD与BD重合；⌒⌒⌒⌒·OABDEC或利用△AOE≌△BOE(HL)来证明。理由如下：

把圆沿着直径CD折叠时,探究新知知识点一垂直于弦的直径-垂径定理【探究1】如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E·OABCDE归纳推导格式：∵直径CD⊥AB(或OD⊥AB)∴AE=BE,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理：要点归纳知识点一垂直于弦的直径-垂径定理·OABCDE归纳推导格式：∵直径CD⊥AB(或OD⊥下列图形是否具备垂径定理的条件？不是OABCOABCEOABCDE不是是定理中的两个条件缺一不可①过圆心(直径)；

②垂直于弦归纳总结垂径定理的几个基本图形：OABCDEOABCDOABCOABCE要点归纳知识点一垂直于弦的直径-垂径定理下列图形是否具备垂径定理的条件？不是OABCOABCEOAB【例1】如图,⊙O的弦AB=8cm,直径CE⊥AB于D,DC=2cm,

求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵直径CE⊥AB于D，∴设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得解得x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，典型例题知识点一垂直于弦的直径-垂径定理【例1】如图,⊙O的弦AB=8cm,直径CE⊥AB于D,DC1.如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.2.如图所示,AB是⊙O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,则下列结论不一定成立的是()A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.D.OE=BE·OABE16·OCDABED基础训练知识点一垂直于弦的直径-垂径定理1.如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6c垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂径定理有关的分类讨论03知识点垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂【例2】赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.求出赵州桥主桥拱的半径.(结果保留小数点后一位).典型例题知识点二利用垂径定理解决实际问题【例2】赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历37.4m7.23mABOCE解：如图,用弧AB表示主桥拱,设其坐在圆的圆心为O,半径为R经过点O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与弧AB相交于点C,连接OA.根据垂径定理,D是AB的重点,C是弧AB的重点,CD就是拱高由题设可知:AB=37cm,CD=7.23cm∴AD=0.5AB=0.5×37=18.5cm，OD=OC-CD=R-7.23在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2解得:R≈27.3(m)∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m典型例题知识点二利用垂径定理解决实际问题37.4m7.23mABOCE解：如图,用弧AB表示主桥拱,如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.OCDEF┗设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.基础训练知识点二利用垂径定理解决实际问题如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂径定理有关的分类讨论03知识点垂直于弦的直径-垂径定理01利用垂径定理解决实际问题02与垂【例3】一弓形弦长为cm,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为___________.DCOAB图aCBOAD图b2cm或12cm典型例题知识点三与垂径定理有关的分类讨论【例3】一弓形弦长为cm,弓形所在的圆的半径为7cm,已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,且AB=12cm,CD=16cm,则弦AB和CD之间的距离为__

.14cm或2cmODCBA图1ODCBA图2FEFE基础训练知识点三与垂径定理有关的分类讨论已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,且AB=12cm,C垂径定理内容辅助线垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线连半径,作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结垂径定理内容辅助线垂直于弦的直径平分弦,两条辅助线构造Rt△强化训练OPTION强化训练OPTION1.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P为AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是_______________.3cm≤OP≤5cmBAOP拓展提升1.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P为AB上的一个动点2.已知：如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.你认为AC和BD有什么关系?为什么?证明：过O作OE⊥AB,垂足为E，则AE=BE,CE=DE.∴AE-CE=BE-DE

即AC=BD..ACDBOE注意：解决有关弦的问题,常过圆心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直径,它是一种常用辅助线的添法.拓展提升2.已知：如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小3.