国开《复变函数》形考任务(1-8)试题及答案形成性考核00421

国开形成性考核《复变函数》形考任务(1-8)试题及答案（课程ID：00421，整套相同，如遇顺序不同，Ctrl+F查找，祝同学们取得优异成绩！）形考任务1一、单项选择题题目：1、若z1

=（a，b），z2

=（c，d），则zz1·2

=（C）。【C】：【A】：（ac+bd，a）【C】：【B】：（ac-bd，b）题目：2、若R>0，则N（∞，R）={z：（D）}。【A】：丨Z丨<R【B】：0<丨Z丨<R【C】：R<丨Z丨<+∞【D】：丨z丨>R【A】：【B】：题目：3、若z=x+iy，则y=（D）。【A】：【B】：【D】：题目：4、若【D】：题目：4、若，则丨A丨=（C）。【B】：0【C】：1【D】：2二、填空题（如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样）题目：5、若z=x+iy，w=z2=u+iv，则v=（2xy）.题目：6、复平面上满足Rez=4的点集为（{z=x+iy|x=4}）充分必要条件是=（x）且0=（y）。0题目：7、（设E为点集，若它是开集，且是连通的，则E）称为区域。题充分必要条件是=（x）且0=（y）。0（中，输入“见附件”字样）题目：9、求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐角.解：Re(-1-i)=-1

2ary(1,i)arctan|

15题目：11、写出复数的代数式.题目：10、写出复数-i的三角式.解：题目：11、写出复数的代数式.

1 4解：题目：12、求根式解：题目：12、求根式的值.题目：题目：14、证明：解：题目：13、证明：若，则a解：题目：13、证明：若，则a2+b2=1.解：而解：形考任务2解：题目：1题目：1、若f（z）=x2-y2+2xyi，则=（D）。【A】：2x【B】：2y【C】：2x+2yi【D】：2x-2y-2yi【A】：【B】：题目：2、若f（z）=u（x，y）+iv（x，y），则柯西—黎曼条件为（D）。【A】：【B】：【C】：【D】：题目：3、若f（z）=z+1f（z）（D）。【C】：【D】：【A】：仅在点z=0解析【B】：在z=0不解析且在z≠0解析【C】：无处解析【D】：处处解析（C）。【A】：解析【B】：不连续【C】：连续】：可导二、填空题(如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：5、若f（z）在点a（不解析，则称a为f（z）题目：6、若f（z）z=1（领域可导，则f（z）z=1题目：8、若f'(1)=（不存在题目：7题目：8、若f'(1)=（不存在fzz。解：==解：==解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iyu=excosyv=exsinyf(z)=u+iv∴f(z)在复平面解析，且f'(z)=excosy+iexsiny题目：11、设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=x3-3xy2，f（i）=0，试求f（z）。解：解：依C-R条件有Vy=ux=3x2-3y2则V（x1y）=3x2y-y3+c(c故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic=z3+ic，为使f(i)=0,当x=0,y=1时，f(i)=0,有f(0)=-i+ic=0∴c=1∴f(z)=Z3+i题目：12、设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=2（x-1）y，f（2）=-i，试求f（z）。解：依C-R条件有Vy=ux=2y∴V=∫2ydy=y2+φ(x)∴Vx=φ’(x)=-uy=-2x+z∴φ(x)=∫(-2x+2)dx=-x2+2x+cV=y2-x2+2x+c(c∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-i∴c=-1∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1)=-(z-1)2i题目：13、试在复平面讨论题目：13、试在复平面讨论的解析性。解：令f(z)=u+iv 则iz=i(x+iy)=-y+ix∴u=-yv=x于是ux=0uy=-1Vx=1Vy=0∵ux、uy、vx在复平面内处处连接又Ux=VyUy=-Vx。∴f(z)=iz在复平面解析。fz在区域G，z，则z）在G内为常数。解：证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G∵f(z)在G内解析，Ux=Vy,Uy=-Vx又（z）=0,（z）=Ux+iVxUx=0Vx=0Uy=-Vx=0Ux=Vy=0U为实常数C1，V也为实常数C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G内为常数。形考任务3题目：1、z=题目：1、z=（C）是根式函数的支点。【A】：i【B】：1【C】：0【D】：π题目：2、z=题目：2、z=（A）是函数的支点【B】：i【C】：2i【D】：-1【C】：题目：7、lni=（）。题目：3、e【C】：题目：7、lni=（）。【A】：sin1【B】：cos1+isin1【D】：cos1【A】：【B】：题目：4、sin1=（D）。【A】：【B】：【D】：题目：5、cosi=（【D】：题目：5、cosi=（）。题目：6、=（e(cos1+isin1)）。题目：8、Ln(1+i)=题目：8、Ln(1+i)=（k为整数）。题目：题目：12、求方程的解。中，输入“见附件”字样)题目：9、设z=x+iy，计算∴∴中，输入“见附件”字样)题目：9、设z=x+iy，计算∴∴题目：10、设z=x+iy，计算解：题目：10、设z=x+iy，计算题目：11、求方程2Inz=πi的解。解：∵lnz=iπ/2∴由对数函数的定义有:∴所给方程的解为z=i∵解：∵=z=n2+i或z=n(1+=z=n2+i或z=n(1+)题目：13、试证：sin2z=2sinz·cosz。解：Sin2z=2sinzcosz=证明：根据正弦函数及余弦正数定义有：Sin2z=2sinzcosz==∴ sin2z=2sinz•cosz=====题目：14、证明：题目：14、证明：证明:令A=1+cosx+cos2x+…+cosnx∴=B=sinx+sin2x+…sinnx∴=∴形考任务4∴一、单项选择题题目：1、题目：1、=（D），c为起点在0，终点在1+i的直线段。【B】：2i【C】：0【D】：2（1+i）题目：2、题目：2、=（A）。【B】：0【C】：10i【D】：i题目：3、=题目：3、=（A）。【B】：【C】：-1【D】：i题目：4、=（B）题目：4、=（B）。【B】：【C】：4πi【D】：-2πi二、填空题(如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)55fz与（x沿曲线cf(z)dz+解：题目：11、将函数在点z=0展成幂级数．解：题目：解：题目：11、将函数在点z=0展成幂级数．解：题目：12、将函数在点z=1展成幂级数．题目：6、题目：6、=（7）。丨≤M，则≤（<ML）。L为曲线ccc丨≤M，则≤（<ML）。题目：8、=题目：8、=（）。中，输入“见附件”字样)题目：9、将函数在点z=0展成解：题目：10、将函数解：题目：10、将函数在点z=1展成幂级数．解：题目：13、证明：解：题目：13、证明：．解：令，则f（z）=在上半平面的奇点只有一个z=ai，且ai为f（z）的令，则f（z）=在上半平面的奇点只有一个z=ai，且ai为f（z）的∴等式左边==0=等式右边∴等式左边==0=等式右边题目：14、证明：题目：14、证明：．解：形考任务5题目：1、幂级数题目：1、幂级数的收敛半径等于（C）。【A】：3【B】：0【C】：1【D】：2题目：2、点z=-1是f（z）=5z2+10z+5的（B）级零点。【A】：5【B】：2【C】：3【D】：1题目：3、级数的收敛圆为（B）。【A】：题目：3、级数的收敛圆为（B）。【B】：丨z-1丨＜1【C】：丨z丨＜3【D】：丨z-1丨＜3于是，使成立的收敛圆的半径等于（B）于是，使成立的收敛圆的半径等于（B）。【A】：b-a+1【B】：丨a-b丨【C】：丨a+b丨【D】：a+b+1题目：5、级数题目：5、级数的收敛圆为（R=+∞,即整个复平面）。题目：7、幂级数的收敛半径等于（0）。），则题目：7、幂级数的收敛半径等于（0）。题目：8、z=0是f（z）=ez-1的（1）级零点。题目：9、将函数题目：9、将函数在点z=0展成幂级数．f(z)===f(z)=====题目：10、将函数在点z=0展成幂级数．=题目：10、将函数在点z=0展成幂级数．=题目：11、将函数在点z=1展成幂级数．题目：11、将函数在点z=1展成幂级数．f(z)=(z+2)-1=题目：12、将函数题目：12、将函数在点z=1展成幂级数．=f(z)=ezf(n)=ez=四、证明题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：13、证明：题目：13、证明：e-iz=cos-isinzeiz-e-iz=2isinz-2isinz=-(eiz-e-iz) =eiz-e-iz-2isinzeiz =(e-iz-eiz)eiz=e0-e2iz=1-e2iz题目：14、试用解析函数的唯一性定理证明等式：cos2z=cos2z-sin2z解：证①f(z)=cos2z,则f1(z)复平面G解析1设f(z)＝cosz－sin2ｚ，f(z)G2 2②取E=K为实数轴,则E在G内有聚点.③当Ecos2z=cos2z-sin2zf(z)f(z)1 2由解析函数唯一性定理,由以上三条知f(z)f(z) Z∈G1 2即cos2z=cos2z-sin2z Z∈G形考任务6题目：1、函数题目：1、函数在点z=2的去心邻域（A）内可展成罗朗级数。【A】：0z-2<1【B】：0<丨z-1丨<5【C】：0<丨z丨<3【D】：1<丨z-1丨<3aaa【A】：解析点【B】：可去奇点【C】：极点【D】：本性奇点【A】：【B】：题目：3、若点a为函数f（z）的孤立奇点，则点a为f（z）的极点的充分必要条件是（D）。【A】：【B】：【C】：【D】：【A】：【B】：题目：4、若点a为函数f（z）的孤立奇点，则点a为f（z）的本性奇点的充分必要条件是（C）。【C】：【D】：【A】：【B】：【C】：【D】：【C】：【D】：为函数f在点a（）为该级数的主要部分。（某个去心邻域内解析a题目：6、设点 a为函数 f（z）的奇点，若 （某个去心邻域内解析a题目：7、若题目：7、若z=0f（z）（0）级极点。题目：8、若题目：8、若，则点z=0为f（z）的（非孤立）奇点。f(z)=题目：13、设，试证z=0为f（z）的本性奇点。题目：9、将函数f（z）=（z-2）-1在点z=0f(z)=题目：13、设，试证z=0为f（z）的本性奇点。题目：10、将函数在点z=1的去心邻域展成罗朗级数。题目：10、将函数在点z=1的去心邻域展成罗朗级数。f(z)=题目：11、试求函数f（z）=z-3·sinz3的有限奇点，并判定奇点的类别。解：解析,无奇点,f(z)的有限奇点为z=0.并且为3阶极点.题目：12、试求函数f（z）=[z(1-z2)]-1的有限奇点，并判定奇点的类别。f(z)的m阶奇点即的阶零点,而f(z)的m阶奇点即的阶零点,而零点为的有限奇点为z=0，z=1,z=-1且均为1阶极点.z=0，z=1，z=-1，且均为1阶零点。的有限奇点为z=0，z=1,z=-1且均为1阶极点.四、证明题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)解：题目：14、设，试证z=0为f（z）的6级极点。题目：14、设，试证z=0为f（z）的6级极点。证:要证z=0为f(z)的6级极点,只需证z=0为的6阶零点而=8z3而=8z3=8z6令1=8z6令则0 z0为f(z)的6阶零点z=0 f(z6形考任务7题目：1、若题目：1、若，则Res（f，1）=（D）。【A】：0x【B】：3【C】：2【D】：1题目：2、若题目：2、若，则=（C）．【B】：i【C】：0【D】：4题目：3、若题目：3、若，则=（C）。【C】：0【D】：1/4题目：4、若点a为f（z）的可去奇点，则Res（f，a）=（D）。【A】：-1/2x【B】：i【C】：1/2【D】：0a。题目：6、若点a为f（z）的可去奇点，则Res（f，a）=（0）。题目：8、=（14πi）。题目：7、若f（z）=5z256z1016z42，则f（z）在丨z题目：8、=（14πi）。三、计算题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：9、计算函数f（z）=（1+z）（z2-2z）-1在点z=0，z=2的残数。∴s（∴s（z））===1/2Res（f（z），0）===3/2、计算函数在z=n）的残数。解：∵z=nπ是1/f(z)=sinz的一级零点∴s∴s（z），===题目：11、计算积分。题目：11、计算积分。题目：12、计算积分题目：12、计算积分。cosθ=cosθ=，当θ02c:|z|=1题目：13、证明：题目：13、证明：．令，则f（z）=在上半平面的奇点只有一个z=ai，且ai为f（z）的令，则f（z）=在上半平面的奇点只有一个z=ai，且ai为f（z）的一级极点。∴等式左边==0=等式右边∴等式左边==0=等式右边题目：14、证明：题目：14、证明：