2022年秋高中数学第五章数列5.4数列的应用课后习题新人教B版选择性必修第三册

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7.某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”,自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件,已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是100-200910n万元,则n的值为.

8.(2022湖南长沙实验中学高二阶段练习)某人每月15日发工资,2022年1月15日发工资后,他随即从工资中拿出1000元存入银行,以后每月领工资后,都于当天在工资中拿出1000元存入银行.若银行存款月利率为0.002,那么按照复利计算,一年后他可以从银行取出本息共元.(精确到1元)

9.今年“五一”期间,某公园免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来,……按照这种规律进行下去,到上午11时30分公园内的人数是.

10.沿海某市为了进一步完善海防生态防护体系,林业部门计划在沿海新建防护林3万亩,从2020年开始,每年春季在规划的区域内植树造林,第一年植树1200亩,以后每一年比上一年多植树400亩,假设所植树木全部成活.(1)到哪一年春季新建防护林计划全部完成?(2)若每亩新植树苗的木材量为2立方米,且所植树木每一年从春季开始生长,到年底停止生长时木材量的年自然增长率为10%,到新建防护林计划全部完成的那一年底,新建防护林的木材总量为多少立方米?(参考数据:1.111≈3)关键能力提升练11.一个卷筒纸的内圆直径为4cm,外圆直径为12cm,一共卷60层,若把各层都视为一个同心圆,令π=3.14,则这个卷筒纸的长度(精确到个位)为()A.17m B.16m C.15m D.14m12.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL.如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小,当他可以驾驶机动车时,至少需要经过(精确到小时)()A.1小时 B.2小时C.4小时 D.6小时13.《算法统宗》中有这样一个问题:“二百五十二里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走252里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.则最后一天走了()A.4里 B.16里 C.64里 D.128里14.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图):△ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3分别以A,B,C为圆心,AC,BA1,CA2为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线,然后又以A为圆心,AA3为半径画弧……如此下去,则所得螺旋线CA1,A1A2,A2A3,…,A28A29,A29A30的总长度Sn为()A.310π B.1103π C.58π D.11015.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定,假设某种传染病的基本传染数R0=3(注:对于R0>1的传染病,要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径),那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为.(注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……)

16.某学习软件以数学知识为题目设置了一项闯关游戏,共有15关,每过一关可以得到一定的积分,现有三种积分方案供闯关者选择.方案一,每闯过一关均可获得40积分;方案二,闯过第一关可获得5积分,后面每关的积分都比前一关多5;方案三,闯过第一关可获得0.5积分,后面每关的积分都是前一关积分的2倍.若某关闯关失败则停止游戏,最终积分为闯过的各关的积分之和.设三种方案闯过n(1≤n≤15,且n∈N+)关后的积分之和分别为An,Bn,Cn,要求闯关者在开始前要选择积分方案.(1)求出An,Bn,Cn的表达式.(2)如果你是一个闯关者,为获得尽量多的积分,这几种积分方案该如何选择?小明通过试验后觉得自己至少能闯过12关,他应该选择第几种积分方案?学科素养创新练17.设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000m3/s,黄河水的含沙量为2kg/m3,洮河水的含沙量为20kg/m3,假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1秒内交换1000m3的水量,即从洮河流入黄河1000m3的水混合后,又从黄河流入1000m3的水到洮河再混合.(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;(2)从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3?(不考虑泥沙沉淀)

参考答案5.4数列的应用1.B设该数列为{an},依题意,数列{an}为1,4,8,14,23,36,54,…两两作差,得数列{bn}为3,4,6,9,13,18,…两两作差,得数列{cn}为1,2,3,4,5,…令bn=an+1-an,设{bn}的前n项和为Bn,又令cn=bn+1-bn,设{cn}的前n项和为Cn.易知cn=n,Cn=n2进而得bn+1=3+Cn=3+n2所以bn=3+n(n则Bn=n(n+1)(所以an+1=1+Bn,所以a19=1024.2.A冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{an},设公差为d,由题意得a1+a2+a3=28.5,a10+a11+a12=1.5,解得a1=10.5,d=-1,所以3.D设每年偿还的金额为x,则a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-1,所以a(1+p)m=x1-(1+p解得x=ap(故选D.4.B大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列{an},{bn},它们都是等比数列,a1=b1=1,数列{an}的公比为q1=2,数列{bn}的公比为q2=12,设需要n天能打穿墙则(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=1-2n1-2+1当n=10时,2n+1-12n-1=1025-当n=11时,2n+1-12n-1=2049-因此需要11天才能打穿.故选B.5.430.33设每一期所还款数为x元,因为贷款的月利率为0.5%,所以每期所还款本金依次为x1+0.5%,则x1+0.5%+x即x11+0.5%+1=x(1+0.=x(1+0.5%x=5000×0.5%赵先生每个月所要还款约430.33元.6.(6,44)如图,设粒子运动到A1,A2,…,An时所用的时间分别为a1,a2,…,an,则a1=2,a2=6,a3=12,a4=20,…,an-an-1=2n,将a2-a1=2×2,a3-a2=2×3,a4-a3=2×4,…,an-an-1=2n相加得an-a1=2(2+3+4+…+n)=n2+n-2,则an=n(n+1),由44×45=1980,得运动了1980秒时它到点A44(44,44),又由运动规律知,A1,A2,…,An中,奇数点处向下运动,偶数点处向左运动,故粒子到达A44(44,44)时,向左运动38秒即运动了2018秒,到达点(6,44),则所求点应为(6,44).7.10由题意,可得第n层的货物的价格为an=n·910n-1,设这堆货物总价是Sn=1×9100+2×9101+3×9102+…+n×910n-1,①由①×910可得910Sn=1×9101+2×9102+3×9103+…+n×910n,②由①-②,可得110Sn=1+9101+9102+9103+…+910n-1-n·910n=1-(910)

n1-910-n·910n=10-(10+n∴Sn=100-10(10+n)·910n.∵这堆货物总价是100-200910n(万元),∴n=10.8.121572022年1月15日存入的1000元,到2023年1月15日的本息和为1000×1.00212(元),2022年2月15日存入的1000元,到2023年1月15日的本息和为1000×1.00211(元),2022年3月15日存入的1000元,到2023年1月15日的本息和为1000×1.00210(元),……2022年12月15日存入的1000元,到2023年1月15日的本息和为1000×1.002(元),因此,一年后他可以从银行取出本息共1000×(1.002+1.0022+…+1.00212)=1002×(1-19.4039设每个30分钟进去的人数构成数列{an},则a1=2=2-0,a2=4-1,a3=8-2,a4=16-3,a5=32-4,……,an=2n-(n-1).设数列{an}的前n项和为Sn,依题意S11=(2-0)+(22-1)+(23-2)+…+(211-10)=(2+22+23+…+211)-(1+2+…+10)=2(1-211)1-2−11×102=21210.解(1)设第n年春季植树为an亩,由题意,可知a1=1200,an+1-an=400=d(常数),所以{an}为等差数列.设植树n年新建防护林计划全部完成,则1200n+n(n-化简得n2+5n-150=0,所以n=10.因为2020+10-1=2029,所以到2029年新建防护林计划全部完成.(2)设从2020年开始,第n年年底种植树木到2029年底的木材量为数列{bn},则b10=a10×2×1.1,b9=a9×2×1.12,…,b1=a1×2×1.110.则木材总量S=b1+b2+…+b10=2(1.1a10+1.12a9+…+1.110a1),1.1S=2(1.12a10+1.13a9+…+1.111a1),所以0.1S=2[-1.1a10+d(1.12+1.13+…+1.110)+a1·1.111]=2-1.1×4800+400×1.12-1.111解得S=109600,所以到2029年底新建防护林的木材总量约为109600立方米.11.C纸的厚度相同,且各层同心圆直径成等差数列{dn},则纸的长度为l=πd1+πd2+πd3+…+πd60,其中d1+d2+d3+…+d60=d1+d602×60=480,则l=πd1+πd2+πd3+…+πd60=480π=480×3.14=1507.12.C设n个小时后才可以驾车,根据题意,可知每小时酒精下降的量成等比数列,公比为50%,进而可得方程0.3×(1-50%)n≤0.02,得12n≤115,即n≥4,所以至少要经过4小时后才可以驾驶机动车.故选C.13.A由题意得此人每天走的路程构成公比为12的等比数列,且前6项和为252设首项为a1,则有a1[1-(12)∴a6=128×125=4.故选A.14.A根据弧长公式,知螺旋线CA1,A1A2,A2A3,…,A3n-2A3n-1,A3n-1A3n的长度分别为2π3,2×2π3,3×2π3,…,3n×2π3,此数列是2π3为首项,2π3为公差,项数为3n的等差数列,根据等差数列的求和公式,得Sn=3n×2π3+3n(3n-1)2×2π3=n(3n+1)π,此时n=10,易得螺旋线CA1,A1A2,A2A15.4095初始一名感染者,经过一轮传染后,感染人数为1+R0=4,经过二轮传染后,感染人数为4+4R0=16,经过三轮传染后,感染人数为16+16R0=64,……则每一轮传染后的感染人数构成以4为首项,以4为公比的等比数列,设为{an}.经过n轮传染后,感染人数为an=4×4n-1=4n,所以由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为46-1=4095.16.解(1)按方案一闯过各关所得积分构成常数数列,故An=40n;按方案二闯过各关所得积分构成首项为5,公差为5的等差数列,故Bn=5n+n(n-1按方案三闯过各关所得积分构成首项为12,公比为2的等比数列故Cn=12(1-2(2)令An>Bn,即40n>5n2+5n2而当n=15时,An=Bn,又因为n≤15且n∈