2018-2019学年第一学期数学湘教七年级第二章代数式电子课件

用字母表示数本课内容本节内容2.1

据中国新闻网2011年9月19日报道：中国工程院院士袁隆平指导的“Y两优2号”百亩①超级杂交稻试验田平均亩产926.6kg，创中国大面积水稻亩产的最高纪录.注：①亩，我国的一种面积单位.1亩≈666.67m2.动脑筋杂交水稻之父———袁隆平（1）根据上面数据完成下表：亩数11.522.53…总产量（kg）926.6×1926.6×1.5…926.6×2从表中可知，总产量可用“926.6×亩数”求得．926.6×2.5926.6×3a亩水稻的总产量是

926.6×a(kg).平均亩产为bkg时，a亩水稻的总产量是a×b(kg).（2）如果用字母a表示亩数，那么a亩水稻的总产量是多少？（3）如果平均亩产为bkg，那么a亩水稻的总产量是多少？

2011年9月29日21时16分，我国成功发射了“天宫一号”飞行器，它是目前中国最大、最重的在轨飞行航天器.已知“天宫一号”大约每小时绕地球飞行2.844万千米，则它飞行2h，2.5h分别飞行了多少万千米？如果时间为th，那么它飞行了多少万千米？动脑筋“天宫一号”飞行2h，2.5h分别飞行了(2844×2)万千米，2.844×2.5)万千米.th飞行了2.844t万千米.例1

填空：举例（1）比a的0.6倍大c的数是

；（2）a与b的2倍的积为

.解（1）

0.6a+c

；（2）

2ab.例2小莉以5km/h的速度，走了20km的路程，那么她走了多长时间？如用字母v表示速度，用字母s表示路程，那么她走的时间又如何表示呢？举例解小莉走20km所花的时间为20÷5=4(h).若用字母v表示速度，用字母s表示路程，则时间t=s÷v=.

从上述例子看到，用字母表示数，可以统一、简明地表示实际问题中的数量关系.

在含字母的式子里，字母与字母相乘时，“×”号通常省略不写或写成“·”.例如

a×2b=2ab.小提示例如

a×b可以写成

a·b或

ab；字母与数字相乘时，

数字与数字相乘时，一般仍用“×”号，也可用“·”号，但要注意与小数点区分开；字母与字母相除时，例如

926.6×a可以写成

926.6a；例如s÷v

记做在字母和数字的乘积中，数字通常写在字母的左边．（2）学校有各种球共x个，其中蓝球占35%，则蓝球的个数是

；0.35x

（3）比314的a倍多10的数是

；

314a+101.填空：练习（1）小明上学骑自行车的速度是其步行速度的3倍，若小明的步行速度为am/s，则小明骑自行车的速度是

；

（4）比15b的一半少3的数是

.

3am/s解中考试题例1

某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看1本书，租期不超过3天；每天租金a元；租期超过3天，从第4天开始每天加收b元，如果租看7天归还，那么租金为

元.

依题意，得（7a+4b）元.（7a+4b)解中考试题例2

为鼓励节约用电，某地居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100千瓦时，那么每千瓦时电价按a元收费；如果超过100千瓦时，那么超过部分每千瓦时电价按b元收费.某户居民在一个月内用电160千瓦时，该户居民这个月应缴纳电费

元.

用电160千瓦时，由题可知，其中100千瓦时按a元收费，60千瓦时按b元收费.故，该户居民这个月应缴纳（100a+60b）元.（100a+60b）解中考试题例3

如图所示，有一块长为a，宽为b的长方形铝片，四角各载去一个相同的边长为x的正方形，折起来做成一个没有盖的盒子，则此盒子的容积的表达式应该是（）A.V=x2(a-x)(b-x)B.V=x(a-x)(b-x)C.V=x(a-2x)(b-2x)D.V=x(a-2x)(b-2x)

由题意可知，盒子的底面长为(a-2x),宽为(b-2x),高为x.因此，盒子的容积为：V=x(a-2x)(b-2x).故选D.分析

本题应采用直接法求解.D列代数式本课内容本节内容2.2观察图，并完成下表：观察六边形的个数图案所需火柴（根）1626+536+5×246+5×………m(m为正整数)…6+5×3m-1围4个六边形需火柴棍6+5×(4-1)=21（根）.每增加一个六边形就增加5根火柴棍，因此围m个六边形，需火柴棍［6+5(m-1)］根．六边形的个数图案所需火柴（根）1626+536+5×246+5×………m(m为正整数)…6+5×3m-1

单独一个字母或者一个数也是代数式.

前面我们列出了一些式子，如926.6a，ab，2ab，0.6a+c，

，6+5（m-1），

像这样，把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫做代数式.例如-5，23，

-m，n都是代数式.例1

用代数式表示：

（1）a的7倍与2b的差；

（2）x,

y两数的平方和减去两数积的2倍；（3）a的倒数与b的和.举例解

（1）

7a-2b；（2）x2+

y2-2xy；

（3）

.例2

（1）已知铅笔每支x元，练习本每本y元.小明买铅笔5支，练习本6本，需多少元？举例解（1）需（5x+6y）元；（2）小兰骑自行车的速度是（v+10）km/h，

从家到学校需

（2）小兰的家距学校5km，她步行的速度是vkm/h.而骑自行车比步行快10km/h.

她骑自行车的速度是多少？她骑自行车从家到学校需多长时间?举出实例，说说代数式25a可以表示什么.如果苹果的价格是每千克a元，买25

kg苹果则需要25a元．说一说如果用am/s表示小强跑步的速度，则他跑25s所跑的路程为25am．练习1.

用代数式填空：（1）某阶梯教室第一排有8个座位，第二排有10个座位，以后每排都比它前一排多2个座位，那么第n

排有

个座位；[8+2(n-1)]（2）一批货物共xt，第一天售出，第二天售出剩下的一半，还剩下货物

t.[x

-x

-(x-x)]

（1）a与b的和的平方；2.列代数式：（2）一件进价为x元的商品，卖出后利润率为

25%，那么这件商品的利润是多少元？

(利润=进价×利润率)(a+b)20.25x元（3）某储户存入一年期定期储蓄10000元，一年期定期储蓄的年利率为a%，则一年到期后，该储户可得本息和（本金与利息的和）多少元？（利息=本金×年利率×年数）10000+10000×a%3.请你举出实例，说说代数式可以表示什么.答：一斤苹果a元，买半斤苹果需要元.解中考试题例1

代数式4a可表示的实际意义是

.

如每支钢笔4元，买a支钢笔所需钱数为4a元；正方形的边长为a，它的周长为4a等.正方形的边长为a，它的周长为4a分析

本题是要说出实际意义，即找4a的一个问题背景.答案不惟一，只要符合实际意义及代数式的意义即可.解中考试题例2

D

“x的与y的和”用代数式表示为（）

A.(x+y)B.x++yC.x+yD.x+y分析

列代数式时，根据语序确定运算顺序.

依题意，得x+y.故选D.代数式的值本课内容本节内容2.3

今年植树节时，某校有305名同学参加了植树活动，其中有的同学每人植树a棵，其余同学每人植树2棵.动脑筋

你能用代数式表示他们植树的总棵数吗？

如果a=3，他们共植树多少棵？

如果a=4，他们共植树多少棵？

他们共植树

×305×a+×305×2=122a+366（棵）当a=3时，他们共植树

棵，当a=4时，他们共植树

棵.732

你能用代数式表示他们植树的总棵数吗？

如果a=3，他们共植树多少棵？

如果a=4，他们共植树多少棵？854

如果把代数式里的字母用数代入，那么计算后得出的结果叫做代数式的值.代入一个a值代数式122a+366得出一个结果

代数式里的字母可以取各种不同的数值，但所取的数值必须使代数式和它表示的实际数量有意义，如上例122a+366中的字母a不能取负数，又如中的v不能取零.例1

（1）当x=-3时，求x2

-3x+5的值；（2）当a=0.5，b=-2时，求

的值.举例解（1）当x=-3时，

x2-3x+5=(-3)2-3×(-3)+5=23；（2）当a=0.5，b=-2时，例2我们在计算不规则图形的面积时，有时采用“方格

法”来计算．计算方法如下：假定每个小方格的边

长为1个单位长，S为图形的面积，L是边界上的格点

数，N是内部格点数，则有

.请根据此

方法计算图中四边形ABCD的面积.举例解由图可知，边界上的格点数L=8，

内部格点数N=12，所以四边形ABCD的面积为：练习1.

填空：输入a的值输出结果.-2a+1-440-7912.当

x=0.5，y=

0.79时，求代数式4x2＋2y的值．答：2.58.3.请用例2的方法求右图中图形的面积．答：面积为48.4.请你查阅有关资料找出两个公式，再取适当的

数值代入公式，求出结果.解中考试题例1

当x=-2时，代数式(x+2)2-x(x+1)的值等于(

)A.2B.-2C.4D.-4当x=-2时，原式=(-2+2)2-(-2)(-2+1)=0-2=-2.故选B.B分析

本题中，应将x=-2直接代入求值.解中考试题例2

当x=3时，代数式px3+qx+1的值为2002，则当x=-3时，代数式px3+qx+1的值为（）A.2000B.-2002C.-2000D.2001∵当x=3时，px3+qx+1=27p+3q+1=2002,∴当x=-3时,px3+qx+1=-27p-3q+1=-27p-3q-1+1+1=-(27p+3q+1)+2=-2002+2=-2000.故选C.C解中考试题例3

如图所示，一张边长为16cm的正方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体，设长方体的容积为Vcm3，请回答下列问题：（1）用含有x的代数式表示V，则V=

.（2）完成下表：（3）观察上表，容积V的值是否随x的增大而增大？当x取什么值时，容积V的值最大？

x(cm)1234567

V(cm3)x(16-2x)21962883002561809628

V的值不是随x增大而增大，从表中可知，当x=3时，V最大.整式本课内容本节内容2.4动脑筋（1）长为x，宽为0.8x的长方形的面积是多少？（2）半径为r的圆的面积是多少？（3）长方体的底面是边长为x的正方形，高为y，这个长方体的体积是多少？

0.8x2，πr2，x2y

它们有什么共同点?

像0.8x2，πr2，x2y这样，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式.单独一个字母或者一个数也是单项式.单项式中，与字母相乘的数叫做单项式的系数.

例如，0.8x2的系数是0.8；πr2的系数是π

（注意：π是圆周率，是一个数）；x2y

的系数是1；-x的系数为-1.例如x，

是单项式.

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

例如，0.8x2的次数是2；πr2的次数是2；x2y的次数是3；-x的次数是1.

如果单项式只是一个数，并且这个数不是0，那么它的次数是0.例如，单项式

的次数是0.

填表（其中π是圆周率）：单项式

1.5x4-y5xy2π

r2h2π

r系数1.5次数4-1153π312π做一做

下图是某拱形门的示意图，它是由上、下两部分组成的.已知上部分的面积为

，下部分的面积为xy，则这个图形的面积是多少（结果保留π）？说一说该图形的面积是我们发现，

可以看做是单项式

与xy的和.2x3-5x2y+3xy-1可以看做是单项式2x3，-5x2y，3xy与-1的和.

像

，2x3-5x2y+3xy-1这样，由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.

组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项.

例如，在多项式2x3-5x2y+3xy-1中，2x3，-5x2y，3xy与-1都是它的项，其中-1是常数项.

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.例如，多项式2x3-7x2+9的次数是3.单项式可看成是只有一项的多项式.习惯上把单项式和多项式统称为整式.多项式的项多项式的次数2x3

-7x2

+9例说出下列多项式的次数和常数项：

（1）2x-3；

（2）-x3+7x-4；（3）3x2-5xy+y2-4x+6y-9.举例解（1）2x-3

2x-3的次数是1，常数项是-3；看字母的指数x的指数是1解（2）-x3+7x-4

-x3+7x-4的次数是3，常数项是-4；此题为多项式多项式里，次数最高的项的次数就是多项式的次数-x3为次数最高的项解（3）3x2-5xy+y2-4x+6y-9

3x2-5xy+y2-4x+6y-9的次数是2，常数项是-9.此题为多项式多项式里，次数最高的项的次数就是多项式的次数3x2,-5xy,y2都是次数最高的项练习1.说出下列单项式的系数和次数：系数是2，次数是3.（1）2x3；（2）；（3）-x；（4）；（5）.系数是，次数是3.系数是-1，次数是1.系数是，次数是4.系数是

，次数是1.

（1）-3x+11；（2）5x2-2x+7；（3）x2-2xy+y2-3x+5y-1；（4）y2-x3+x-2.2.说出下列多项式的次数和常数项：解（1）

-3x+11的次数为1，常数项为11；（2）

5x2-2x+7的次数为2，常数项为7；（3）

x2-2xy+y2-3x+5y-1

的次数为2，常数项为-1；（4）

y2-x3+x-2

的次数为3，常数项为-2.

（1）x4-5x3+7x-3；（2）；（3）

；（4）x2+x+1.3.下列代数式哪些是多项式？哪些不是多项式？解（1）

x4-5x3+7x-3为多项式；（2）

不是多项式；（3）

不是多项式；（4）

x2+x+1为多项式.中考试题例1

多项式x2y3-3xy3-1的次数和项数分别是（）A.5，3

B.5，2C.2，3

D.3，3

多项式的次数是次数最高的项的次数.x2y3的次数为5，-3xy3的次数为4，且本题有三项，所以为五次三项式.故选A.解A中考试题例2

若5a3|m|+1-(m+2)b-10是七次三项式，求m2+m的值.解∵原多项式是一个七次三项式，∴

由①，得m=±2.由②，得m≠-2.故，m=2.因此，m2+2=22+2=6.3|m|+1=7,m+2≠0.中考试题例3

有一个多项式为a8-a7b+a6b2-a5b3…，按照此规律写下去，这个多项式的第八项是

.解

仔细观察这个多项式会发现：字母a的指数第一项为8，以下各项依次减1；对于字母b，第一项不含字母b，自第二项开始字母b的指数为1，依次加1；各项的符号奇数项为“+”号，偶数项为“-”号.所以这个多项式的第八项是-ab7.-ab7整式的加法和减法本课内容本节内容2.5

如图，在一块长为x，宽为y的草地中间，挖了一个面积为的水池后，剩余草地的面积是多少？动脑筋原来草地面积为xy，水池的面积为，因此剩余草地的面积为xy.

例如在多项式x2y+3x+1-4x-5x2y

-5中，同类项有x2y与-5x2y，3x与-4x，1与-5.

像多项式中的项xy，，它们含有的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，称它们为同类项.

多项式

x2y+3x+1-4x-5x2y-5中的同类项可以合并吗？议一议我想可以.因为多项式中的字母表示的是数，所以我们可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并.x2y+3x+1-4x-5x2y-5=x2y-5x2y+3x-4x+1-5（交换律）=(1-5)x2y+(3-4)x+(-4)（分配律）=(x2y

-5x2y)+(3x

-4x)+(1-5)（结合律）=-4x2y-x-4.

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例1

合并同类项：

（1）-4x4-5x4+x4；

（2）

.举例解（1）-4x4-5x4+x4-4x4-5x4+x4=-8x4=(-4-5+1)x4（2）解

合并同类项时，只要把它们的系数相加，字母和字母的指数不变.例2

合并同类项：

（1）-3x2-14x-5x2+4x2

；

（2）xy3+x3y-2xy3+5x3y+9

.举例解（1）-3x2-14x-5x2+4x2找同类项-3x2

=(-3-5

+4)x2

-14x将同类项放在一起=合并同类项=-4x2-14x-5x2+4x2-14x-3x2-14x-5x2+4x2解（2）xy3+x3y-2xy3+5x3y+9找同类项=(1-2)xy3+(1+5)x3y+9将同类项放在一起=合并同类项xy3+x3y

-2xy3+5x3y+9=-xy3+6x3y+9xy3

+5x3y+9+x3y-2xy3

像例2这样，先把同类项在底下画线标出（对于不同的同类项，分别用不同的线），然后运用加法交换律和结合律，把同类项放在一起，最后合并同类项.熟练以后，可以不必把同类项调到一起而直接合并同类项.（1）-3x2-14x-5x2+4x2

；（2）xy3+x3y-2xy3+5x3y+9

.

多项式x3-4x2+7x2-2x-5与多项式x3+3x2-6x+4x-5相等吗？说一说两个式子合并同类项后都等于x3+3x2-2x-5.

两个多项式分别经过合并同类项后，如果它们的对应项系数都相等，那么称这两个多项式相等.1.请将下面的同类项用线连接起来：2x3xy2-5x-7xy23x-4x3-7xy2练习2.合并同类项：（1）6x5-x5+9x5

；（2）-xy-4xy-7xy

；（3）8x4y-6x4y+15xy+9-2x4y.解（1）6x5-x5+9x5=

5x5+9x2=14x5（2）-xy-4xy-7xy=

-5xy-7xy=-12xy（3）8x4y-6x4y+15xy+9-2x4y=

8x4y-6x4y-2x4y+15xy+9=15xy+93.下列两个多项式是否相等？x3-5x2+3x2-7x+2

，x3-2x2+5x-12x+2

.答：x3-5x2+3x2-7x+2=x3-2x2-7x+2，

x3-2x2+5x-12x+2=x3-2x2-7x+2

.所以两个多项式相等.

根据加法结合律，去掉下面式子中的括号，填空：动脑筋a+（b+c

）=____________；a+（

b

-

c

）=____________.由上面的式子你发现了什么？a+b+ca+b

-

c

括号前是“+”号，运用加法结合律把括号去掉，原括号里各项的符号都不变.结论一般地，有下列去括号法则：

a+b与a-b的相反数分别是多少？议一议

根据加法结合律和交换律得(a+b)+(-a-b)=0，因此，a+b与-a-b互为相反数.同样地，我们有a-b与-a+b也互为相反数.动脑筋a–(b-c)=a+(-b+c)=

；a–(-b-c)=a+(b+c)=

.由上面的式子有什么变化规律？a

-

b+ca+b

+

c

括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，原括号里各项的符号都要改变.结论一般地，有下列去括号法则：-b-c我要去掉括号我的符号全变了！b+c

我们可以利用合并同类项和去括号法则进行整式的加减运算.例3

计算：

（1）(5x-1)+(x-1)；

（2）(2x+1)-

(4-2x).举例解

（1）(5x-1)+(x-1)

将括号展开得=5x-1+x-1=6x-2找同类项，计算结果(5x-1)+(x-1)

解

（2）(2x+1)-

(4-2x)

将括号展开得=2x+1-4+2x=4x-3找同类项，计算结果(2x+1)-

(4-2x)

练习1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）2x-(3y-z)=2x-3y-z；（）×（2）-(5x-3y)-(2x-y)=-5x+3y-2x+y；（）√2.计算：（1）u2-v2+(v2-w2)；（2）(4x-2y)-(2x-y)；（3）-(x-3)-(3x-5).解（1）

u2-v2+(v2-w2)=

u2-v2+v2-w2=u2-w2；（2）

(4x-2y)-(2x-y)=

4x-2y-2x+y=2x–y；（3）

-(x-3)-(3x-5)=

-x+3-3x+5=-4x+8.

有两个大小不一样的长方体纸盒，如图所示，已知大纸盒的体积是小纸盒体积的24倍.动脑筋xyz（1）这两个纸盒的体积和为多少？（2）大纸盒与小纸盒的体积差为多少？小纸盒和大纸盒的体积分别为xyz

和24xyz，故两纸盒的体积和为

xyz+24xyz=25xyz.大纸盒的体积与小纸盒的体积差为

24xyz-xyz=23xyz.例4求多项式3x2+5x与多项式-6x2+2x-3的和与差.举例解

根据题意，得

3x2+5x+(-6x2+2x-3)

=3x2+5x-6x2+2x-3

=-3x2+7x-3；3x2+5x-(-6x2+2x-3)=3x2+5x+6x2-2x+3=9x2+3x+3.例5先化简，再求值.举例

5xy-(4x2+2xy)-2(2.5xy+10)，其中x=1，y=-2.解

5xy-(4x2+2xy)-2(2.5xy+10)

=5xy-4x2-2xy-(5xy+20)

=5xy-4x2-2xy-5xy-20

=-4x2-2xy-20.当

x=1，y=

-2

时，-4x2-2xy-20=

-4×12-2×1×(-2)-20=-20.例6如图，正方形的边长为x，用整式表示图中阴影部分的面积，并计算当x=4m时阴影部分的面积（

取3.14）.举例解

阴影部分的面积为当x=4m时，阴影部分的面积为练习1.当x=-3时，求7x2-3x2+(5x