2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：数列第1节数列的概念与简单表示法

第6章数列第一节数列的概念与简单表示法［最新考纲］1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式.2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.（2）数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列a>an+l—n其中nWN*递减数列a<an+1—n常数列a=a=c（常数）n+1n摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列｛a｝的第n项与序号旦之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做n这个数列的通项公式.数列的递推公式如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项a与它的前n一项a（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推n—1公式.递推公式也是数列的一种表示方法.a与S的关系nn若数列｛a｝的前n项和为S,通项公式为a,nnn[Sn=l，则a=n~1S—Sn22Jnn—1［常用结论］数列｛a｝是递增数列a」＞a恒成立.nn+1n

数列｛a｝是递减数列a丄Va恒成立.nn＋1n一、思考辨析(正确的打“V”，错误的打“X”)所有数列的第n项都能使用公式表达.()根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.()如果数列｛a｝的前n项和为S,贝对任意nWN*，都有a=S—S.nnn＋1n＋1n()⑷若已知数列｛an｝的递推公式为暮厂丄，且叮1，则可以写出数列却的任何n一项.()一项.［答案］(1)X⑵V⑶V⑷丁二、教材改编数列t,2—3,1，—1，…的一个通项公式为()A.anA.an=±nB.a=(—1)n・*nn1D.a=一nn1D.a=一nnnn［由a1=—1，代入检验可知选B.］2.在数列｛a｝中，已知a=n1n+1A.—32B-32.在数列｛a｝中，已知a=n1n+1A.—32B-3C.51a，n4D・5贝a3=()3.「1114[a2=1—a=5,a3=1—a=1—5=5-a1把3,6,10,15,21a2…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示).贝第6个三角形数是()A.27B.28C.29D.30B［由题图可知，第6个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.］4•已知数列｛an｝中，a1=1，a2=2，以后各项由an=an—1+an—2(n>2)给出，则％=

8[a=a+a=3,a=a+a=5,a=a+a=8.]321432543。考点1由数列的前n项归纳数列的通项公式解答具体策略：①相邻项的变化规律；②各项的符号规律和其绝对值的变化规律；③分式中分子、分母的变化规律，分子与分母之间的关系；④合理拆项；⑤结构不同的项,化异为同.根据下面各数列前n项的值，写出数列的一个通项公式.()丄7_15312，_4，8，_16，32，…；(2)2,2,9,8,255,55,555,5555,…;1,3,1,3,…;()2^_6_810⑸3，15，35，63，99,[解](1)数列中各项的符号可通过(_1)n+1表示.每一项绝对值的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,…,2n_1n+1数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即1491625n22,2,亍亍…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为下亍555⑶将原数列改写为尹9,9X"，尹999,…，易知数列9,99,999,…的通项为10n5—1，故所求的数列的一个通项公式为an=9(10n—1)・这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是1,偶数项是3,所以数列的一个通项公式为a=2+(_1)n.n这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1X3,3X5,5X7,7X9,9X11,…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6,…，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为a=n2n相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为a=n2n2n_12n+1⑹数列的奇数项为_1,一2,—3,…可用一n+12表示,n数列的偶数项为1,2,3,…可用g表示.<因此<因此a=n号n为奇数，(1)记住常见数列的通项公式，有些数列可用常见数列表示，如T()(3)-(2)对于奇数项和偶数项不能用同一表达式表示的数列，可用分段函数表示，如T()(6).。考点2由a与S的关系求通项公式nn已知S求a的三个步骤nn先利用a1=S1，求出％；用n—1替换S中的n得到一个新的关系，利用a=S—S(n±2)便可求出当n±2nnnn—1时a的表达式；n(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n±2的表达式合并.(1)若数列｛a｝的前n项和S=3n2—2n+1，则数列｛a｝的通项公式a=_nnnn⑵(2018•全国卷I)记S为数列｛a｝的前n项和.若S=2a+1,则5=6⑶已知数列｛a｝满足a]+2a2+3a3+…+na=2n，贝ya=.(1){2,n(1){2,n=16n—5,n±22,n=1⑵一63(3)l2n—1n，心2[(1)当n=1时，a=S=3X12—2X1+1=2；当n±2时，a=S—S=3n2—2n+1—[3(n—1)2—2(n—1)+1]=6n—5,显然当n=nnn—11时，不满足上式.故数列的通项公式为a故数列的通项公式为a=n2n=1,6n—5,n三2.(2)由S=2a+1得S=2a+1,即a=2a+1，解得a=—1.nn11111乂S=2a+1(n22),所以a=2a—2a，即a=2a.n—1n—1nnn—1nn—1所以数列｛a｝是首项为一所以数列｛a｝是首项为一1,公比为2的等比数列，所以S=61-2=1—26=1-2—63.当n=1时，由已知,可得a=21=2,Ta+2a+3a+・・・+na=2n,123n故a+2a+3a+…+(n—1)a=2n—(n22),123n—1由①一②得na=2n—2n—1=2n—1,n2n—1/.a='(n^2)・nn

显然当n=l时不满足上式,n=1,TOC\o"1-5"\h\z•»a2n-i］n,n22.Ina=S—S只适用于n$2的情形，易忽略求a,造成错解，如T(),T()nnn－11(1)(3)．1.(2019・郑州模拟)已知S为数列｛a｝的前n项和，且log(S+l)=n+l,贝擞列nn2n｛a｝的通项公式为3n3n=1a=n2n,n22［由log(S+1)=n+l得S+l=2n+i,即S=2n+i—1.2nnn当n=1时，a=S=21+1—1=3.当n三2时，a=S—S=(2n+1—1)—(2n—1)=2n，nnn—1显然a1=3不满足上式，3，n=1，所以an=n2n,n22.12.已知数列｛a｝的各项均为正数，S为其前n项和，且对任意nGN*，均有2S=a?+nnnna，贝a=.nnn［由2S=a2+a得nnn2S=a2+a，n—1n—1n—1•2a=a2—a2+a—a，nnn—1nn—1即a2—a2=a+a，乂a>0，nn—1nn—1n•a—a=1，nn—1又2S1=a1+a1，解得a1=1，••数列｛a｝是首项为1,公差为1的等差数列.•a=1+(n—1)X1=n.］n。考点3由递推公式求数列的通项公式由数列的递推公式求通项公式的常用方法⑴形如a=a+f(n)，可用累加法求a.TOC\o"1-5"\h\zn+1nn(2)形如a=af(n)，可用累乘法求a.n+1nn⑶形如a=Aa+B(AM0且AH1)，可构造等比数列求a.n+1nnAa⑷形如an+1=Ba+c，可通过两边同时取倒数，构造新数列求解.n考向1形如a=a+f(n)，求an+1nn在数列｛a｝中，a=2，a=a+3n+2(nGN*)，求数列｛a｝的通项公式.n1n+1nn［解］*•*a—a=3n+2，n+1n

a—a=3n—l(n22),nn—1a=(a—a)+(a—a)+•••+(&—a)+annn—1n—1n—2211=(3n—1)+(3n—4)——8+5+2n3n+1an=2n2+2-求解时，易错误地认为a=(a—a)+(a—a)(a—a)造成错解.nnn—1n—1n—221考向2形如a=af(n),求an+1nnn

已知数列｛a｝满足a=4,a=—a，求数列｛a｝的通项公式.1n+1n十2nn［解］由轧+n［解］由轧+1=卫4得・anan+2,nan—1x旷=(n三2),an+1n—1a•a=^^

nana•a=^^

nan—1aa―n—1•―n—2aan—2n—3aan—1••~3•―2•aaa121n+1n—2n—3•'nn—121，•一・443411n^XnX2X1X4=nn+1即&=——十nnn+1o求解时易错误地认为a=o求解时易错误地认为a=T-nan—1an—1

an—2a—n—2an—3oo了・了，造成错解.aa21若向X形如a=Aa+B(AM0且AH1)，求aTOC\o"1-5"\h\zn+1nn已知数列｛a｝满足a=1,a=3a+2,求数列｛a｝的通项公式.1n+1n+1［解］Ta=3a+2,Aa+1=3(an+1+1nn+1又a=1,.°.a+1=2,11故数列｛a+1｝是首项为2,公比为3的等比数列，n•a+1=2・3n-1,因此a=2・3n—1—1.TOC\o"1-5"\h\znna=Aa+B可转化为a+k=A(a+k)的形式，其中k可用待定系数法求出.n+1nn+11.(2019•泰安模拟)已知数列｛a｝满足a=2,a=a+2n-1+1,则8=,n1n+1nn2n—1+n［由a=a+2n—1+1得a—a=2n—1+1,n+1nn+1n•:a—a=2n—2+1(n22),nn—1a=(a—a)+(a—a)+・・・+(a—a)+(a—a)+annn—1n—1n—232211=2n—2+2n—3——2+1+(n—1)+21—2n—11—21—2n—11—2+n+1=2n—1+n,即a=2n—i+n.]nTOC\o"1-5"\h\z2.已知数列｛a｝满足a=1,a=2na,则8=,n1n＋1nnaa2[Va=2“8,.・.-^=2“，.・.一^=2“-1©三2),n＋1naaa—n—1•aa—n—1•an—2a2・a

a11a.a=^^nan—1=2n—1・2n—22T=21+2+3+・・・+(n—1)=2,即a=2.]nTOC\o"1-5"\h\z已知数列｛a｝满足a=1,a=2a+3，则a=.n1n+1nn2n+1—3[由a=2a+3得a+3=2(a+3)・n+1nn+1n又a=l,.°.a+3=4.11故数列｛a+3｝是首项为4,公比为2的等比数列，n.*.a+3=4・2n—1=2n+1，.:a=2n+1—3.]nn。考点4数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值⑴数列｛a｝满足a+nn+1(2)在数列｛a｝中，a⑴数列｛a｝满足a+nn+1(2)在数列｛a｝中，a=0,n1(1)5⑵0[(1)因为％3亠l,a2a1,56552a,OWann2112a—1,<a<1,

n2n3a1=5,则数列的第2020项为an+135,2a—2a—,765'3+—「贝ys1—.3a:

甲n■n=2020”124故a=2a—1=,a=2a—,a=2a=二，a=2a—1215325435…，故数列｛a｝是周期数列且周期为4,故a54=a2020505X44=a=二45(2)Va=0,(2)Va=0,an+1・・・a=申-艰a=^^=进=—£,

2131—\y3X\；3—2'百—边4=1+V3xV1=0,即数列｛a｝是周期为3的周期数列,n且a+a+a=0,123贝yS=S=a=0.]20203X673+11求解时，易算错数列的周期，可计算数列的前几项，直至找到和a相同的项％，则1k数列的周期为k—1.[教师备选例题]TOC\o"1-5"\h\z已知数列｛a｝满足a+=7^~，若a=|，则