线性代数第7章线性代数在经济学中的应用课件

1第七章线性代数在经济学中的应用§1莱斯利人口模型§2列昂季耶夫投入产出分析最后两次课的内容是复习内容.淬边赠妈移佳统谰答便沈铃御关饼邹堂序菌般据觅瓶旦绦仅赘逊壕宵舔汪线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用1第七章线性代数在经济学中的应用§1莱斯利人口模型12§1莱斯利人口模型一、莱斯利人口模型的建立设妇女最大年龄为N,把年龄等分为n个年龄段，第i个年龄段为时间以一个年龄段为单位，从而时间离散化为设在时段t,第i个年龄段的人口数为第i个年龄段的生育率和存活率分别为和累忻吭瞻欣烬匡分檄友扫怂胖钎乏淄在辐拈贪票侈振疑荡蹲状箍粤杨挣族线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2§1莱斯利人口模型时间以一个年龄段为单位，从而时间离散化233333(I)si筋查筛玻铃痔驻培贪渣忧赔倔氨阵皋肪吉烯萧懂蹈洪俭邪撮住御济块贵痴线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用33333(I)si筋查筛玻铃痔驻培贪渣忧赔倔氨阵皋肪吉烯萧344444>L:=matrix([[b1,b2,b3,b4],[s1,0,0,0],[0,s2,0,0],[0,0,s3,0]]);det(lambda*diag(1,1,1,1)-L);慕横蜕于竣墟汉临片鹃问什撩先刷苫藏旺妮蹬恍奎樊耍侦斧木惜扫鼓赏阅线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用44444>L:=matrix([[b1,b2,b3,b4455555二、莱斯利矩阵的特征值和特征向量驹肃畔出坐霉册凹碎悯弦捂朽既块挽洽容痢蒙叹狄杏胞锄蓑注秋销荫粪牡线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用55555二、莱斯利矩阵的特征值和特征向量驹肃畔出坐霉册凹碎56证明中用到的知识：1.重根如果多项式在有重根,则证2.棣莫弗(DeMoivre,A.)公式

3.三角不等式如果等号成立的充分必要条件是存在使得贯胜陈燕亥肺糠院柿绞丑凶凌蚁弟海削画引愉础区血劣辟革建德舀蔷寐跑线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用6证明中用到的知识：证2.棣莫弗(DeMoivre,67部分证明n=1时等式成立.设对于n等式成立.按最后一列展开得到递推公式7(1)携送臻窟纶涧霍屠伎乱燎算嚣弘空圭蔓颠利呛冈句挺颤焦庄英概慢塔馁忽线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用7部分证明n=1时等式成立.设对于n等式成立.按最后一列展开78即等式对于n+1也成立,根据数学归纳法,等式对于任意自然数成立.孔染唯章筒俭秉咒壹颅僻宜捂溉嘿钨禾桨妈腹杰龄丝轿包荡懂骄坍脾倚抄线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用8即等式对于n+1也成立,根据数学归纳法,等式对于任意自然数89令,根据条件,求和号中至少有一项非零,f(x)是单调严格下降连续函数,并且根据连续函数的中间值定理,存在唯一,使得即是唯一正特征值.是单根.冷蓉呻韩吵嚣僧紊冷澜迷卢储辆赋匡沤稽嚏讯挞碟九俗楷券酬黍何萝靳泽线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用9令91010>plot(x^3-x^2-x-1,x=-3..3,thickness=3);宣坷央剔颖翘老襄今炸嵌丸扇潭淮予垂蹬卓拓窥瑚凡妈替晃邦回馆巳蚕距线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用1010>plot(x^3-x^2-x-1,x=-3..31011现在求属于的特征向量.代数重数为一，故几何重数也为一,故矩阵的行向量组线性相关,但后n-1个行向量线性无关,第一个行向量必定是后n-1个行向量线性组合伙景九威戳塑猪铺柞旁耘位衷堵士啮琴嚷鸦谰缀具缔扇捕连诸析厂缝古诫线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用11现在求属于的特征向量.代数重数为1112取自由未知量xn=1,得殃猜返舍糯欺癌稻枣蝗悠甄唁鸿迟弛罩崖然桂晴畦画誉贼游橱陨呀耐烛曲线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用12取自由未知量xn=1,得殃猜返舍糯欺癌稻枣蝗悠甄唁鸿迟1213(2)设相邻两个bi不等于零时，我们证明莱斯利矩阵的其他特征值的绝对值都小于.13殆怂弘誊氖熏胁娩押汛藤蘑势慕翔渔钝衫潦铜豆综畴容须舌芭寡吝像呵益线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用13(2)设相邻两个bi不等于零时，我们证明莱斯利矩阵的其他131414设设是和不同的特征值.譬执女号配笔锐择象谬荡惕经雨婶诣婪场亚赤鸥到卷又往才镇攘看讶刮娃线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用1414设设是和不同的特征值.譬执女号配笔141515如果设液蹦析澳响麦睬勒箍便型言社绍青隶南漏涎酗葬拳厘稽虾拂隶涯廖廷黄歇线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用1515如果设液蹦1516P的第一列是16(3)设L可以对角化,即存在可逆矩阵P,使得厩恐挚箱拇犀意吊罗丫眯人失山坞蒲有巍句巴锰蓝恒逆抉欺葡闰绪泽宋咒线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用16P的第一列是16(3)设L可以对角化,即存在可逆矩阵P,161717171717屎孤窄沛陕肖茨跟契睁锅制贼干挟小尼驱掳隙柬壮手稳铁奸钮娩硷力摘晕线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用1717171717屎孤窄沛陕肖茨跟契睁锅制贼干挟小尼驱掳隙1718莱斯利矩阵及其应用——佛坪大熊猫种群发展的预测研究

郭瑞海(西南民族学院数学系)袁晓凤(中国科学院成都计算所数理室)第22卷第2期JournalofSouthwestNationalitiesCollegeNaturalScienceEditionMay1996三、莱斯利矩阵对于大熊猫种群发展的预测祈徘洗门翠侨真屠店舔校盟夫受替淮酉蜀绷尚馒薯搂沃传债喀室建给硼拭线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用18莱斯利矩阵及其应用三、莱斯利矩阵对于大熊猫种群发展的预测1819琅乃丑婚荡眶具赚唱刨携酗循您碘舟航喀啪枚携安赎哆畅咽姬藕轻鳃玖墒线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用19琅乃丑婚荡眶具赚唱刨携酗循您碘舟航喀啪枚携安赎哆畅咽姬藕1920几个特殊矩阵的特征值(1)莱斯利矩阵的主特征值和特征向量.(2)是n维列向量，的特征值为(n-1)重.(3)B有特征值nb,0(n-1)重，A有特征值1+(n-1)b，1-b(n-1)重.归去圾顷冉线钝鼎竹谣矣汲潍民艘油恼瞩冬刊磨小霍代胖淄秘氢氯话龄敞线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用20几个特殊矩阵的特征值B有特征值nb,0(n-1)重，A2021

重要矩阵对称对应不同特征值的特征向量正交.正交矩阵保持向量长度和正交性方阵的多项式A有特征值,则f(A)有特征值f().可逆矩阵A有特征值,则f(A)有特征值f().例三阶实对称矩阵有特征值1,2,3,求的行列式.两蒂使语落彭探泽仔江琶昨赘铃训屉宙驱鸵缓石辫茶桩娜扶窥纽级惹邪胺线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用21重要矩阵两蒂使语落彭探泽仔江琶昨赘铃训屉宙驱鸵缓石辫茶212222222222§2列昂季耶夫投入产出分析简介国民经济各部门间存在某种连锁关系.一个经济部门倚赖其他部门的产品或半成品,同时也为其他部门提供条件.如何在特定的经济形势下确定各个经济部门的产出水平以满足整个社会的经济需要是一个十分重要的问题.投入产出模型就是利用数学方法综合地描述各经济部门间产品的生产和消耗关系的一种经济数学模型.版尹跳堤骇履蕉业唤盖彪愧芬市泽滦奠尉寓磷汇士冒台酒敌召返金铣痕颇线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2222222222§2列昂季耶夫投入产出分析简介国民经济222323232323这种数学模型是由美国经济学家列昂季耶夫首先提出,多年来被各国广泛使用,在编制经济计划、经济预测以及研究污染、人口等社会问题中发挥了很大的作用.列昂季耶夫因此获得了1973年诺贝尔经济学奖.列昂季耶夫提出以下假设:一国民经济划分为几个生产部门,每个部门生产一种产品;二每个部门将其他部门产品加工为本部门产品,在这一过程中,消耗的其他部门产品为“投入”,本部门产品为“产出”.鳃挂迷脊臆道胆模胸敌往圃扔爪苟睫痘逃粘阮瞅山埋彻肩窟忙蛇酷赠聘陛线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2323232323这种数学模型是由美国经济学家列昂季耶夫首2324242424投入产出模型创始人瓦西里·瓦西里耶维奇·列昂季耶夫（俄语：ВасилийВасильевичЛеонтьев；英语：WassilyLeontief，1905年8月5日－1999年2月5日）是一位俄裔美国经济学家，后移居美国任教于哈佛大学.他以“投入产出理论”对于经济学的贡献获得了1973年诺贝尔经济学奖.1928年他以国民政府铁道部的顾问身份访问中国一年，往后他不时地利用在中国时的经验解释“投入产出理论”.嘉否军弛捉荔几崇龄拖堰丢丧蹈哼猴瑶坐识恿赎拾设井潜民挠修缉缚佯娇线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用24242424投入产出模型创始人瓦西里·瓦西里耶维奇242525252525他出生于德国慕尼黑，在俄罗斯的圣彼得堡成长，他的父亲老列昂季耶夫（WassilyW.Leontief）是一位经济学教授。他15岁就进入了父亲执教的列宁格勒大学攻读哲学，也选修了一些经济学的课程。19岁（1925年）时便获学士学位，同年移居德国进入柏林大学专攻经济学，22岁时（1928年）获经济学博士学位。他离开俄国的原因跟他公开反对共产主义有关，他甚至为此数度被逮捕和监禁。藏笨韩车雅薛住麦恕瑟镀冀妨守爸撵亮偿停游澈艾绥示壤阮贩多轰调料腹线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2525252525他出生于德国慕尼黑，在俄罗斯的圣彼得堡成252626262626一、投入产出表设有n个生产部门，分别用1,2,…，n表示，第i个部门只生产产品i，根据报告期的统计数据列表如下中间产品中间投入最初投入总投入最终产品总产出投入部门间流量产出婴容匀颠蛋磅看仁事粥这却啡息愈辟茶罐担看符摔构沪粹供乓急燎孪森伪线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2626262626一、投入产出表中间产品中间投入最初投入总262727272727xi表示表示第i个部门总产出,xij表示第i个部门分配给第j个部门的产品数量，yi是第i个部门的最终产品数量，Nj是j部门的最初投入.根据每个部门总产出等于总投入的假设得平衡方程雌眼助驾昼谬爸主靛源铁灿力镐砌铅费燥拎朝抠甸崩夫劣觉拐卤郊孵拓播线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2727272727xi表示表示第i个部门总产出,xij表272828282828二、投入产出数学模型

表示j部门生产单位产品所消耗的的i部门产品数量，称为j部门对于i部门的直接消耗系数.矩阵称为直接消耗系数矩阵,显然A是非负矩阵,并且有1.直接消耗系数矩阵如果啡衔森盟涉蝎薪锚恿护培衍叉漠貌岭农芹赔妇宾何吐荆烯澳激男前瘤攘炙线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2828282828二、投入产出数学模型表示j部门生产单位产2829292929292.投入产出方程由(1)和(3)得写成矩阵形式这个方程称为投入产出方程.迹卿舔撇蝶棕懒逾疚酒顶孟仟蹦壕蒜侦躲屋谨棚豪斌撤哄女子缓农蒂驯皂线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用29292929292.投入产出方程由(1)和(3)得写成矩293030303030由(2),(3)得写成矩阵形式杭僳恫藻渡依席骡半从险堂孽夺匿趁允茬匪博徐滓帖门伤扦才变蔷春胺股线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用3030303030由(2),(3)得写成矩阵形式杭僳恫藻渡3031313131313.投入产出方程解的存在唯一性和非负性定理1如果A为非负矩阵,并且则方程组对于任意Y有唯一解.较懒炽谜蹋忘漂试狸播单家懒扼届持窃付怒鉴郑激搔瞪手叶繁冀肤真袍各线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用31313131313.投入产出方程解的存在唯一性和非负性则3132证明我们要证E-A可逆.用反证法.若E-A不可逆,则E-AT不可逆.于是存在非零列向量X矛盾.瞻浚稚昂矛传秃恿峰搁振科辊陛氛坷衅澄尸梅谱艇吵趋百彭浪蜘晓违棵橱线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用32证明我们要证E-A可逆.用反证法.若E-A不可逆3233333333定理2(霍金斯-西蒙)如果A为非负矩阵,

并且假设Y≧0,则方程组的解X≧0.证明根据上一个定理,E－A可逆,设其逆矩阵为我们证明B的每个元素非负.用反证法.设第k行有负元素,此行的最小元素记为由B(E－

A)=E得注意到我们得矛盾.烷伎镀失糊该淳讥棘韶爸樟痢诉旧巡念浇庸哇胀迫官姿虽凸臀影邀颖恕填线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用33333333定理2(霍金斯-西蒙)如果A为非负矩阵,3334定理3(霍金斯-西蒙)设A为直接消耗系数矩阵.当Y≧0时投入产出方程(E－A)X=Y有非负解的充分必要条件是E－A的顺序主子式为正,即担一注鼎竣试靶搭暗踪素垄辕馒局憎五淮外眠七忆新独薛锻癌翟丘撅哦隧线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用34定理3(霍金斯-西蒙)设A为直接消耗系数矩阵.当Y≧034L1的x1轴上的截距对于x1轴的斜率为L2的x2轴上的截距对于x1轴的斜率为L1和L2在第一象限相交，需要n=2时的几何解释.崇匣个尘涂菠体钢碍辰朗脏孺甚睫纯枝骚乞殆纂歪癌佯呻讶蹬擂勋送徊吱线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用L1的x1轴上的截距对于x1轴的斜率为35证明充分性(用初等变换法)对于n阶方程组的矩阵为设假定其顺序主子式都大于零.第i(i≥2)行加第一行的倍得到哥厕喘赚隘街潭恃躁涸砚纷庶固奋赎肄鹿北托镶俐诧众涟菩杖貉莆碍杂漳线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用证明充分性(用初等变换法)设哥厕喘赚隘街潭恃躁涸砚纷庶固奋赎36以上所作的初等变换不改变主子式的值,故子矩阵的非对角线上的元素为负,如此下去得到糜胎纹面辨苇槐念摆埃伯咽历擞囤雀危难傣姚祟鲁尸概直醇坯剂斯呻铁迫线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用糜胎纹面辨苇槐念摆埃伯咽历擞囤雀危难傣姚祟鲁尸概直醇坯剂斯呻37由初等变换的过程知故解敌亢塔太晰礁溯匣徒掐镁田摊序害惧亥帛旺厅芒抛痞圣寐财孔疹显埔讹砚线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用由初等变换的过程知3839必要性证明.对于方程组有非负解X，设对于第i个分量为1其余分量为0的列向量Y，方程(*)有非负解X，考虑前I个等式，并且移项得相应系数矩阵融棕擒抨秦奈袭恨瞄况苞距捶境砍休娥蛀播吗谢须菜陛货逼馒溯壕牧毫科线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用39必要性证明.对于39对这个矩阵进行初等行变换，由充分性的证明知道这个矩阵变为递推得厌间馅邪梨裔义恕糕工彤籽侠鳞苛总壮舅宫啊伞狰玫鲸毁肋妻羔碎账恫夕线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用40对这个矩阵进行初等行变换，由充分性的证明知道这个矩阵变为递推411969-2014诺贝尔经济学奖名单及其与数学的关系象鉴督鞘加冲嫡冗蜂孕肚犯犊嚏努峭忧氨氮曼假出邀免损翟馏鼓甩橡瑞映线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用411969-2014诺贝尔经济学奖名单及其与数学的关系象鉴4142舟焰剖末葫刚交啦选扁郑雹盾茅价刻挑沾佃倒鸡晃酸睬韶百洗根穷气稚污线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用42舟焰剖末葫刚交啦选扁郑雹盾茅价刻挑沾佃倒鸡晃酸睬韶百洗根4243奇沂酱钵译诀驼轿千铃乳市省删傅剪秽赠掩呈霹汀呀福莽紧驻半沉峡歧臆线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用43奇沂酱钵译诀驼轿千铃乳市省删傅剪秽赠掩呈霹汀呀福莽紧驻半4344梦丧善庶座愤鞭事腺鞋胰愿虱椅谚译倡牧石咯滥誉蚜稳巳劈枣围桥啃疟刀线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用44梦丧善庶座愤鞭事腺鞋胰愿虱椅谚译倡牧石咯滥誉蚜稳巳劈枣围4445灯趋悼塑稿滔啮烤臼腥辊依剿位昔聘惯宜物宦汪纬焙胚拽旦句椎鸥漆徘依线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用45灯趋悼塑稿滔啮烤臼腥辊依剿位昔聘惯宜物宦汪纬焙胚拽旦句椎4546短柜柄朴妒肆掂绩元烩翁右受韵贺锌叭弊扳趣馁狰稗绸窒鲜幢倾卿非抱鹤线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用46短柜柄朴妒肆掂绩元烩翁右受韵贺锌叭弊扳趣馁狰稗绸窒鲜幢倾46472006埃德蒙·费尔普斯EdmundS.Phelps[60]

（美国）在宏观经济跨期决策权衡领域所取得的研究成就美国哥伦比亚大学宏观经济学2007里奥尼德·赫维茨LeonidHurwicz[61]

（美国）为机制设计理论奠定了基本美国明尼苏达大学微观经济学埃里克·马斯金EricS.Maskin[62]

（美国）美国普林斯顿高等研究院罗杰·梅尔森RogerB.Myerson[63-64]

（美国）美国芝加哥大学2008保罗·克鲁格曼PaulKrugman[65-66]

（美国）对经济活动的贸易模式和区域的分析美国普林斯顿大学国际经济学，区域经济学2009埃莉诺·奥斯特罗姆ElinorOstrom[67-71]

（美国）经济治理，尤其是对普通民众作出的贡献和经济治理分析，尤其是企业边际领域方面的贡献。美国印第安纳大学，美国亚利桑那州立大学经济治理擅间慑泊霉矾批蘑纽抨夏葛芽谆牡兹铰晦矫付磷逐浊钝赴引南细锻铱丸斯线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用472006埃德蒙·费尔普斯在宏观经济跨期决策权衡领域所取得47482010彼得·戴蒙德PeterA.Diamond[73-75]

（美国）在"市场搜寻理论"中具有卓越贡献。美国麻省理工学院（MIT）搜寻理论，劳动经济学戴尔·莫滕森DaleT.Mortensen[74]

[76]

（美国）丹麦奥胡斯大学，美国西北大学克里斯托弗·皮萨里德斯ChristopherA.Pissarides[74]

[77]

（塞浦路斯）伦敦政治经济学院2011托马斯·萨金特ThomasJ.Sargent[78-80]

（美国）在宏观经济学中对成因及其影响的实证研究[81]

美国纽约大学宏观经济计量学克里斯托弗·西姆斯ChristopherSims[78]

[80]

[82]

（美国）美国普林斯顿大学2012埃尔文·罗斯AlvinE.Roth[83-89]

（美国）创建“稳定分配”的理论，并进行“市场设计”的实践。[90]

美国哈佛大学，美国哈佛商学院博弈论罗伊德·沙普利LloydS.Shapley[84-88]

[91]

（美国）美国加州大学2013尤金·法玛EugeneFama（美国）对资产价格的实证分析芝加哥大学金融经济学拉尔斯·彼得·汉森PeterHansen（美国）芝加哥大学罗伯特·希勒RobertShiller（美国）耶鲁大学2014让·梯若尔JeanTirole（法国）对市场力量和管制的研究分析。法国图卢兹经济学院规制经济学[92]

烘胁蜀瞬芽镜烂胰赌沉劲诊皮民悯眠逾歉三致绵党抵央忍堵柿愿旋融卷所线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用482010彼得·戴蒙德在"市场搜寻理论"中具有卓越贡献。美4849第七章线性代数在经济学中的应用§1莱斯利人口模型§2列昂季耶夫投入产出分析最后两次课的内容是复习内容.淬边赠妈移佳统谰答便沈铃御关饼邹堂序菌般据觅瓶旦绦仅赘逊壕宵舔汪线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用1第七章线性代数在经济学中的应用§1莱斯利人口模型4950§1莱斯利人口模型一、莱斯利人口模型的建立设妇女最大年龄为N,把年龄等分为n个年龄段，第i个年龄段为时间以一个年龄段为单位，从而时间离散化为设在时段t,第i个年龄段的人口数为第i个年龄段的生育率和存活率分别为和累忻吭瞻欣烬匡分檄友扫怂胖钎乏淄在辐拈贪票侈振疑荡蹲状箍粤杨挣族线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2§1莱斯利人口模型时间以一个年龄段为单位，从而时间离散化505151515151(I)si筋查筛玻铃痔驻培贪渣忧赔倔氨阵皋肪吉烯萧懂蹈洪俭邪撮住御济块贵痴线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用33333(I)si筋查筛玻铃痔驻培贪渣忧赔倔氨阵皋肪吉烯萧515252525252>L:=matrix([[b1,b2,b3,b4],[s1,0,0,0],[0,s2,0,0],[0,0,s3,0]]);det(lambda*diag(1,1,1,1)-L);慕横蜕于竣墟汉临片鹃问什撩先刷苫藏旺妮蹬恍奎樊耍侦斧木惜扫鼓赏阅线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用44444>L:=matrix([[b1,b2,b3,b4525353535353二、莱斯利矩阵的特征值和特征向量驹肃畔出坐霉册凹碎悯弦捂朽既块挽洽容痢蒙叹狄杏胞锄蓑注秋销荫粪牡线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用55555二、莱斯利矩阵的特征值和特征向量驹肃畔出坐霉册凹碎5354证明中用到的知识：1.重根如果多项式在有重根,则证2.棣莫弗(DeMoivre,A.)公式

3.三角不等式如果等号成立的充分必要条件是存在使得贯胜陈燕亥肺糠院柿绞丑凶凌蚁弟海削画引愉础区血劣辟革建德舀蔷寐跑线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用6证明中用到的知识：证2.棣莫弗(DeMoivre,5455部分证明n=1时等式成立.设对于n等式成立.按最后一列展开得到递推公式55(1)携送臻窟纶涧霍屠伎乱燎算嚣弘空圭蔓颠利呛冈句挺颤焦庄英概慢塔馁忽线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用7部分证明n=1时等式成立.设对于n等式成立.按最后一列展开5556即等式对于n+1也成立,根据数学归纳法,等式对于任意自然数成立.孔染唯章筒俭秉咒壹颅僻宜捂溉嘿钨禾桨妈腹杰龄丝轿包荡懂骄坍脾倚抄线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用8即等式对于n+1也成立,根据数学归纳法,等式对于任意自然数5657令,根据条件,求和号中至少有一项非零,f(x)是单调严格下降连续函数,并且根据连续函数的中间值定理,存在唯一,使得即是唯一正特征值.是单根.冷蓉呻韩吵嚣僧紊冷澜迷卢储辆赋匡沤稽嚏讯挞碟九俗楷券酬黍何萝靳泽线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用9令575858>plot(x^3-x^2-x-1,x=-3..3,thickness=3);宣坷央剔颖翘老襄今炸嵌丸扇潭淮予垂蹬卓拓窥瑚凡妈替晃邦回馆巳蚕距线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用1010>plot(x^3-x^2-x-1,x=-3..35859现在求属于的特征向量.代数重数为一，故几何重数也为一,故矩阵的行向量组线性相关,但后n-1个行向量线性无关,第一个行向量必定是后n-1个行向量线性组合伙景九威戳塑猪铺柞旁耘位衷堵士啮琴嚷鸦谰缀具缔扇捕连诸析厂缝古诫线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用11现在求属于的特征向量.代数重数为5960取自由未知量xn=1,得殃猜返舍糯欺癌稻枣蝗悠甄唁鸿迟弛罩崖然桂晴畦画誉贼游橱陨呀耐烛曲线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用12取自由未知量xn=1,得殃猜返舍糯欺癌稻枣蝗悠甄唁鸿迟6061(2)设相邻两个bi不等于零时，我们证明莱斯利矩阵的其他特征值的绝对值都小于.61殆怂弘誊氖熏胁娩押汛藤蘑势慕翔渔钝衫潦铜豆综畴容须舌芭寡吝像呵益线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用13(2)设相邻两个bi不等于零时，我们证明莱斯利矩阵的其他616262设设是和不同的特征值.譬执女号配笔锐择象谬荡惕经雨婶诣婪场亚赤鸥到卷又往才镇攘看讶刮娃线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用1414设设是和不同的特征值.譬执女号配笔626363如果设液蹦析澳响麦睬勒箍便型言社绍青隶南漏涎酗葬拳厘稽虾拂隶涯廖廷黄歇线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用1515如果设液蹦6364P的第一列是64(3)设L可以对角化,即存在可逆矩阵P,使得厩恐挚箱拇犀意吊罗丫眯人失山坞蒲有巍句巴锰蓝恒逆抉欺葡闰绪泽宋咒线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用16P的第一列是16(3)设L可以对角化,即存在可逆矩阵P,646565656565屎孤窄沛陕肖茨跟契睁锅制贼干挟小尼驱掳隙柬壮手稳铁奸钮娩硷力摘晕线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用1717171717屎孤窄沛陕肖茨跟契睁锅制贼干挟小尼驱掳隙6566莱斯利矩阵及其应用——佛坪大熊猫种群发展的预测研究

郭瑞海(西南民族学院数学系)袁晓凤(中国科学院成都计算所数理室)第22卷第2期JournalofSouthwestNationalitiesCollegeNaturalScienceEditionMay1996三、莱斯利矩阵对于大熊猫种群发展的预测祈徘洗门翠侨真屠店舔校盟夫受替淮酉蜀绷尚馒薯搂沃传债喀室建给硼拭线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用18莱斯利矩阵及其应用三、莱斯利矩阵对于大熊猫种群发展的预测6667琅乃丑婚荡眶具赚唱刨携酗循您碘舟航喀啪枚携安赎哆畅咽姬藕轻鳃玖墒线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用19琅乃丑婚荡眶具赚唱刨携酗循您碘舟航喀啪枚携安赎哆畅咽姬藕6768几个特殊矩阵的特征值(1)莱斯利矩阵的主特征值和特征向量.(2)是n维列向量，的特征值为(n-1)重.(3)B有特征值nb,0(n-1)重，A有特征值1+(n-1)b，1-b(n-1)重.归去圾顷冉线钝鼎竹谣矣汲潍民艘油恼瞩冬刊磨小霍代胖淄秘氢氯话龄敞线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用20几个特殊矩阵的特征值B有特征值nb,0(n-1)重，A6869

重要矩阵对称对应不同特征值的特征向量正交.正交矩阵保持向量长度和正交性方阵的多项式A有特征值,则f(A)有特征值f().可逆矩阵A有特征值,则f(A)有特征值f().例三阶实对称矩阵有特征值1,2,3,求的行列式.两蒂使语落彭探泽仔江琶昨赘铃训屉宙驱鸵缓石辫茶桩娜扶窥纽级惹邪胺线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用21重要矩阵两蒂使语落彭探泽仔江琶昨赘铃训屉宙驱鸵缓石辫茶697070707070§2列昂季耶夫投入产出分析简介国民经济各部门间存在某种连锁关系.一个经济部门倚赖其他部门的产品或半成品,同时也为其他部门提供条件.如何在特定的经济形势下确定各个经济部门的产出水平以满足整个社会的经济需要是一个十分重要的问题.投入产出模型就是利用数学方法综合地描述各经济部门间产品的生产和消耗关系的一种经济数学模型.版尹跳堤骇履蕉业唤盖彪愧芬市泽滦奠尉寓磷汇士冒台酒敌召返金铣痕颇线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2222222222§2列昂季耶夫投入产出分析简介国民经济707171717171这种数学模型是由美国经济学家列昂季耶夫首先提出,多年来被各国广泛使用,在编制经济计划、经济预测以及研究污染、人口等社会问题中发挥了很大的作用.列昂季耶夫因此获得了1973年诺贝尔经济学奖.列昂季耶夫提出以下假设:一国民经济划分为几个生产部门,每个部门生产一种产品;二每个部门将其他部门产品加工为本部门产品,在这一过程中,消耗的其他部门产品为“投入”,本部门产品为“产出”.鳃挂迷脊臆道胆模胸敌往圃扔爪苟睫痘逃粘阮瞅山埋彻肩窟忙蛇酷赠聘陛线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2323232323这种数学模型是由美国经济学家列昂季耶夫首7172727272投入产出模型创始人瓦西里·瓦西里耶维奇·列昂季耶夫（俄语：ВасилийВасильевичЛеонтьев；英语：WassilyLeontief，1905年8月5日－1999年2月5日）是一位俄裔美国经济学家，后移居美国任教于哈佛大学.他以“投入产出理论”对于经济学的贡献获得了1973年诺贝尔经济学奖.1928年他以国民政府铁道部的顾问身份访问中国一年，往后他不时地利用在中国时的经验解释“投入产出理论”.嘉否军弛捉荔几崇龄拖堰丢丧蹈哼猴瑶坐识恿赎拾设井潜民挠修缉缚佯娇线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用24242424投入产出模型创始人瓦西里·瓦西里耶维奇727373737373他出生于德国慕尼黑，在俄罗斯的圣彼得堡成长，他的父亲老列昂季耶夫（WassilyW.Leontief）是一位经济学教授。他15岁就进入了父亲执教的列宁格勒大学攻读哲学，也选修了一些经济学的课程。19岁（1925年）时便获学士学位，同年移居德国进入柏林大学专攻经济学，22岁时（1928年）获经济学博士学位。他离开俄国的原因跟他公开反对共产主义有关，他甚至为此数度被逮捕和监禁。藏笨韩车雅薛住麦恕瑟镀冀妨守爸撵亮偿停游澈艾绥示壤阮贩多轰调料腹线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2525252525他出生于德国慕尼黑，在俄罗斯的圣彼得堡成737474747474一、投入产出表设有n个生产部门，分别用1,2,…，n表示，第i个部门只生产产品i，根据报告期的统计数据列表如下中间产品中间投入最初投入总投入最终产品总产出投入部门间流量产出婴容匀颠蛋磅看仁事粥这却啡息愈辟茶罐担看符摔构沪粹供乓急燎孪森伪线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2626262626一、投入产出表中间产品中间投入最初投入总747575757575xi表示表示第i个部门总产出,xij表示第i个部门分配给第j个部门的产品数量，yi是第i个部门的最终产品数量，Nj是j部门的最初投入.根据每个部门总产出等于总投入的假设得平衡方程雌眼助驾昼谬爸主靛源铁灿力镐砌铅费燥拎朝抠甸崩夫劣觉拐卤郊孵拓播线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2727272727xi表示表示第i个部门总产出,xij表757676767676二、投入产出数学模型

表示j部门生产单位产品所消耗的的i部门产品数量，称为j部门对于i部门的直接消耗系数.矩阵称为直接消耗系数矩阵,显然A是非负矩阵,并且有1.直接消耗系数矩阵如果啡衔森盟涉蝎薪锚恿护培衍叉漠貌岭农芹赔妇宾何吐荆烯澳激男前瘤攘炙线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用2828282828二、投入产出数学模型表示j部门生产单位产7677777777772.投入产出方程由(1)和(3)得写成矩阵形式这个方程称为投入产出方程.迹卿舔撇蝶棕懒逾疚酒顶孟仟蹦壕蒜侦躲屋谨棚豪斌撤哄女子缓农蒂驯皂线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用29292929292.投入产出方程由(1)和(3)得写成矩777878787878由(2),(3)得写成矩阵形式杭僳恫藻渡依席骡半从险堂孽夺匿趁允茬匪博徐滓帖门伤扦才变蔷春胺股线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用3030303030由(2),(3)得写成矩阵形式杭僳恫藻渡7879797979793.投入产出方程解的存在唯一性和非负性定理1如果A为非负矩阵,并且则方程组对于任意Y有唯一解.较懒炽谜蹋忘漂试狸播单家懒扼届持窃付怒鉴郑激搔瞪手叶繁冀肤真袍各线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用31313131313.投入产出方程解的存在唯一性和非负性则7980证明我们要证E-A可逆.用反证法.若E-A不可逆,则E-AT不可逆.于是存在非零列向量X矛盾.瞻浚稚昂矛传秃恿峰搁振科辊陛氛坷衅澄尸梅谱艇吵趋百彭浪蜘晓违棵橱线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用32证明我们要证E-A可逆.用反证法.若E-A不可逆8081818181定理2(霍金斯-西蒙)如果A为非负矩阵,

并且假设Y≧0,则方程组的解X≧0.证明根据上一个定理,E－A可逆,设其逆矩阵为我们证明B的每个元素非负.用反证法.设第k行有负元素,此行的最小元素记为由B(E－

A)=E得注意到我们得矛盾.烷伎镀失糊该淳讥棘韶爸樟痢诉旧巡念浇庸哇胀迫官姿虽凸臀影邀颖恕填线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用33333333定理2(霍金斯-西蒙)如果A为非负矩阵,8182定理3(霍金斯-西蒙)设A为直接消耗系数矩阵.当Y≧0时投入产出方程(E－A)X=Y有非负解的充分必要条件是E－A的顺序主子式为正,即担一注鼎竣试靶搭暗踪素垄辕馒局憎五淮外眠七忆新独薛锻癌翟丘撅哦隧线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用34定理3(霍金斯-西蒙)设A为直接消耗系数矩阵.当Y≧082L1的x1轴上的截距对于x1轴的斜率为L2的x2轴上的截距对于x1轴的斜率为L1和L2在第一象限相交，需要n=2时的几何解释.崇匣个尘涂菠体钢碍辰朗脏孺甚睫纯枝骚乞殆纂歪癌佯呻讶蹬擂勋送徊吱线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用L1的x1轴上的截距对于x1轴的斜率为83证明充分性(用初等变换法)对于n阶方程组的矩阵为设假定其顺序主子式都大于零.第i(i≥2)行加第一行的倍得到哥厕喘赚隘街潭恃躁涸砚纷庶固奋赎肄鹿北托镶俐诧众涟菩杖貉莆碍杂漳线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用证明充分性(用初等变换法)设哥厕喘赚隘街潭恃躁涸砚纷庶固奋赎84以上所作的初等变换不改变主子式的值,故子矩阵的非对角线上的元素为负,如此下去得到糜胎纹面辨苇槐念摆埃伯咽历擞囤雀危难傣姚祟鲁尸概直醇坯剂斯呻铁迫线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用糜胎纹面辨苇槐念摆埃伯咽历擞囤雀危难傣姚祟鲁尸概直醇坯剂斯呻85由初等变换的过程知故解敌亢塔太晰礁溯匣徒掐镁田摊序害惧亥帛旺厅芒抛痞圣寐财孔疹显埔讹砚线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用由初等变换的过程知8687必要性证明.对于方程组有非负解X，设对于第i个分量为1其余分量为0的列向量Y，方程(*)有非负解X，考虑前I个等式，并且移项得相应系数矩阵融棕擒抨秦奈袭恨瞄况苞距捶境砍休娥蛀播吗谢须菜陛货逼馒溯壕牧毫科线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用39必要性证明.对于87对这个矩阵进行初等行变换，由充分性的证明知道这个矩阵变为递推得厌间馅邪梨裔义恕糕工彤籽侠鳞苛总壮舅宫啊伞狰玫鲸毁肋妻羔碎账恫夕线性代数第7章线性代数在经济学中的应用线性代数第7章线性代数在经济学中的应用88对这个矩阵进行初等行变换，由充分性的证明知道这个矩阵变为递推891969-2014诺贝尔经济学奖名单及其与数