中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件

专题六代数几何综合题专题六代数几何综合题1例1（2018•滨州）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．例1（2018•滨州）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+22解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，解得x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），当x=0时，y=2，∴点C坐标（0，2）．解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，3中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件4中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件5中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件61．（2018•新疆）如图，对称轴为直线x=

的抛物线经过点A（6，0）和B（0，﹣4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．题组训练1．（2018•新疆）如图，对称轴为直线x=的抛物线经7中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件8中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件9（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即﹣4x2+28x﹣24=24，化简，得x2﹣7x+12=0，解得x=3或4，当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF为菱形．当x=4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形．∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形．（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不102．（2018•上海）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．2．（2018•上海）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠11解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．∵OC=5OB，∴OB=1，又点B在x轴的负半轴上，∴B（﹣1，0）．∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），∴

，解得

，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，12中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件133．（2018•赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．3．（2018•赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，014解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）；∴设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）（x+2）…①，把C（3，5）代入①得a=1；∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4；设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0）…②把A（﹣2，0），C（3，5）代入②得

，解得

，∴一次函数的解析式为：y=x+2；解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）；15中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件16中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件17中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件18例2（2018•广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．例2（2018•广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，B19中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件20解：（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°，∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，∴OB=OQ，∴△AOB≌△OPQ（SAS），∴OA=OP，∠AOB=∠PQO，∴∠AOP=∠BOQ=90°，∴OA⊥OP；解：（1）四边形APQD为平行四边形；21中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件22中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件234．（2018•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．4．（2018•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，24解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH=

=9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；（2）①EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，25作EM⊥AD于M，如图1，则AM=

AD=

，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=

：9，解得AE=

；②GA=GE时，则∠GAE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15．综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为

或15；作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，26中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件27（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△HDE中，DE=

，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：

，∴EG=

，

∴DG=DE﹣EG=

﹣

，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（

﹣

）：

，∴y=

（9＜x＜

）．（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9HE=AE﹣AH=285．（2018•南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．5．（2018•南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠29（1）解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．（1）解：结论AE=EF=AF．30（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，又BA=AC，∠B=∠ACF，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（2）证明：如图2中，31（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，在Rt△CHF中，∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°，CF=2﹣2，∴FH=CF•sin60°=（2﹣2）•=3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣．（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H32巩固练习巩固练习331．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x(0＜x＜3)．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．（1）求证：PQ∥AB；（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=934（1）证：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，∴AC==12．∵∴∵∠C=∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ=∠B，∴PQ∥AB；（2）解：连接AD，

∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB．∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ=∠DAB，∴∠ADQ=∠DAQ，∴AQ=DQ．在Rt△CPQ中，PQ=5x，∵PD=PC=3x，（1）证：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，（2）解35∴DQ=2x．∵AQ=12﹣4x，∴12﹣4x=2x，解得x=2,∴CP=3x=6．（3）解：当点E在AB上时，∵PQ∥AB，∴∠DPE=∠PEB．∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，∴∠B=∠PEB，∴PB=PE=5x，∴3x+5x=9，解得x=①当0＜x≤时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0＜T≤②当＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足为H，∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，∴DQ=2x．∴3x+5x=9，解得x=36∴∵PG=PB=9﹣3x，∴∴GH=(9﹣3x)，PH=(9﹣3x)，∴FG=DH=∴T=PG+PD+DF+FG==此时，＜T＜18．∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，∴T=12时，即12x=12，解得x=1；TA=16时，即解得x=∵12≤T≤16，∴x的取值范围是1≤x≤∴=372．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=(BE﹣CF)．2．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的38中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件39解：（1）如图1，∵AB=AC，∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．∵点D是线段BC的中点,∴BD=DC=BC=2．∵DF⊥AC，即∠AFD=90°，∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，∴∠BED=90°，∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×=1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，

则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．解：（1）如图1，∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣1240∵∠A=60°，∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，

∴△MBD≌△NCD，∴BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，

∵∠A=60°，∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°41∴△EMD≌△FND，∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°．同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．∵DN=FN，∴DM=DN=FN=EM，∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．在Rt△BMD中，DM=BM•tanB=BM，∴BE+CF=(BE﹣CF)．∴△EMD≌△FND，∴EM=FN，42中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件43专题六代数几何综合题专题六代数几何综合题44例1（2018•滨州）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．例1（2018•滨州）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+245解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，解得x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），当x=0时，y=2，∴点C坐标（0，2）．解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，46中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件47中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件48中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件491．（2018•新疆）如图，对称轴为直线x=

的抛物线经过点A（6，0）和B（0，﹣4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．题组训练1．（2018•新疆）如图，对称轴为直线x=的抛物线经50中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件51中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件52（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即﹣4x2+28x﹣24=24，化简，得x2﹣7x+12=0，解得x=3或4，当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF为菱形．当x=4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形．∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形．（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不532．（2018•上海）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．2．（2018•上海）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠54解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．∵OC=5OB，∴OB=1，又点B在x轴的负半轴上，∴B（﹣1，0）．∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），∴

，解得

，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，55中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件563．（2018•赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．3．（2018•赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，057解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）；∴设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）（x+2）…①，把C（3，5）代入①得a=1；∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4；设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0）…②把A（﹣2，0），C（3，5）代入②得

，解得

，∴一次函数的解析式为：y=x+2；解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）；58中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件59中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件60中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件61例2（2018•广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．例2（2018•广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，B62中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件63解：（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°，∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，∴OB=OQ，∴△AOB≌△OPQ（SAS），∴OA=OP，∠AOB=∠PQO，∴∠AOP=∠BOQ=90°，∴OA⊥OP；解：（1）四边形APQD为平行四边形；64中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件65中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件664．（2018•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．4．（2018•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，67解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH=

=9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；（2）①EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，68作EM⊥AD于M，如图1，则AM=

AD=

，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=

：9，解得AE=

；②GA=GE时，则∠GAE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15．综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为

或15；作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，69中考数学专项突破复习代数几何综合题完美课件70（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△HDE中，DE=

，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：

，∴EG=

，

∴DG=DE﹣EG=

﹣

，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（

﹣

）：

，∴y=

（9＜x＜

）．（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9HE=AE﹣AH=715．（2018•南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．5．（2018•南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠72（1）解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．（1）解：结论AE=EF=AF．73（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，又BA=AC，∠B=∠ACF，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（2）证明：如图2中，74（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，在Rt△CHF中，∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°，CF=2﹣2，∴FH=CF•sin60°=（2﹣2）•=3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣．（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H75巩固练习巩固练习761．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x(0＜x＜3)．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．（1）求证：PQ∥AB；（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=977（1）证：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，∴AC==12．∵∴∵∠C=∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ=∠B，∴PQ∥AB；（2）解：连接AD，

∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB．∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ=∠DAB，∴∠ADQ=∠DAQ，∴AQ=DQ．在Rt△CPQ中，PQ=5x，∵PD=PC=3x，（1）证：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，（2）解78∴DQ=2x．∵AQ=12﹣4x，∴12﹣4x=2x，解得x=2,∴CP=3x=6．（3）解：当点E在AB上时，∵PQ∥AB，∴∠DPE=∠PEB．∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，∴∠B=∠PEB，∴PB=PE=5x，∴3x+5x=9，解得x=①当0＜x≤时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0＜T≤②当＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足为H，∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，∴DQ=2x．∴3x+5x=9，解得x=79∴∵PG=PB=9﹣3x，∴∴GH=(9﹣3x)，PH=(9﹣3x)，∴FG=DH=∴T=PG+PD+DF+FG==此时，＜T＜18．∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，∴T=12时，即12x=12，解得x=1；TA=16时