高中数学 直线与平面平行、平面与平面平行的性质课件

开始直线与平面平行、平面与平面平行的性质开始直线与平面平行、平面学点一学点二学点三学点一学点二学点三1.一条直线与一个平面平行，则过这条直线的

与此平面的交线与该直线平行.这个定理叫做直线与平面平行的

.用符号表示为

.2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的

平行.这个定理叫做平面与平面平行的

，用符号表示为

.任一平面性质定理交线性质定理α∥β,α∩γ=a,β∩γ=ba∥ba∥α,aβ,α∩β=ba∥b返回1.一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面性质定返回返回学点一用线面平行的性质定理证线线平行若一直线和两个相交平面都平行,则这条直线和两平面的交线平行.【分析】条件中给出了线面平行,由性质定理,应转化为线线平行.【解析】已知:a∥α,a∥β,α∩β=b.求证:a∥b.证明:如图所示,过a作平面γ,设α∩γ=m,过a作平面δ,设β∩δ=n.∵a∥α,aγ,α∩γ=m,∴a∥m.同理a∥n,∴m∥n.∵mβ,nβ,∴m∥β,又∵mα,α∩β=b,∴m∥b.又∵a∥m,∴a∥b.图2-3-2返回学点一用线面平行的性质定理证线线平行若一直线和【点评】(1)如果已知直线与平面平行,在利用直线与平面平行的性质定理时,常作过此直线与已知平面相交的辅助平面,完成线面平行向线线平行的转化,再由线线平行向线面平行转化,这种互相转化的思想方法的应用,在立体几何中十分常见.(2)本题是直线与平面平行的判定定理和性质定理的综合应用.(3)在寻求线线平行时,初中阶段学过的平行线的判定要充分利用,如中位线的性质、等比例截割定理、平行四边形的性质等.返回【点评】(1)如果已知直线与平面平行,在利用直线与平面平行的如图所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB∥α.求证：ＣＤ∥EF.证明：∵ABβ,ABα,又∵AB∥α,α∩β=CD,∴AB∥CD,同理ＡＢ∥ＥＦ，∴ＣＤ∥ＥＦ.返回如图所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB学点二直线与平面平行的判定及性质定理的应用如图所示，线段ＡＢ，ＣＤ所在直线是异面直线，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是线段ＡＣ，ＣＢ，ＢＤ，ＤＡ的中点.【分析】利用“线∥线线∥面”的转化.(1)求证：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ共面并且所在平面平行于直线ＡＢ和ＣＤ；(2)设Ｐ，Ｑ分别是ＡＢ和ＣＤ上任意一点，求证：ＰＱ被平面ＥＦＧＨ平分.返回学点二直线与平面平行的判定及性质定理的应用如图所示，线段【证明】

(1)∵Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＣ，ＣＢ，ＢＤ，ＤＡ的中点，∴ＥＨ∥CD,FG∥CD,∴EH∥FG,因此，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ共面.∵CD∥EH,CD平面ＥＦＧＨ，ＥＨ平面ＥＦＧＨ，∴ＣＤ∥平面ＥＦＧＨ，同理，ＡＢ∥平面ＥＦＧＨ.(2)设ＰＱ∩平面ＥＦＧＨ＝Ｎ，连接ＰＣ.设ＰＣ∩ＥＦ＝Ｍ，平面ＰＣＱ∩平面ＥＦＧＨ＝ＭＮ.∵CQ∥平面ＥＦＧＨ，ＣＱ平面ＰＣＱ，∴CQ∥MN.∵ＥＦ是△ABC的中位线，∴Ｍ是ＰＣ的中点，则Ｎ是ＰＱ的中点，即ＰＱ被平面ＥＦＧＨ平分.【点评】Ｐ，Ｃ，Ｑ三点所确定的辅助平面是解决本题的核心.有了面ＰＣＱ，就有了连接ＣＤ与面ＥＦＧＨ的桥梁，线面平行的性质才能得以应用.返回【证明】(1)∵Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＣ，ＣＢ，ＢＤ，ＤＡ返回如图2-3-4所示，已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.返回如图2-3-4所示，已知ABCD是平行四边形，点P是平返回证法一：如图，连接AC交BD于O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.∵OM平面BMD，PA平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD=GH，PA平面PAHG,∴PA∥GH.返回证法一：如图，连接AC交BD于O，连接MO.返回证法二：同证法一有AP∥OM.∵PA平面PAHG,OM平面PAHG,∴OM∥平面PAHG.∵平面PAHG∩平面BMD=GH,OM平面BMD,∴OM∥GH.∴AP∥GH.返回证法二：同证法一有AP∥OM.学点三面面平行的性质定理已知ＡＢ，ＣＤ是夹在两个平行平面α，β之间的线段，Ｍ，Ｎ分别为ＡＢ，ＣＤ的中点，求证：ＭＮ∥平面α.【分析】分ＡＢ，ＣＤ是否共面两种情况.【证明】①若ＡＢ，ＣＤ在同一平面内，则平面ＡＢＤＣ与α，β的交线为ＢＤ，ＡＣ.∵α∥β,∴AC∥BD.又Ｍ，Ｎ为ＡＢ，ＣＤ的中点，∴ＭＮ∥ＢＤ.又ＢＤ平面α，MN平面α,∴ＭＮ∥平面α.返回学点三面面平行的性质定理已知ＡＢ，ＣＤ是夹在两②若ＡＢ，ＣＤ异面，如图所示，过Ａ作ＡＥ∥ＣＤ交α于Ｅ，取ＡＥ中点Ｐ，连接ＭＰ，ＰＮ，ＢＥ，，ＥＤ.∵AE∥CD,∴AE，ＣＤ确定平面ＡＥＤＣ.则平面ＡＥＤＣ与α，β的交线为ＥＤ，ＡＣ，∵α∥β，∴ＥＤ∥ＡＣ.又Ｐ，Ｎ为ＡＥ，ＣＤ的中点，∴ＰＮ∥ＥＤ，ED平面α,PN平面α,∴ＰＮ∥平面α.同理可证ＭＰ∥ＢＥ，∴ＭＰ∥平面α,又∵PN∩MP=P,∴平面ＭＰＮ∥平面α.又ＭＮ平面ＭＰＮ，∴ＭＮ∥平面α.返回②若ＡＢ，ＣＤ异面，如图所示，过Ａ作ＡＥ∥ＣＤ交α于Ｅ，取Ａ【点评】（１）分类讨论常用于位置关系不确定的条件.(2)本题是平面几何中梯形中位线在空间的推广.返回【点评】（１）分类讨论常用于位置关系不确定的条件.返回如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.直线A1B∥平面ADC1，取B1C1的中点D1，连接A1D1，BD1，则A1D1∥AD,D1B∥C1D,∴AD∥平面A1D1B，C1D∥平面A1D1B.又∵AD∩C1D=D,∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.返回如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，试学点四平行的综合问题设Ｐ，Ｑ是单位正方体ＡＣ１的面ＡＡ１Ｄ１Ｄ、面A1B1C1D1的中心.证明：ＰＱ∥平面AA1B1B【分析】学完了空间中的平行关系，要证明直线和平面平行的途径主要有两种：一是可以由线线平行来证，即在平面内找一条直线和已知直线平行；二是通过面面平行的性质来证明.返回学点四平行的综合问题设Ｐ，Ｑ是单位正方体ＡＣ１的【证明】证法一：如图所示，分别取ＡＡ１，A1B1的中点Ｍ，Ｎ，连接ＭＮ，ＮＱ，ＭＰ.∵Ｐ，Ｑ分别是面ＡＡ１Ｄ１Ｄ，面A1B1C1D1的中点，∴ＭＰ∥AD,MP=AD,NQ∥A1D1，ＮＱ＝Ａ１Ｄ１.∴ＭＰ∥ＮＱ且ＭＰ＝ＮＱ.∴四边形ＰＱＮＭ为平行四边形.∴ＰＱ∥ＭＮ.∵MN面AA1B1B，ＰＱAA1B1B面，∴ＰＱ∥面AA1B1B.返回【证明】证法一：如图所示，分别取ＡＡ１，A1B1证法二：如图所示，连接ＡＤ１，ＡＢ１，在△AB1D1中，显然Ｐ，Ｑ分别是ＡＤ１，D1Ｂ１的中点,∴PQ∥ＡＢ１，且ＰＱ＝ＡＢ１.∵PQ平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ，ＡＢ１平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ，∴ＰＱ∥平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ.返回证法二：如图所示，连接ＡＤ１，ＡＢ１，在△AB1D1中，显然证法三：如图所示，取Ａ１Ｄ１的中点Ｅ，分别连接ＰＥ，ＥＱ，由题知ＰＥ∥ＤＤ１，ＤD1∥ＡＡ１，∴PE∥AA1，∵ＥＱ∥A1B1，又∵ＰＥ∩EQ=E,PE面ＰＥＱ，ＥＱ面ＰＥＱ，ＡＡ１ＡＡ１Ｂ１Ｂ，Ａ１Ｂ１面ＡＡ１Ｂ１Ｂ１，∴面ＰＥＱ∥面ＡＡ１Ｂ１Ｂ.又∵PQ面ＰＥＱ，∴ＰＱ∥面AA1B1B.返回证法三：如图所示，取Ａ１Ｄ１的中点Ｅ，分别连接ＰＥ，ＥＱ，由【点评】本题在证明线面平行时提供了三种证法，证法一通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；证法二通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；证法三是通过构造两个平行平面，然后运用面面平行的性质来证，即先由“线线平行”证得“面面平行”，再由“面面平行”得到“线面平行”.本题充分体现了“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的转化.返回【点评】本题在证明线面平行时提供了三种证法，证法一通过平行四已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,△PAB的重心.(1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ；(2)求S△A′B′C′：S△ABC.返回已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,（１）证明：设Ｍ，Ｎ是ＢＣ，ＡＢ的中点.连接ＰＮ，ＰＭ，则C′,Ａ′分别在ＰＮ,ＰＭ上.在△PMN中，.∴∥MN∥AC,且＝ＡＣ.∴∥平面ＡＢＣ.同理，A′B′∥平面ＡＢＣ.又∵∩A′B′=A′,∴平面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥平面ＡＢＣ.（２）同理A′B′=AB,=BC，∴△A′B′C′∽△ABC.∴S△A′B′C′：S△ABC=1：9.返回（１）证明：设Ｍ，Ｎ是ＢＣ，ＡＢ的中点.线面平行的性质定理是由线面平行推出线线平行,此处的线线是指与平面平行的一条直线和过这条直线的平面与已知平面的交线.这个定理用符号语言来表示,即a∥αaβa∥b在应用该定理时,要防止出现“一

α∩β=b条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”的错误.画一条直线与已知平面平行时,通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一边或平行四边形内的一条线段平行.1.如何理解线面平行的性质定理？返回1.如何理解线面平行的性质定理？返回2.如何理解两个平面平行的性质定理？平面平行的性质是根据面面平行、线面平行、线线平行的定义直接给出的；判定直线与直线平行，进而判定直线与平面平行和平面与平面平行，或者反过来由后者判定前者，是立体几何最基本又最常见的一类问题.证明线面平行往往转化为证明面面平行.必须注意，已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，但是分别在这两个平面内的两条直线不一定平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线，否则导致这两个平面就有公共点.返回2.如何理解两个平面平行的性质定理？返回1.线面平行的性质定理应和线面平行的判定定理对照着记忆.一个是由线面平行得到其他什么结论;另一个是由什么条件得到线面平行,两者经常结合使用,线线平行线面平行线线平行.体现了数学中的转化思想,也体现了立体几何中的“降维”与“升维”的思想方法.2.除了两个平面平行的性质定理外，两个平面平行还有下列性质：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.用符号表示为：α∥β,aαa∥β.此性质由面面平行得到线面平行，这也是线面平行的一个判定方法.（2）夹在两个平行平面之间的平行线段相等；（3）经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行.返回1.线面平行的性质定理应和线面平行的判定定理对照着记忆.一个返回1.已知三条互相平行的直线a,b,c中，aα,bβ,cβ，则两个平面α,β的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定返回1.已知三条互相平行的直线a,b,c中，aα,bβ返回2.经过平面α外两点，作与平面α平行的平面，则这样的平面可以作（）A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个返回2.经过平面α外两点，作与平面α平行的平面，则这样的平返回3.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1,l2是平面β内的两条相交直线，则能使α∥β的一个条件是（）A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2返回3.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1,l2是平返回返回返回4.平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形

.返回4.平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在返回5.已知平面α∥平面β,AB,CD是夹在两平行平面间的两条线段，A，C在α内，B，D在β内，点E，F分别在AB，CD上，且AE:EB=CF:FD=m:n.求证：EF∥α.返回5.已知平面α∥平面β,AB,CD是夹在两平行平面间的返回返回返回6.如图2-3-10，四面体A—BCD被一平面所截，截面与四条棱AB，AC，CD，分别相交于E，F，G，H四点，且截面EFGH是一个平行四边形，求证：BC∥平面EFGH.返回6.如图2-3-10，四面体A—BCD被一平面所截，截返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回祝同学们学习上天天有进步！祝同学们学习上天天有进步！开始直线与平面平行、平面与平面平行的性质开始直线与平面平行、平面学点一学点二学点三学点一学点二学点三1.一条直线与一个平面平行，则过这条直线的

与此平面的交线与该直线平行.这个定理叫做直线与平面平行的

.用符号表示为

.2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的

平行.这个定理叫做平面与平面平行的

，用符号表示为

.任一平面性质定理交线性质定理α∥β,α∩γ=a,β∩γ=ba∥ba∥α,aβ,α∩β=ba∥b返回1.一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面性质定返回返回学点一用线面平行的性质定理证线线平行若一直线和两个相交平面都平行,则这条直线和两平面的交线平行.【分析】条件中给出了线面平行,由性质定理,应转化为线线平行.【解析】已知:a∥α,a∥β,α∩β=b.求证:a∥b.证明:如图所示,过a作平面γ,设α∩γ=m,过a作平面δ,设β∩δ=n.∵a∥α,aγ,α∩γ=m,∴a∥m.同理a∥n,∴m∥n.∵mβ,nβ,∴m∥β,又∵mα,α∩β=b,∴m∥b.又∵a∥m,∴a∥b.图2-3-2返回学点一用线面平行的性质定理证线线平行若一直线和【点评】(1)如果已知直线与平面平行,在利用直线与平面平行的性质定理时,常作过此直线与已知平面相交的辅助平面,完成线面平行向线线平行的转化,再由线线平行向线面平行转化,这种互相转化的思想方法的应用,在立体几何中十分常见.(2)本题是直线与平面平行的判定定理和性质定理的综合应用.(3)在寻求线线平行时,初中阶段学过的平行线的判定要充分利用,如中位线的性质、等比例截割定理、平行四边形的性质等.返回【点评】(1)如果已知直线与平面平行,在利用直线与平面平行的如图所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB∥α.求证：ＣＤ∥EF.证明：∵ABβ,ABα,又∵AB∥α,α∩β=CD,∴AB∥CD,同理ＡＢ∥ＥＦ，∴ＣＤ∥ＥＦ.返回如图所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB学点二直线与平面平行的判定及性质定理的应用如图所示，线段ＡＢ，ＣＤ所在直线是异面直线，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是线段ＡＣ，ＣＢ，ＢＤ，ＤＡ的中点.【分析】利用“线∥线线∥面”的转化.(1)求证：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ共面并且所在平面平行于直线ＡＢ和ＣＤ；(2)设Ｐ，Ｑ分别是ＡＢ和ＣＤ上任意一点，求证：ＰＱ被平面ＥＦＧＨ平分.返回学点二直线与平面平行的判定及性质定理的应用如图所示，线段【证明】

(1)∵Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＣ，ＣＢ，ＢＤ，ＤＡ的中点，∴ＥＨ∥CD,FG∥CD,∴EH∥FG,因此，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ共面.∵CD∥EH,CD平面ＥＦＧＨ，ＥＨ平面ＥＦＧＨ，∴ＣＤ∥平面ＥＦＧＨ，同理，ＡＢ∥平面ＥＦＧＨ.(2)设ＰＱ∩平面ＥＦＧＨ＝Ｎ，连接ＰＣ.设ＰＣ∩ＥＦ＝Ｍ，平面ＰＣＱ∩平面ＥＦＧＨ＝ＭＮ.∵CQ∥平面ＥＦＧＨ，ＣＱ平面ＰＣＱ，∴CQ∥MN.∵ＥＦ是△ABC的中位线，∴Ｍ是ＰＣ的中点，则Ｎ是ＰＱ的中点，即ＰＱ被平面ＥＦＧＨ平分.【点评】Ｐ，Ｃ，Ｑ三点所确定的辅助平面是解决本题的核心.有了面ＰＣＱ，就有了连接ＣＤ与面ＥＦＧＨ的桥梁，线面平行的性质才能得以应用.返回【证明】(1)∵Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＣ，ＣＢ，ＢＤ，ＤＡ返回如图2-3-4所示，已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.返回如图2-3-4所示，已知ABCD是平行四边形，点P是平返回证法一：如图，连接AC交BD于O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.∵OM平面BMD，PA平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD=GH，PA平面PAHG,∴PA∥GH.返回证法一：如图，连接AC交BD于O，连接MO.返回证法二：同证法一有AP∥OM.∵PA平面PAHG,OM平面PAHG,∴OM∥平面PAHG.∵平面PAHG∩平面BMD=GH,OM平面BMD,∴OM∥GH.∴AP∥GH.返回证法二：同证法一有AP∥OM.学点三面面平行的性质定理已知ＡＢ，ＣＤ是夹在两个平行平面α，β之间的线段，Ｍ，Ｎ分别为ＡＢ，ＣＤ的中点，求证：ＭＮ∥平面α.【分析】分ＡＢ，ＣＤ是否共面两种情况.【证明】①若ＡＢ，ＣＤ在同一平面内，则平面ＡＢＤＣ与α，β的交线为ＢＤ，ＡＣ.∵α∥β,∴AC∥BD.又Ｍ，Ｎ为ＡＢ，ＣＤ的中点，∴ＭＮ∥ＢＤ.又ＢＤ平面α，MN平面α,∴ＭＮ∥平面α.返回学点三面面平行的性质定理已知ＡＢ，ＣＤ是夹在两②若ＡＢ，ＣＤ异面，如图所示，过Ａ作ＡＥ∥ＣＤ交α于Ｅ，取ＡＥ中点Ｐ，连接ＭＰ，ＰＮ，ＢＥ，，ＥＤ.∵AE∥CD,∴AE，ＣＤ确定平面ＡＥＤＣ.则平面ＡＥＤＣ与α，β的交线为ＥＤ，ＡＣ，∵α∥β，∴ＥＤ∥ＡＣ.又Ｐ，Ｎ为ＡＥ，ＣＤ的中点，∴ＰＮ∥ＥＤ，ED平面α,PN平面α,∴ＰＮ∥平面α.同理可证ＭＰ∥ＢＥ，∴ＭＰ∥平面α,又∵PN∩MP=P,∴平面ＭＰＮ∥平面α.又ＭＮ平面ＭＰＮ，∴ＭＮ∥平面α.返回②若ＡＢ，ＣＤ异面，如图所示，过Ａ作ＡＥ∥ＣＤ交α于Ｅ，取Ａ【点评】（１）分类讨论常用于位置关系不确定的条件.(2)本题是平面几何中梯形中位线在空间的推广.返回【点评】（１）分类讨论常用于位置关系不确定的条件.返回如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.直线A1B∥平面ADC1，取B1C1的中点D1，连接A1D1，BD1，则A1D1∥AD,D1B∥C1D,∴AD∥平面A1D1B，C1D∥平面A1D1B.又∵AD∩C1D=D,∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.返回如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，试学点四平行的综合问题设Ｐ，Ｑ是单位正方体ＡＣ１的面ＡＡ１Ｄ１Ｄ、面A1B1C1D1的中心.证明：ＰＱ∥平面AA1B1B【分析】学完了空间中的平行关系，要证明直线和平面平行的途径主要有两种：一是可以由线线平行来证，即在平面内找一条直线和已知直线平行；二是通过面面平行的性质来证明.返回学点四平行的综合问题设Ｐ，Ｑ是单位正方体ＡＣ１的【证明】证法一：如图所示，分别取ＡＡ１，A1B1的中点Ｍ，Ｎ，连接ＭＮ，ＮＱ，ＭＰ.∵Ｐ，Ｑ分别是面ＡＡ１Ｄ１Ｄ，面A1B1C1D1的中点，∴ＭＰ∥AD,MP=AD,NQ∥A1D1，ＮＱ＝Ａ１Ｄ１.∴ＭＰ∥ＮＱ且ＭＰ＝ＮＱ.∴四边形ＰＱＮＭ为平行四边形.∴ＰＱ∥ＭＮ.∵MN面AA1B1B，ＰＱAA1B1B面，∴ＰＱ∥面AA1B1B.返回【证明】证法一：如图所示，分别取ＡＡ１，A1B1证法二：如图所示，连接ＡＤ１，ＡＢ１，在△AB1D1中，显然Ｐ，Ｑ分别是ＡＤ１，D1Ｂ１的中点,∴PQ∥ＡＢ１，且ＰＱ＝ＡＢ１.∵PQ平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ，ＡＢ１平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ，∴ＰＱ∥平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ.返回证法二：如图所示，连接ＡＤ１，ＡＢ１，在△AB1D1中，显然证法三：如图所示，取Ａ１Ｄ１的中点Ｅ，分别连接ＰＥ，ＥＱ，由题知ＰＥ∥ＤＤ１，ＤD1∥ＡＡ１，∴PE∥AA1，∵ＥＱ∥A1B1，又∵ＰＥ∩EQ=E,PE面ＰＥＱ，ＥＱ面ＰＥＱ，ＡＡ１ＡＡ１Ｂ１Ｂ，Ａ１Ｂ１面ＡＡ１Ｂ１Ｂ１，∴面ＰＥＱ∥面ＡＡ１Ｂ１Ｂ.又∵PQ面ＰＥＱ，∴ＰＱ∥面AA1B1B.返回证法三：如图所示，取Ａ１Ｄ１的中点Ｅ，分别连接ＰＥ，ＥＱ，由【点评】本题在证明线面平行时提供了三种证法，证法一通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；证法二通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；证法三是通过构造两个平行平面，然后运用面面平行的性质来证，即先由“线线平行”证得“面面平行”，再由“面面平行”得到“线面平行”.本题充分体现了“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的转化.返回【点评】本题在证明线面平行时提供了三种证法，证法一通过平行四已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,△PAB的重心.(1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ；(2)求S△A′B′C′：S△ABC.返回已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,（１）证明：设Ｍ，Ｎ是ＢＣ，ＡＢ的中点.连接ＰＮ，ＰＭ，则C′,Ａ′分别在ＰＮ,ＰＭ上.在△PMN中，.∴∥MN∥AC,且＝ＡＣ.∴∥平面ＡＢＣ.同理，A′B′∥平面ＡＢＣ.又∵∩A′B′=A′,∴平面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥平面ＡＢＣ.（２）同理A′B′=AB,=BC，∴△A′B′C′∽△ABC.∴S△A′B′C′：S△ABC=1：9.返回（１）证明：设Ｍ，Ｎ是ＢＣ，ＡＢ的中点.线面平行的性质定理是由线面平行推出线线平行,此处的线线是指与平面平行的一条直线和过这条直线的平面与已知平面的交线.这个定理用符号语言来表示,即a∥αaβa∥b在应用该定理时,要防止出现“一

α∩β=b条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”的错误.画一条直线与已知平面平行时,通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一边或平行四边形内的一条线段平行.1.如何理解线面平行的性质定理？返回1.如何理解线面平行的性质定理？返回2.如何理解两个平面平行的性质定理？平面平行的性质是根据面面平行、线面平行、线线平行的定义直接给出的；判定直线与直线平行，进而判定直线与平面平行和平面与平面平行，或者反过来由后者判定前者，是立体几何最基本又最常见的一类问题.证明线面平行往往转化为证明面面平行.必须注意，已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，但是分别在这两个平面内的两条直线不一定平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线，否则导致这两个平面就有公共点.返回2.如何理解两个平面平行的性质定理？返回1.线面平行的