高中数学人教版选修2 1配套课件：314空间向量的直角坐标运算

空间向量与立体几何第三章空间向量与立体几何第三章3.1空间向量及其运算第三章3.1空间向量及其运算第三章3.1.4空间向量的直角坐标运算第三章3.1.4空间向量的直角坐标运算第三章课前自主预习方法警示探究课堂典例讲练易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧课前自主预习方法警示探究课堂典例讲练课前自主预习课前自主预习众所周知，地球上的每一点都对应着唯一的经度和纬度，如山东省的省会济南市就位于北纬36度40分，东经117度00分，而我们的首都北京的经度是东经116度42分，纬度是北纬39度54分．经度和纬度是地球上任意点的“坐标”，无独有偶，在数学上我们用到的很多量(包括向量)也有坐标，今天我们要学习的就是空间向量的坐标及其运算问题.众所周知，地球上的每一点都对应着唯一的经度和纬度，如山东省的高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算1.空间向量的坐标表示(1)单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引________向量i，j，k，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做_______________．单位垂直坐标向量1.空间向量的坐标表示单位垂直坐标向量(2)空间向量的坐标表示在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在________实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2

j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组_____________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝___________________.名师点拨：向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．唯一(a1，a2，a3)

(a1，a2，a3)(2)空间向量的坐标表示唯一(a1，a2，a3)(a1，a(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b3．空间向量平行和垂直的条件设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b(b≠0)⇔__________⇔_____________________________，当b1，b2，b3都不为0时，a∥b⇔_____________.(2)a⊥b⇔________⇔_______________________.a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a＝λba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a＝λba·b＝0高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算名师点拨：(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等．高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算2．下列各组向量不平行的是(

)A．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B．c＝(0,1,0)，d＝(1,0,1)C．e＝(0,1，－1)，f＝(0，－1,1)D．g＝(1,0,0)，h＝(0,0,0)[答案]

B[解析]

A项中b＝－3a，a∥b，C项中f＝－e，f∥e，D项中h＝0，∴h∥g.2．下列各组向量不平行的是()3．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝(

)A．3 B．4C．2 D．1[答案]

C[解析]

∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.3．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，求向量n使n⊥a，且n⊥b.5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，求向课堂典例讲练课堂典例讲练空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算

若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.[思路分析]

利用平行和垂直的充要条件列式求解．利用空间向量的坐标运算解决与平行、垂直有关的问题

若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．利用空间向高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算

如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．利用空间向量的坐标运算求夹角及长度(距离)问题

[思路分析]

正确利用两向量的夹角公式及模长公式． 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算[方法总结]

利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤：(1)根据几何图形的特点建立适当的空间坐标系；(2)利用题设条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．求距离则需借助模长公式，但须注意点的坐标的准确性．[方法总结]利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算易错疑难辨析易错疑难辨析忽视两个向量平行的充要条件中的隐含条件 已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4,2－2m,2－2m)，若a∥b，则m＝________.

忽视两个向量平行的充要条件中的隐含条件[正解]

∵a∥b，且b≠0，∴存在实数λ，使a＝λb，即4－2m＝4λ，m－1＝λ(2－2m)，m－1＝λ(2－2m)，解得m＝3或m＝1.[思路分析]

在解题时，应注意条件等价转化，挖掘题中的隐含条件．高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算思想方法技巧思想方法技巧待定系数法解决向量坐标问题 已知a＝(1，－2,1)，b＝(1,1,2)，若b＝b1＋b2，且b1∥a，b2⊥a，求b1.

待定系数法解决向量坐标问题

[方法总结]

(1)如果已知向量的坐标，直接运用向量的长度及向量夹角的坐标计算公式，求得向量长度和向量的夹角，反之亦然；(2)运用向量的长度及向量夹角的坐标计算公式，可以解决三角形中的边长、内角及面积等问题；(3)在解决向量坐标的问题时，常利用待定系数法．

课后强化作业（点此链接）课后强化作业空间向量与立体几何第三章空间向量与立体几何第三章3.1空间向量及其运算第三章3.1空间向量及其运算第三章3.1.4空间向量的直角坐标运算第三章3.1.4空间向量的直角坐标运算第三章课前自主预习方法警示探究课堂典例讲练易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧课前自主预习方法警示探究课堂典例讲练课前自主预习课前自主预习众所周知，地球上的每一点都对应着唯一的经度和纬度，如山东省的省会济南市就位于北纬36度40分，东经117度00分，而我们的首都北京的经度是东经116度42分，纬度是北纬39度54分．经度和纬度是地球上任意点的“坐标”，无独有偶，在数学上我们用到的很多量(包括向量)也有坐标，今天我们要学习的就是空间向量的坐标及其运算问题.众所周知，地球上的每一点都对应着唯一的经度和纬度，如山东省的高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算1.空间向量的坐标表示(1)单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引________向量i，j，k，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做_______________．单位垂直坐标向量1.空间向量的坐标表示单位垂直坐标向量(2)空间向量的坐标表示在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在________实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2

j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组_____________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝___________________.名师点拨：向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．唯一(a1，a2，a3)

(a1，a2，a3)(2)空间向量的坐标表示唯一(a1，a2，a3)(a1，a(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b3．空间向量平行和垂直的条件设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b(b≠0)⇔__________⇔_____________________________，当b1，b2，b3都不为0时，a∥b⇔_____________.(2)a⊥b⇔________⇔_______________________.a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a＝λba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a＝λba·b＝0高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算名师点拨：(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等．高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算2．下列各组向量不平行的是(

)A．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B．c＝(0,1,0)，d＝(1,0,1)C．e＝(0,1，－1)，f＝(0，－1,1)D．g＝(1,0,0)，h＝(0,0,0)[答案]

B[解析]

A项中b＝－3a，a∥b，C项中f＝－e，f∥e，D项中h＝0，∴h∥g.2．下列各组向量不平行的是()3．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝(

)A．3 B．4C．2 D．1[答案]

C[解析]

∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.3．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，求向量n使n⊥a，且n⊥b.5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，求向课堂典例讲练课堂典例讲练空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算

若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.[思路分析]

利用平行和垂直的充要条件列式求解．利用空间向量的坐标运算解决与平行、垂直有关的问题

若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．利用空间向高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算

如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．利用空间向量的坐标运算求夹角及长度(距离)问题

[思路分析]

正确利用两向量的夹角公式及模长公式． 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算高中数学人教版选修21配套课件：314空间向量的直角坐标运算[方法总结]

利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤：(1)根据几何图形的特点建立适当的空间坐标系；