高数 函数的极限及性质 知识点与例题精讲课件

二、自变量趋于有限值时函数的极限2.2、2.3自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限及性质

三、函数的单侧极限四、函数极限的性质二、自变量趋于有限值时函数的极限2.2、2.3自变量变化过程播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接1、定义：1、定义：2、几何解释:2、几何解释:例1.证明:证:取因此就有故欲使即机动目录上页下页返回结束例1.证明:证:取因此就有故欲使即机动目录上页=(a

-,a+)

邻域:=(a-,a+)邻域:二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限1、定义：1、定义：2、几何解释:注意：2、几何解释:注意：例2证例3证例2证例3证例4证函数在点x=1处没有定义.例4证函数在点x=1处没有定义.三、函数的单侧极限:1、在有限点的左右情况三、函数的单侧极限:1、在有限点的左右情况

左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理1:

机动目录上页下页返回结束左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理例5.设函数讨论时的极限是否存在

.解:

利用定理3.因为显然所以不存在

.例5.设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理左右极限存在但不相等,例6：证左右极限存在但不相等,例6：证2、在无限远处的另两种情形:2、在无限远处的另两种情形:四、函数极限的性质1.有界性2.唯一性四、函数极限的性质1.有界性2.唯一性推论3.不等式性质定理(保序性)推论3.不等式性质定理(保序性)定理3(保号性)推论定理3(保号性)推论4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理44.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理4证证例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任例7：证例7：证二者不相等,二者不相等,小结函数极限的统一定义(见下表)小结函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后过程时思考题思考题思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则是否一定有？思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则是否一定3.Let(a)Find(i)(ii)(b)Doesexist?(c)SketchthegraphofF.3.Let(a)一、填空题:练习题一、填空题:练习题高数函数的极限及性质知识点与例题精讲课件练习题答案练习题答案二、自变量趋于有限值时函数的极限2.2、2.3自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限及性质

三、函数的单侧极限四、函数极限的性质二、自变量趋于有限值时函数的极限2.2、2.3自变量变化过程播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接1、定义：1、定义：2、几何解释:2、几何解释:例1.证明:证:取因此就有故欲使即机动目录上页下页返回结束例1.证明:证:取因此就有故欲使即机动目录上页=(a

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邻域:=(a-,a+)邻域:二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限1、定义：1、定义：2、几何解释:注意：2、几何解释:注意：例2证例3证例2证例3证例4证函数在点x=1处没有定义.例4证函数在点x=1处没有定义.三、函数的单侧极限:1、在有限点的左右情况三、函数的单侧极限:1、在有限点的左右情况

左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理1:

机动目录上页下页返回结束左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理例5.设函数讨论时的极限是否存在

.解:

利用定理3.因为显然所以不存在

.例5.设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理左右极限存在但不相等,例6：证左右极限存在但不相等,例6：证2、在无限远处的另两种情形:2、在无限远处的另两种情形:四、函数极限的性质1.有界性2.唯一性四、函数极限的性质1.有界性2.唯一性推论3.不等式性质定理(保序性)推论3.不等式性质定理(保序性)定理3(保号性)推论定理3(保号性)推论4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理44.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理4证证例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任例7：证例7：证二者不相等,二者不相等,小结函数极限的统一定义(见下表)小结函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后过程时思考题思考题思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则是否一定有？思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则是否一定3.Let(a)Find(i)(i