线性代数4.线性方程组求解

一、齐次线性方程组

a11

x1

a12

x2

a1n

xn

0

a21

x1

a22

x2

a2nxn

0am1

x1

am

2

x2

即AX

=0

amnxn

0

平凡解：X

=0(零解)设A

=(1,2,…,n),则下列命题等价：1o2o301,2,…,n线性相关;AX

=0有非零解;R(

A)

n.解的性质：AX=0

的解向量的线性组合仍为AX

=0的解.证

设1,

2,

…,

s

为AX

=

0

的解向量，则A(k11+

k22+

…+

kss

)=

A(k1

1)

+

A(k2

2)+

…+

A(ks

s

)=

k1

A1

+

k2

A2

+

…+

ks

As=

k1

0

+k2

0+…+

ks

0=0.所以，k1

1+k2

2+…+ks

s

仍为AX

=0的解.W

={XRn

|

AX

=0}

为Rn的子空间(AX=0

的解空间)AX=0的基础解系：W

的一组基.1o若1,2,…,s

线性无关;2o

AX

=0的任一解向量均可由1,2,…,s

线性表出定理1

设R(A)=r<n,则AX

=0有基解系且所含向量个数为n

-r,

即dimW=n-r,

这里n为方程组未知数个数.证

R(A)

=

r,

不妨设A的前r

个列向量线性无关,

则01b11br1Ob1,n1

1

0br

,n1

A

行初等变换

B

x1

b11

xr

1

b1,nr

xn得AX=0的同解方程组xr

br1

xr

1

br

,nr

xnxr

2

xr

1

0

1

1

0

0

0

分别取

,

,

x

0

0

1

n

,

,

则依次得

b1,nr

x1

b11

b12

,

,

,

,

x

bb

r

r1

r

2

br

,nr

便得AX=0的n–r

个解：120100001nr

b11

b12

b1,nr

br1

br

2

br

,nr

,

1

,

0,

1

0

0

1

0

0

,

,

,

0

0

1

线性无关可证明:1,2,…,n-r

即为基础解系：(1)

证明1,2,…,n-r

线性无关：为什么？1,2,…,n-r

线性无关(2)

可以证明AX

=0的任一解都可由1,2,…,n-r线性表出.（略）设1,

2,

…,

n

-

r

为AX

=

0

的一个基解系，则

AX

=0

的解，

=

k11+

k22+

…+

kn-rn-rAX

=0

的通解AX=0的基解系一般不惟一，但其任一基解系中所含向量个数必为n

(未知数个数)-R(A).13

x1

x1

2例1

求方程组的通解

2

x

4解

1

2

4

1A

2

4

86

2

30

01

1

22

0

00

1

0

0R(

A)

2

为求通解，可进一步化为

1

2

04310x4得同解方程组x3

(x2,x4为未知量)基础解系为15121

2

0

1

,

0

3

10

0

方程组通解为X

k11

k22

,

k1,

k2

R.例2

解2

32

x2

3

x3

036

x

10

x

0

25

x2

7

x3

02

x2

4

x3

0解

01A

1

2 3

1

2 3

3

6 10

0

2

5 7

0

1

12

0

14

0

1

010

1

2 3

1

0

0

1

0

0r(A)

=3 =

n,只有零解X

=0例3

设n阶矩阵A,B满足AB

=0,

证明：R(A)+R(B)≤

n.证设B

=(b1,…,bn),则AB

=

A(b1,

…,

bn)=

(A

b1

,

…,

Abn)

=0,A

bi

=0,

i

=1,

…,

n.bi

(i

=1,…,n)为AX=0的解，所以可由基础解系1,2,…,n-r(r=R(A))线性表出.所以,秩(B)

=秩(b1,…,bn)≤秩(2,…,n-r)=n-r(A).即R(A)+R(B)≤n.二、非齐次线性方程组a11

x1

a12

x2

a1nxn

b1

a21

x1

a22

x2

a2nxn

b2

amnxn

bmam1

x1

am2

x2

AX

=b(AX

=0称为AX

=b的导出组)设

A

=(1,

2,

…,

n),

即x11

+

x22

+

…

+xnn

=

b,AX

=b

有解

b可由1,2,…,n线性表出

R(

A)

R(

A)解的性质：性质1

设1

,

2

为AX

=

b

的解,

则1

-

2为其导出组的解.证

A(1

-

2

)

=

A1

-

A2

=

b

–

b

=

0所以，1

-2为AX

=0的解.性质2

设

为AX

=

b

的解,

为AX

=

0的解，则

+

为AX

=b的解.证

A(

+

)

=A

+

A

=

b+

0=

b所以，

+

为AX

=b

的解.AX=b

的特解：AX=b

的任一解.性质3

设0

为AX

=b

的一个特解,

则AX

=

b

的任一解

可表为

=0

+

,

(为AX

=0

的一个解)对于AX

=b

的任一个特解0,当

取遍它的导出组的全部解时，

=0

+

就给出AX=b

的全部解.性质3的证明

=

0

+

(

-

0

)为AX

=0的解，设为为了求AX=b的通解（全部解），只需求其一个特解0,以及导出组的全部解即可：设0为AX

=b

的一个特解，1,2,…,n-r为其导出组的基础解系，则AX

=b

的通解为X

=

0

+

k11+

…

+

kn-rn-r

,例4

解x2

x332

x

x2x2

2

x3

5

1

2

0

1

0解

1

1

1

1A

3

2

1 13

0

1

00

1

2

0R(A)

R(A)

有无穷多解3

x

3

x得同解方程组

1

3x

2

2

x

2(1)求非齐次的特解:取x3=0,

得0

=(3,2,0)T(2)求导出组的基础解系:取x3=1,

得

=(1,

-2,1)TAX

=b的通解为：X

=

0

+

k

,

kR例5

解

3

x2

x3

532

x2

3

x3

3x2

2

x3

2解A

3

02

0

2

3

1

1 5

3

1

1 5

3

1

1 5

2

3 3

0

1

2

1

21

2

1

2

0

02

0

2

04

R(

A)

2

R(

A)

3,无解

x2

x3

1例6

解

x2

x3

x2

x3

2解2

11

1

2

1

1

1

1

11

1A

1

1

11

3

1

2

(1

)

01

1

0

1 1

1

1

223

1

2

(1

)

01

1

0

1 1

0 2

22

1

2

(1

)

0(1

)

(1

)

1

0

1 1

0

(1

)(

2)(1)

=

1时，R(

A)

R(

A)