高中数学 必修1 集合与函数 2.1 函数定值域 知识点+例题+练习题(含答案)

高中数学必修1集合与函数2.1函数定值域知识点+例题+练习题1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的。注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。2.构成函数的三要素：、和:（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）。3.两个函数的相等：当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的和都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4.区间： （1）区间的分类：开区间：、闭区间：、半开半闭区间：； （2）无穷区间：； （3）区间的数轴表示。5.映射的概念:一般地，设A、B是两个，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→B”。函数是建立在两个的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。【例1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3).【例2】判断下列函数是否表示同一个函数，说明理由？(1)f(x)=(x－1)0；g(x)=1(2)f(x)=x；g(x)=(3)f(x)=x2；f(x)=(x+1)2(4)f(x)=|x|；g(x)=(5)f(x)=x2,g(x-2)=(x-2)2,g(t)=t2【例3】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射;②是函数;③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;④与g(x)=x是同一函数.其中正确的有_______个.【例4】设集合A和集合B都是实数集R，映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素x3－x＋1，则在映射f下，象1的原象所组成的集合是()A.{1}B.{0,1，－1}C.{0}D.{0，－1，－2}【例5】若f(x)满足f(a∙b)=f(a)+f(b)，且f(2)=p，f(3)=q，则f(72)等于()A.p+qB.3p+2qC.2p+3qD.p3+q2【例6】已知函数f(x)=.(1)求f(2)与f()，f(3)与f()；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f()有什么关系？证明你的发现.【例7】已知函数的定义域为集合A、B={x|x<a}.(1)求集合A；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围.【例8】根据下列条件，求下列各函数的定义域：(1)已知函数y=f(x＋2)的定义域为[1,4]，求函数y=f(x)的定义域；(2)已知函数y=f(2x)的定义域为[0,1]，求函数y=f(x＋1)的定义域；(3)已知函数y=f(x)的定义域为[0,1]，求g(x)=f(x＋a)＋f(x－a)的定义域.【例9】求下列函数的值域：(1)y=2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y=＋1；(3)y=x2－4x＋6，x∈[1,5]；(4)y=x＋；(5)y=.【例10】求的值域.1.设集合M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是()2.已知映射f：A→B，即对任意a∈A，f：a→|a|.其中，集合A={－3，－2，－1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的对应元素，则集合B中元素的个数是()A.4B.5C.6D.73.已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，－1)，则函数f(x)的定义域为()A.(-1.5，-1)B.(－1,0)C.(－3，－2)D.(-2，-1.5)4.函数f(x)=－5，则f(3)=()A.－3B.4C.－1D.65.设，则=()A.1B.－1C.0.6D.－0.66.已知f(x)=x2＋1，则f[f(－1)]=()A.2B.3C.4D.57.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()A.1B.2C.3D.48.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为()A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,79.函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式为()A.f(x)=(x－a)2(b－x) B.f(x)=(x－a)2(x＋b)C.f(x)=－(x－a)2(x＋b) D.f(x)=(x－a)2(x－b)10.函数的定义域是11.函数的定义域是12.函数的定义域是13.已知元素(x，y)在映射f下的原象是(x+y，x-y)，则(1，2)在f下的象是____________.14.函数y=x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为____________.15.设，则f[f(x)]=________.16.函数f(x)=x2－2x＋5定义域为A，值域为B，则集合A与B的关系是.17.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则的值等于________.18.已知函数.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(－1),f(12)的值.19.已知函数.(1)求f(2)与f(0.5)，f(3)与f().(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f()有什么关系？并证明你的发现.(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＋f()＋f()＋…＋f().20.求函数的值域；1.函数符号y=f(x)表示()A.y等于f与x的乘积B.f(x)一定是一个式子C.y是x的函数D.对于不同的x，y也不同2.下列各组中，集合P与M不能建立映射的是()A.P={0}，M=∅B.P={1,2,3,4,5}，M={2,4,6,8}C.P={有理数}，M={数轴上的点}D.P={平面上的点}，M={有序实数对}解析:选项A中，M=∅，故集合P中的元素在集合M中无元素与之对应，故不能建立映射.3.已知集合A={1,2，m}，B={4,7,13}，若f：x→y=3x＋1是从集合A到集合B的映射，则m的值为()A.22B.8C.7D.44.设集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，在图中能表示从集合A到集合B的映射的是()5.已知函数f(x)=－1，则f(2)的值为()A.－2B.－1C.0D.不确定6.下列图形可作为函数y=f(x)的图象的是()7.函数y=的定义域是()A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.{-1,1}8.若函数g(x＋2)=2x＋3，则g(3)的值是()A.9B.7C.5D.39.函数的定义域是()A.[-3,1.5]B.[-3,-1.5)∪(-1.5,1.5)C.[-3,1.5)D.[-3,-1.5)∪(-1.5,1.5]10.已知f(x－1)的定义域为[－3,3]，则f(x)的定义域为____________.11.已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值.12.在体育测试时，初三的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）.如果这个男同学出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）.（1）求这个二次函数的解析式；（2）该同学把铅球推出去多远？（精确到0.01米，15=3.873）知识点参考答案1.答案为：对应关系f，唯一确定；y=f(x)，x∈A；定义域；值域；2.答案为：定义域、对应关系和值域；3.答案为：定义域，对应法则；4.答案为：();[];(],[)；(-∞,+∞);5.答案为：非空的集合；唯一确定；非空数集间；例题参考答案例1.(1)x≠±2;(2)x<1且x≠-1;(3)1.5≤x≤7.例2.(1)×;(2)×;(3)×;(4)√;(5)√.例3.答案为：①；例4.答案为：B；例5.答案为:B；例6.解：(1)f(2)=0.8，f(0.5)=0.2，f(3)=0.9，f(3-1)=0.1;(2)f(x)＋f()=1.例7.解:(1)要使函数f(x)有意义，应满足3-x≥0,x+2>0，∴－2<x≤3，故A={x|－2<x≤3}.(2)∵A⊆B，∴把集合A、B分别表示在数轴上，如图所示，由如图可得，a>3.故实数a的取值范围为a>3.例8.解：(1)∵y=f(x＋2)中，1≤x≤4，∴3≤x＋2≤6，∴函数y=f(x)中，3≤x≤6，故函数y=f(x)的定义域为[3,6].(2)∵y=f(2x)中，0≤x≤1，∴0≤2x≤2，∴函数y=f(x＋1)中，0≤x＋1≤2，∴－1≤x≤1，∴函数y=f(x＋1)的定义域为[－1,1].(3)由题意得0≤x+a≤1,0≤x-a≤1，∴-a≤x≤1-a,a≤x≤1+a，以下按a的取值情况讨论：①当a=0时，函数的定义域为[0,1].②a>0时，须1－a≥a.才能符合函数定义(定义域不能为空集).∴0<a≤0.5.此时函数的定义域为{x|a≤x≤1－a}.③a<0时，须1＋a≥－a，即－0.5≤a<0，此时函数的定义域为{x|－a≤x≤1＋a}.综上可得：－0.5≤a<0时，定义域为{x|－a≤x≤1＋a},0≤a≤0.5时，定义域为{x|a≤x≤1－a}.例9.解：(1)∵y=2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，∴y∈{3,5,7,9,11}.∴函数的值域为{3,5,7,9,11}.(2)∵eq\r(x)≥0，∴eq\r(x)＋1≥1.∴函数的值域为[1，＋∞).(3)配方得y=(x－2)2＋2，∵x∈[1,5]，由图知2≤y≤11.即函数的值域为[2,11].(4)令u=eq\r(2x－1)，则u≥0，x=eq\f(u2＋1,2)，∴y=eq\f(1＋u2,2)＋u=eq\f(1,2)(u＋1)2≥eq\f(1,2).∴函数的值域为[eq\f(1,2)，＋∞).(5)y=eq\f(3x＋2,x－1)=eq\f(3x－1＋5,x－1)=3＋eq\f(5,x－1)≠3.∴函数的值域为{y|y≠3}.例10.解：=1-，而x2-x+1=(x-0.5)2+0.75≥0.75，即0<≤，∴-13≤y<1.即的值域为[-,1].课堂练习题参考答案1.答案为：B;2.答案为：A;3.答案为：B;解析:∵函数f(x＋1)的定义域为(－2，－1)，∴－1<x＋1<0，∴函数f(x)的定义域为(－1,0).4.答案为：A;5.答案为：B;6.答案为：D;7.答案为：A8.答案为：C；解析：由题目的条件可以得到a＋2b=14,2b＋c=9,2c＋3d=23,4d=28.解得a=6，b=4，c=1，d=7，故选C.9.答案为：A;10.答案为：x≥1；11.答案为：x≥1且x≠2.12.答案为：x≥1且x≠2且x≠3；13.答案为：（3，-1）；14.答案为：{－1,0,3}；15.答案为.16.答案为B⊆A;17.答案为：2；18.解：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，∴x≥－4且x≠1，即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞).(2)f(－1)＝－3－eq\r(3).f(12)＝－eq\f(38,11).19.解：(1)∵f(x)=eq\f(x2,1＋x2)，∴f(2)=0.8，f(0.5)=0.2，f(3)=0.9;f()=0.1.(2)由(1)发现f(x)＋f()=1.证明如下：f(x)＋f()=1.(3)f(1)=0.5.由(2)知f(2)＋f(0.5)=1，f(3)＋f()=1，…，f(2017)＋f()=1，∴原式=eq\f(1,2)＋1+1+...+1=2016＋0.5=2016.5.20.解：已知函数式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7，即[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)=0.当y/r