专题04 导数之二阶导数的应用（解析版）

I）已知函数．(1)设是的极值点．求，并求的单调区间；(2)证明：当时，．【解析】(1)函数的定义域为，，，由题意可知，即，又因为，利用函数极值的第二判定理可得是函数的极小值点，所以的单调减区间为，单调增区间为当时，，设，下面只需证明即可；因为，，由，利用函数极值的第二判定定理可得是函数的极小值点，也是最小值点，所以，所以当时，因此，当时，【变式训练1-1】、设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，，由是的极大值点，利用函数极值的第二判定定理可得，得故选B【变式训练1-2】、(安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考)函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间的最值．【解析】(1)略(2),,由，，利用函数极值的第二判定定理可得是的极小值点，所以在的单调递在单调增区间.所以，，又

(二)利用二阶导数求函数的单调性例2、已知，若，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，又的定义域为，所以在和上单调递减，又，，，，所以．故选：B．例3、【2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题】设函数．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求的取值范围．【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；同时还要用到迁移转化、构造函数的解题技巧，所以应是全卷最难的一题，均分只有0.74分．【解法一：官方参考答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解法二：二次求导】在原解法一第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地.我们也可以运用二阶导数的方法：【二次求导的巧妙运用】（Ⅱ）由题设，若，则当；若.令，，,∵,∴，∴即原不等式成立.当从而当此时，∴.综上可知，.由以上两个例子可以看出，当需要判定函数的单调性而求导之后不能直接判定导数的符号时（导函数中常含有指数或对数形式），常可以考虑用二阶导数法。【变式训练3-1】、已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设，其中是的导数．【解析】（Ⅰ）由=可得，而，即，解得；（Ⅱ），令可得，当时，；当时，．于是在区间内为增函数；在内为减函数。（Ⅲ）=因此对任意的，等价于设所以因此时，，时，所以，故。设，则，∵，∴，，∴，即∴，对任意的，证明：对任意的，．【变式训练3-2】、【华中师大附中2017级高三上期中考试，21题】（1）已知，证明：当时，；（2）最小值为，求的值域.【解析】（1）证明：在上单调递增，时，即，时，成立.（2）由在上单增且知存在唯一的实数，使得，即单减；单增，满足记，则在上单所以的值域为(三)利用二阶导数求参数的范围例4、（1）【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）已知关于的不等式在上恒成立，则整数的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B．【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令时，化简：；令时，，化简你还可以在算出3,4，选择题排除法。B为最佳选项。【第二种解法（二次求导）】：构造求导，令，即，再令，在，，在上是单调递减，设点，在递减；在递增，所以=，，，所以m的最大值是2.（2）．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】由，得，又关于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，，则，设，，则，即在上单调递增，则，于是有，从而得在上单调递增，因此，，则，所以的取值范围是.故选：D【变式训练4-1】、若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（）

A．3 B．4C．5 D．6【答案】B【解析】因为变形令求导：，令求导在上为增函数；令=0，零点满足即，所以在时，是单减，在时，是单增的，再令，,所以，，取整数，那么的最大值是4【变式训练4-2】、已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】依题意，，令，则．令，，∴时，，即单调递增，∵，，设并记其零点为，故．且，所以当时，，即，单调递减；当时，即，单调递增，所以，因此，由于且，即，所以，故选:C(四)利用二阶导数证明不等式例5.【全国卷Ⅰ第20题】已知函数.若，求的取值范围；证明：.【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞），，，.令从而当时，，故所求的范围是[-1,+∞﹚.(2)由(1)知,,则时，；.综上可知，不等式成立.我们也可以运用二阶导数的方法加以证明：【二次求导的巧妙运用】:令.因，显然当时，，当时，，在（0,1﹚递减；当时，，的符号仍不能判定，求二阶导数得：，从而在时递增，，在[1,+∞﹚递增，所以当时，，故成立，原不等式成立.【变式训练5-1】已知函数，曲线在点处的切线方程为．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：当，且时，．【解析】（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点，故即 ，解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 考虑函数，则所以当时，当时，当时，从而当【变式训练5-2】已知函数，且．(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且QUOTEe−2<𝑓(𝑥0)<2【解析】（1）的定义域为．设，则，等价于．因为，，故，而，，得．若，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以是的极小值点，故．综上，．（2）由（1）知，．设，则．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，．因此，所以是的唯一极大值点．由得，故．由得，．因为是在的最大值点，由，得．所以．四、迁移应用A卷基础巩固1．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．【解析】由，，得，设，即恒成立，，，所以在上单调递减，且，所以当时，；当时，；即函数在上单调递增，在单调递减，故当时，取最大值为，即，所以，故答案为：.2．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为______．【解析】由，则对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则，所以函数在单调递增，因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，故，所以，所以实数的最大值为．3．已知，函数，．（1）讨论函数的极值；（2）若，当时，求证：．【解析】（1）因为，则，当时，对，，则在是增函数，此时函数不存在极值；当时，，令，解得，若，则，若，则，当时，取得极小值，所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值；（2）时，设，，求导得，设，，则，当且仅当时取“=”，于是得在单调递增，，即，从而得在上单调递增，因此有，即，所以在上恒成立.4．函数，，为常数．（1）当时，若，求的值；（2）当时，证明：对任意，．【解析】（1）因为，所以，，解得：．（2）因为，所以，则要证，只需证．设则，设，，故单调递增．又因为，，所以存在，使得，即，所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以当时，取得最小值．由知，所以，所以，故，从而．5．已知函数（1）当时，求图象在点处的切线方程；（2）当且时，证明有且仅有两个零点.【解析】（1）当时，则，则，又，则图象在点处的切线方程为；（2）由，则恒成立，单调递增；又；，则必然存在一点，使得，且，，单减，，，单增，即，则，故若有且仅有两个零点，则，只需最小值点不在处取得即可，即，即，故当且时，有且仅有两个零点.6．已知函数，.（1）若在上为单调递减函数，求的取值范围；（2）设函数有两个不等的零点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围．【解析】（1），由，令，，当时，；当时，．在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.，.（2）函数有两个不等的零点且，，两式相除得，若证不等式恒成立，即证，即证，令，，.①时，，在上为单调递减函数，，在为单调递增函数，，满足条件.②时，当时，，在上为单调递增函数，，在上为单调递减函数．，不满足条件，舍去.综上，正实数．7．已知函数满足，且曲线在处的切线方程为．（1）求，，的值；（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值．【解析】（1）由已知得，且函数的图象过点，，则解得，，．（2）由（1）得．若在上恒成立，则在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以，从而可得在上恒成立．令，则，令，则恒成立，在上为增函数．又，，所以存在，使得，得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增．则．又，所以，代入上式，得．又，所以．因为，且，所以，故的最大值为3．8．已知函数.（1）若，讨论函数的单调性；（2）已知，若在内有两个零点，求的取值范围.【解析】（1）的定义域为(0,+∞)，.①当时，令，得到；令，得到，此时在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；②当时，令，得到；令，得到或，此时在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数；③当a=1时,显然恒成立，此时在0,+∞)上为增函数；④当a>1时,令，得到；令，得到或.此时在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数.综上：①当时，在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；②当时，在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数；③当a=1时，在0,+∞)上为增函数；④当a>1时，在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数.（2）在内有两个零点，即关于x方程在上有两个不相等的实数根.令则，令，则，显然在上恒成立,故在上单调递增.因为p(1)=0，所以当，有，即所以单调递减；当，有，即所以单调递增；因为，所以a的取值范围9．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意得，的定义域为，，当时，，函数在上单调递增．当时，令，解得，时，，函数在上单调递减；时，，函数在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）由题意得，求导得，设，求导可得，当时，，函数在上单调递增，函数至多有一个极值点，不合题意．当时，令，解得，时，，函数在上单调递增，时，，函数在上单调递减，所以函数在处取得极大值，也是最大值，为．因为函数有两个极值点等价于函数有两个不同的零点，所以，即，解得．当时，，，，，令，则，故在上单调递增，，即，所以，又在上单调递增，在上单调递减，所以函数有两个极值点，所以实数的取值范围是．10．已知函数，．（1）当时，若在点，切线垂直于轴，求证：；（2）若，求的取值范围．【解析】（1）由题意可知，则，设切点为，，则由，解得，则，即，故等式得证；（2）解：因为，其中，所以对恒成立，令，则，即，令，则，其中，则为上的增函数，又因为（1），，所以存在，使得，即，即，又因为在上单调递增，故，即，又当时，，所以为减函数，当时，，所以为增函数，所以，所以的取值范围为，．11．已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若对任意的，都有，求的取值范围.【解析】（1）当时，，，所以切线的斜率，，切点为，所以切线方程为：，即（2）若对任意的，都有，取，则可得：，由可得：，，所以在单调递增，，，即，因为，，所以存在，使得，所以当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，若对任意的，都有，只需解得：，所以的取值范围是.12．已知函数．（1）若对恒成立：求实数a的取值范围；（2）当时，证明：．【解析】（1）因为，所以，.当时，显然，则在上单调递增，所以，不合题意；当时，由得，则在上单调递增，所以存在，使，不合题意；当时，因为，所以，则在上单调递减，所以.综上可知，实数的取值范围是.（2）当时，，要证，只需证，即证（*）.令（），则，令（），则，则在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减.由（*）可知，只需证（）.令（），则，所以在上单调递增，所以对任意，，即.故原不等式成立.B卷能力提升13．已知函数.（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，，且，证明：.【解析】（1）函数的定义域为，由，得，则，又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点.（2）若有两个零点，，则，，得.因为，令，则，得，则，所以.令，则，令，则，则在上单调递增，所以.所以，则在上单调递增，所以，即，故.14．已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求证：函数存在极小值；（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，，所以．所以．曲线在点处的切线方程为．（2）由，得．令，则．当时，，当时，，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．所以的最小值为．当时，，．又在单调递增，故存在，使得，在区间上，在区间上．所以，在区间上，在区间上，所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数存在极小值．（3）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于．①当时，，由（2）得，所以．所以在上单调递增，所以的最小值为．由，得，满足题意．②当时，由（2）知，在上单调递减，所以在上，不满足题意．综上所述，实数a的取值范围是．15．已知函数.（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；（2）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值.【解析】（1）∵，又函数在区间上为增函数∴当时，恒成立.∴.∴的取值范围为.（2）当时，.故不等式，∴即对任意恒成立，令，则，令，（）则，∴在上单增.又，，∴存在，使，即当时即.当时，，即∴在上单减，在上单增.令，即.∴，∴且，即.16．已知函数.（1）若在上有两个不同的实根，求实数的取值范围；（2）若，证明：存在唯一的极大值点，且.【解析】（1）由，得，即.令，求导，令，得当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.易知当时，，当时，，故可作出函数的大致图象，如图所示：由图象可知，当时，直线与的图象有两个不同的交点，故当在上有两个不同的实根，实数的取值范围为.（2）证明：由题知，求导，令，求导，令，得所以在上单调递减，在上单调递增.又，，，，由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一的根，设为，则，从而有两个零点和，当和时，，单调递增；当时，，单调递减，所以存在唯一的极大值点，，且，即.，当且仅当，即，故等号不成立，所以.17.已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。当时，解不等式；若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围；当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。【解析】⑴因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为．⑵，①当时，，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求；②当时，令，因为，所以有两个不相等的实数根，，不妨设，因此有极大值又有极小值．若，因为，所以在内有极值点，故在上不单调．若，可知，因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，必须满足即所以.综上可知，的取值范围是⑶当时,方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数，又，，，，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为．18.已知函数（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值（2）若对任意实数恒成立，确定实数的取值范围（3）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，说明理由【解析】（1），因此在处的切线的斜率为，又直线的斜率为，∴（）＝－1，∴＝－1.（2）∵当≥0时，恒成立，∴先考虑＝0，此时，，可为任意实数；又当＞0时，恒成立，则恒成立，