微积分下-二三重积分复习

22a

cos22a

cosddf

r,

dr4I

f

r,

dr,

a

0I

00极坐标系中的二重积分,若先对后对r进行积分,则应注意如下两点:积分域D的边界曲线均用极坐标表示;若以原点o为圆心的一系列同心圆与域D的边界曲线中的不同曲线相交,则应在交点处把的区间分开处理.2选择积分顺序sin

xxln

xdx,sin

x2dx,

cos

x2dx,凡遇如下形式积分：

ex2

dx,

e

x2

dx,

dx

等等,一定要将其放在后面积分DDx计算下列二重积分:

x2e

y2

dxdy,D是以0,0,1,1,0,1为顶点的三角形.

sinx

dxdy,D是由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域3坐标系的选择设有一曲顶柱体,以双曲抛物面z

xy为顶,以xoy坐标面为底,以平面y

0为侧,柱面x2

y2

=1为内侧,柱面x2

y2

=2x为外侧,试求这个柱体的体积.解:由题设可知曲顶柱体在xoy平面上的投影,即积分区域D,由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积简便.由二重积分的几何意义V

zdxdy

xydxdyD

D1

23曲线L

:

r

2

cos

,

L

:

r

1,

联立解得,

0132cosdr3

sin

cos

dr故

V

442016

cos9.141816303cos

d

1

sin116

cos

d

cos

2

232yd

,

D

:

0

x

1,0

y

1.1

x

yD4.计算I

2

232y1

x

y解:从被积函数f

x,y

看,用极坐标做要简单些,但从积分区域D的形状看却又以直角坐标为宜.在二者不可兼得的情况下,应以积分区域D形状来决定用什么坐标系,本题用直角坐标系做.I2101

1

11

2

xdx

1

x20

22

2

1

ln2

0

ln

2

1

35.计算

x

1

yf

x2

y2

dxdy,其中D是由y

x3

,y

1Dx

1所围成的区域f

(u)为连续函数.0xf

(t)dt解:令F(x)f

(u)连续,F(x)存在D

D

x

1D

xdxdy

xyf

x333112x1

x1

x111

xdx1

1dy

xdxyf

x2

y2

dy1

1

x(1

x3

)dx

xdx1

f

x2

y2

d

(x2

y2

)

112x1法二:对区域D进行分割,利用对称性12

15

2xF1

2520)

12

2te dt

D求I=

max{x,y}e-x2

-y2

d

,其中D

(x,y)|

x

0,y

0(已知00,(x,

y)

D6.设函数f

(x,y)

2,(x,y)

D0

,200t t

x2dxdy

2

dxdy

t

D求函数F

(t)

f

(x,

y)dxdy,x

yt其中D0

(x,y)

|

0

x

1,

0

y

1.解:当t

0时,f

(x,y)

0,则F(t)

0当0<t

1时,此时积分区域为D

(x,y)

|

0

x

t,

0

y

t

x,所以F

(t)D

(x,y)

|

0

x

t

1,

0

y

1(x,y)

|

t

1

x

1,

0

y

t

x当1<t

2时,积分区域为112000dxdxt

1t

xt

1dy

2dy

t

4t

2所以F

(t)

2当t

2时,积分区域D

D0

,则F

(t)

2dxdy

2D0*交换三次积分的积分顺序例7

将0

0

01

x

xyI

dx

dy

f

(x,

y,z)dz化成依次对变量x、z和y的三次积分。

Step1:交换x与y

的积分顺序（1,1）x解yo0

y

01

1

xyI

dy

dx

f

(x,

y,z)dzStep2：交换x与z的积分顺序(y视为常数）y1xzo(1,y)(y,y2)01y2dz f

(x,

y,z)dx2yy1

zydzyf

(

x,

y,

z)dx0y1

xyf

(x,

y,z)dzdxz=yxy=x010y2yI

dy21

10yy1

zydzf

(

x,

y,

z)ddz

f

(x,

y,z)dx

dy评：交换三次积分的积分顺序,实质为交换二次积分的积分顺序8.计算I

x

y

z

dxdydz,:由平面x

y

z

1及三坐标面所围之区域.解:因为f

(x,y,z)

x

y

z及积分区域关于x,y,z均对称,

ydxdydz

zdxdydz100xdx1

x1

x

yI

3xdxdydz

3dy0

dz故

xdxdydz

于是100xdx1x

3(1

x

y)dy10dx120323218x(1x)

dx

9.计算I

(x2

y2

)dxdydz,

其中是由曲线y2

2z,x

0绕oz轴旋转一周而成的曲面与z

2,z

8两平面所围的形体.

y2

2zx2

y2

2z解:曲线

x

0

,

绕oz轴旋转,所得旋转面方程为无论从积分区域还是被积函数均可看出本题以选柱坐标系为宜由于积分区域Ω在xoy面上的投影区域的两个不同部

D1

:0

r

2,D2

:2

r

4之中任一点所作平行于z轴的直线与围成Ω的不同曲面相交,故原积分应视为柱坐标下两个不同的三重积分之和,即28

82222rD1rd

drrd

dr

r

dzI

r dz

D222

828002002rdrdz22

336

d

dr

dz

d10.计算三锥面x2

y2

z2与平面z

a(a

0)围成的解:本题的可用球面坐标系.该处用球面均应写成球面方程.00042acosd

2

sin2

2

sind

a510I

dX例11

计算VI1

xdv

,I2

ydv

,

I3

zdv

,V

VV：x

0 ,y

0 ,z

0

,x2

y2

z2

R2OYZVπ2π2000V

VRdθdφρcos

φ.ρ2

sin

φdρ

3π2π2000Rdθcosφsin

φdφ

dρ

R416解:

xdv

ydv

zdv练习:

计算V：x

0

,y

0

,z

0,

x2

y2

z

2

R2I

(ax

by

cz)dv

(a,b,c为常数）VOXYZV

V

V解

由轮换对称性知xdv

ydv

zdv

I

(a

b

c)zdvVπ

πR2

2000=

(a

+

b

+

c)

dθdφρcosφgρ2sinφdρππR322000

(a

+

b

+

c)

dθcosφ

•

sinφdφρ

dρ16(a

b

c)4

πR

by2

cz2

)dv思考题:

计算

I

(ax2其中VV

:

x2

y2

z

2

1(a,b,c为常数)V解:

由轮换对称性知

x2dv

y2dv

z

2dvVV

I

(a

b

c)z

2dv

V

y2

z

2

)dv2π

π1312

2000=(a

+

b

+

c)

dθdφ(a

b

c)(xVρ2

ρ2sinφdρ83

4

π

(a

b

c)V15注意：

此题中

(x2

y2

z2

)dv

dvV12.

x

y

z

2

dV

,其中：x2

y2

1,

z

1.解：于所有坐标面对称，故

x

y

z

2

dV

x2

y2

z2

dV

x2

y2

z2

dV一卦

1

122000rdr2d

8r

z

dz3

5

.D

:

x

2,

y

0,

y

2,

x

2

y

y213.

I

yd

.y

=

D

dD解：可视该平面薄片密度为1的物体，由重心坐标公式

ydD

D

yd

=

y

d1

1D又

y

1,

d

2

2

2

4

2

2Dyd

=

y

d

1

4

4

2

DD注：凡遇到,x,

y的一次积分时，可以考虑用重心简化计算有一的塔，底半径为R，高为h，h不小于R，现沿塔身建一登塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于xoy平面的直线的夹角为450

,楼梯入口在点（R，0，0），试求楼梯曲线的方程.解：设楼梯曲线上任一点为M（x，y，z），h

-

z

r

,h

R所以曲线的参数方程为Rx

r

cos

,

x

r

sin

,

z

h

h

r

0