人教版A版高中数学选修4 5用数学归纳法证明不等式课件

人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．2．会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式．1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件1．用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)(n≥1，n∈N﹡)；练习：填空已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2.求证：(1＋x)n＞1＋nx.证明：(1)当n＝________时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，因x2＞0，则原不等式成立．(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫)(2)假设n＝k时(k___________)，不等式成立，即_______________．当n＝k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是2≥2k∈N﹡(1＋x)k＞1＋kx1．用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2；右边＝1＋(k＋1)x.因为________，所以左边＞右边，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x.这就是说，原不等式当n＝k＋1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．2．用数学归纳法证明不等式的关键是：假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这也是学好数学归纳法的重中之重．当然第一步是证明的基础也是不能少的．kx2＞0左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件﹡）.﹡）.人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件﹡).证明：①n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，

即k2＋k＜k＋1，∴k2＋k＜(k＋1)2.

当n＝k＋1时，

(k＋1)2＋(k＋1)＝(k2＋k)＋2k＋2，

∴上式＜(k＋1)2＋(2k＋3)＝k2＋4k＋4

＝(k＋2)2＝k＋2＝(k＋1)＋1，

∴当n＝k＋1时，不等式成立．

综合①②可知，对任意正整数原不等式成立．

﹡).证明：①n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；②假跟踪训练分析：在递归步骤中需用到2k＞k2这一步，但这只有当k≥5时，才能成立，故不能只证n＝1，命题成立后，便用归纳推理．证明：(1)验证知n＝1,2,3,4,5时，命题都成立．(2)设n＝k(k≥5)时命题成立，即2k＋2＞2k＞k2，则当n＝k＋1时，2k＋1＋2＞2k＋1＝2·2k＞2·k2＞(k＋1)2，(*)﹡).跟踪训练分析：在递归步骤中需用到2k＞k2这一步，但这只有当故命题成立，因而对一切n∈N*命题成立．其中(*)：当k≥5时2k＞k2，证明如下：(ⅰ)当k＝5时，25＞52显然成立；(ⅱ)设k＝i(i＞5)时，2i＞i2成立，则当k＝i＋1时，2i＋1－(i＋1)2＝2·2i－i2－2i－1＝2(2i－i2)＋(i2－2i＋1)－2＝2(2i－i2)＋(i－1)2－2，∵2i＞i2，i＞5，∴(i－1)2－2＞0，故2i＋1＞(i＋1)2，∴对一切k≥5有2k＞k2.故命题成立，因而对一切n∈N*命题成立．人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件*,*)时*,*)时*,*,跟踪训练已知a≥2，不等式logax＋loga[(a＋1)ak－1－x]≥2k－1的解集为A，其中a∈N*，k∈N.(1)求A.(2)设f(k)表示A中自然数个数，求和Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)．(3)当a＝2时，比较Sn与n2＋n的大小，并证明你的结论．跟踪训练已知a≥2，不等式logax＋loga[(a＋1)a人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件*),*),人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件一层练习1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(

)A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2kD一层练习1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2CCCC4．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n与n2的大小并猜想(

)A．n≥1时，2n＞n2

B．n≥3时，2n＞n2C．n≥4时，2n＞n2D．n≥5时，2n＞n2D4．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n与n2的大小并猜二层练习5二层练习57.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对于一切n∈N*都成立，则a=______,b=_____,c=______.答案：7.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=*).*)时*).*)时*成立*成立三层练习三层练习人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件解析：(1)由a1＝2，得a2＝3，a3＝4，a4＝5，猜想an＝n＋1.(2)①当n＝1时，a1＝3≥1＋2，不等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即ak≥k＋2，当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3.即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立．∴an≥n＋2对于n∈N*都成立．解析：(1)由a1＝2，得a2＝3，a3＝4，a4＝5，猜想人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件分析：本题除了考查有关数列的知识之外，在比较大小时还可进行归纳、猜想，然后用数学归纳法进行证明．分析：本题除了考查有关数列的知识之外，在比较大小时还可进行归人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件1．本节的主要内容是认知如何用数学归纳法证明，含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)．观察—猜想—证明是数学归纳法中经常用到的综合性数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的，猜想归纳能培养探索问题的能力，因此需重视本节内容的学习．2．前面已学过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数学归纳法证明不等式，且主要解决的是n是无限的问题，因而难度更大一些．但仔细研究数学归纳法关键是由n＝k到n＝k＋1的过渡，也是学好用数学归纳法证不等式的重中之重问题．1．本节的主要内容是认知如何用数学归纳法证明，含正整数n的不(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等式，因此以上几种方法均要灵活的运用．有个别较复杂的问题，第二个步骤再利用数学归纳法．(2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设当n≤k时成立，再证当n＝k＋1时成立，实质上，这就是第二数学归纳法．(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设的基础上通过人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．2．会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式．1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件1．用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)(n≥1，n∈N﹡)；练习：填空已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2.求证：(1＋x)n＞1＋nx.证明：(1)当n＝________时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，因x2＞0，则原不等式成立．(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫)(2)假设n＝k时(k___________)，不等式成立，即_______________．当n＝k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是2≥2k∈N﹡(1＋x)k＞1＋kx1．用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2；右边＝1＋(k＋1)x.因为________，所以左边＞右边，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x.这就是说，原不等式当n＝k＋1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．2．用数学归纳法证明不等式的关键是：假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这也是学好数学归纳法的重中之重．当然第一步是证明的基础也是不能少的．kx2＞0左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件﹡）.﹡）.人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件﹡).证明：①n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，

即k2＋k＜k＋1，∴k2＋k＜(k＋1)2.

当n＝k＋1时，

(k＋1)2＋(k＋1)＝(k2＋k)＋2k＋2，

∴上式＜(k＋1)2＋(2k＋3)＝k2＋4k＋4

＝(k＋2)2＝k＋2＝(k＋1)＋1，

∴当n＝k＋1时，不等式成立．

综合①②可知，对任意正整数原不等式成立．

﹡).证明：①n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；②假跟踪训练分析：在递归步骤中需用到2k＞k2这一步，但这只有当k≥5时，才能成立，故不能只证n＝1，命题成立后，便用归纳推理．证明：(1)验证知n＝1,2,3,4,5时，命题都成立．(2)设n＝k(k≥5)时命题成立，即2k＋2＞2k＞k2，则当n＝k＋1时，2k＋1＋2＞2k＋1＝2·2k＞2·k2＞(k＋1)2，(*)﹡).跟踪训练分析：在递归步骤中需用到2k＞k2这一步，但这只有当故命题成立，因而对一切n∈N*命题成立．其中(*)：当k≥5时2k＞k2，证明如下：(ⅰ)当k＝5时，25＞52显然成立；(ⅱ)设k＝i(i＞5)时，2i＞i2成立，则当k＝i＋1时，2i＋1－(i＋1)2＝2·2i－i2－2i－1＝2(2i－i2)＋(i2－2i＋1)－2＝2(2i－i2)＋(i－1)2－2，∵2i＞i2，i＞5，∴(i－1)2－2＞0，故2i＋1＞(i＋1)2，∴对一切k≥5有2k＞k2.故命题成立，因而对一切n∈N*命题成立．人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件*,*)时*,*)时*,*,跟踪训练已知a≥2，不等式logax＋loga[(a＋1)ak－1－x]≥2k－1的解集为A，其中a∈N*，k∈N.(1)求A.(2)设f(k)表示A中自然数个数，求和Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)．(3)当a＝2时，比较Sn与n2＋n的大小，并证明你的结论．跟踪训练已知a≥2，不等式logax＋loga[(a＋1)a人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件*),*),人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件一层练习1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(

)A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2kD一层练习1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2CCCC4．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n与n2的大小并猜想(

)A．n≥1时，2n＞n2

B．n≥3时，2n＞n2C．n≥4时，2n＞n2D．n≥5时，2n＞n2D4．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n与n2的大小并猜二层练习5二层练习57.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对于一切n∈N*都成立，则a=______,b=_____,c=______.答案：7.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=*).*)时*).*)时*成立*成立三层练习三层练习人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式课件解析：(1)由a1＝2，得a2＝3，a3＝4，a4＝5，猜想an＝n＋1.(2)①当n＝1时，a1＝3≥1＋2，不等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即ak≥k＋2，当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3.即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立．∴an≥n＋2对于