中考数学一轮复习全攻略第4单元三角形新课标人教版市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

1第四单元三角形第16课时几何初步及平行线、相交线第17课时三角形第18课时全等三角形第19课时特殊三角形第20课时相同三角形及其应用第21课时

解直角三角形2第四单元三角形3第16课时几何初步及平行线、相交线回归教材回归教材考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究4第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点聚焦考点聚焦归类探究考点1三种基本图形——直线、射线、线段直线公理经过两点有且只有________条直线线段公理两点之间，________最短两点间距离连接两点间线段________，叫做这两点间距离一线段长度5考点2角角概念定义1有公共端点两条射线组成图形叫做角．这个公共端点叫做角顶点，这两条射线叫做角两边定义2一条射线绕着它端点旋转而形成图形叫做角角分类角按照大小能够分为平角、周角、________、钝角、________角大小比较(1)度量法；(2)叠正当角度量单位及换算1°＝60′，1′＝60″角平分线从一个角顶点引出一条射线，把这个角分成相等两个角，这条射线叫做这个角平分线第16课时┃几何初步及平行线、相交线锐角直角考点聚焦归类探究6考点3几何计数1数直线条数过任意三个不在同一直线上n个点中两个点能够画______________条直线2数线段条数线段上共有n个点(包含两个端点)时，共有线段_________________条3数角个数从一点出发n条射线可组成__________个角4数直线交点个数n条直线最多有______________个交点5数直线分平面份数平面内有n条直线，最多能够把平面分成______________部分第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点聚焦归类探究7考点4互为余角、互为补角互为余角定义假如两个角和等于90°，则这两个角互余性质同角(或等角)余角________互为补角定义假如两个角和等于180°，则这两个角互补性质同角(或等角)补角________拓展一个角补角比这个角余角大90°第16课时┃几何初步及平行线、相交线相等相等考点聚焦归类探究8考点5邻补角、对顶角邻补角定义若两角有一条公共边，它们另一边互为反向延长线，含有这种关系两个角，互为邻补角对顶角定义若两角有一个公共顶点，且两角两边互为反向延长线，含有这种位置关系两个角，互为对顶角性质对顶角相等第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点聚焦归类探究9考点6

“三线八角”概念同位角假如两个角在截线l同侧，且在被截直线a，b同一方向叫做同位角(位置相同)．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角内错角假如两个角在截线l两旁(交织)，在被截直线a，b之间叫做内错角(位置在内且交织)．∠2和∠8，∠3和∠5是内错角同旁内角假如两个角在截线l同侧，在被截直线a，b之间叫做同旁内角．∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点聚焦归类探究10考点7平行平行线定义在同一平面内，______两条直线叫做平行线平行公理经过直线外一点，有且只有____条直线与这条直线______平行公理推论假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互________第16课时┃几何初步及平行线、相交线不相交一平行平行考点聚焦归类探究11平行线判定同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行平行线性质两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点聚焦归类探究12垂直假如两条直线相交成________，那么这两条直线相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线垂线，相互垂直两条直线交点叫做________垂直性质在同一平面内，过一点有且只有________条直线与已知直线垂直第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点8垂直直角垂足一考点聚焦归类探究13垂线段定义从直线外一点引一条直线垂线，这点和垂足之间线段叫做________性质垂线段________点到直线距离直线外一点到这条直线________长度，叫做点到直线距离第16课时┃几何初步及平行线、相交线垂线段最短垂线段考点聚焦归类探究14归类探究探究一线与角概念和基本性质命题角度：1.线段、射线和直线性质及计算；2.角相关性质及计算．第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点聚焦归类探究15例1

[·北京

]如图16－1，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于(

)A．38°

B．104°

C．142°

D．144°图16－1第16课时┃几何初步及平行线、相交线C

解析考点聚焦归类探究16探究二直线位置关系命题角度：1.直线平行与垂直判定及简单应用；2.角度相关计算.例2

[·重庆

]如图16－2，直线a、b、c、d，已知c⊥a，c⊥b，直线b、c、d交于一点，若∠1＝50°，则∠2等于(

)

A．60°

B．50°

C．40°

D．30°图9－1第16课时┃几何初步及平行线、相交线B考点聚焦归类探究17第16课时┃几何初步及平行线、相交线

解析先判断a∥b，再由平行线性质，可得出∠2度数．∵c⊥a，c⊥b，∴a∥b.∴∠1＝∠2＝50°.故选B.考点聚焦归类探究18计算角度问题时，要注意挖掘图形中隐含条件(三角形内角和、互为余角或补角、平行线性质、垂直)及角平分线知识应用．方法点析第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点聚焦归类探究19探究三度、分、秒计算命题角度：1．互为余角计算；2．互为补角计算；3．角度相关计算．例3

(1)

[·湖州

]把15°30′化成度形式，则15°30′＝________度；

(2)

[·义乌

]把角度化为度、分形式，则20.5°＝20°________；

(3)一个角补角是36°5′，则这个角是_________．第16课时┃几何初步及平行线、相交线15.530′143°55′考点聚焦归类探究20第16课时┃几何初步及平行线、相交线

解析(1)依据度、分、秒之间换算关系，进行运算．

(2)注意角度数之间进率是60而不是10，这是轻易犯错地方．

(1)∵30′＝0.5°，∴15°30′＝15.5°.

(2)1°＝60′，可得0.5°＝30′，

20．5°＝20°30′.

(3)180°－36°5′＝143°55′.考点聚焦归类探究21

(1)此题考查了度、分、秒换算，1°＝60′，1′＝60″.

(2)这类题是进行度、分、秒加法、减法计算，相对比较简单．两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分结果若满60，则转化为度；度数乘一个数，则用度、分、秒分别乘这个数，秒结果满60则转化为分，分结果满60则转化为度．方法点析第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点聚焦归类探究22探究四平行线性质和判定应用

命题角度：1.平行线性质；2.平行线判定；3.平行线性质和判定综合应用．例4

如图16－3，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD关系，请你从所得到关系中任选一个加以证实．第16课时┃几何初步及平行线、相交线图16－3考点聚焦归类探究23第16课时┃几何初步及平行线、相交线解：①∠APC

＝∠PAB

＋∠PCD；②∠APC＝360°－(∠PAB

＋∠PCD)；③∠APC＝∠PAB

－∠PCD；④∠APC＝∠PCD－∠PAB.如证实①

∠APC

＝∠PAB

＋∠PCD.证实：过P点作PE∥AB，所以∠A＝∠APE.又因为AB∥CD，所以PE∥CD，所以∠C＝∠CPE，所以∠A＋∠C＝∠APE＋∠CPE，∴∠APC

＝∠PAB

＋∠PCD.同理可证实其它结论．考点聚焦归类探究24方法点析

平行线性质与判定综合利用，是处理与平行线相关问题惯用方法．先由“形”得到“数”，即应用特征得到角相等(或互补)，再利用角之间关系进行计算，得到新关系．然后再由“数”到“形”得到一组新平行．第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点聚焦归类探究25第17课时三角形回归教材回归教材考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究26考点聚焦考点1三角形分类考点聚焦归类探究第17课时┃三角形27考点2三角形中主要线段主要线段交点位置中线三角形三条中线交点在三角形______部角平分线三角形三条角平分线交点在三角形______部高________三角形三条高交点在三角形内部；__________三角形三条高交点是直角顶点；________三角形三条高所在直线交点在三角形外部第17课时┃三角形内内锐角直角钝角考点聚焦归类探究28第17课时┃三角形考点3三角形中位线1．定义：连接三角形两边______线段叫三角形中位线．2．中位线定理：三角形中位线______于第三边，而且等于它

______．考点4三角形三边关系1．定理：三角形两边之和________第三边．2．推理：三角形两边之差________第三边．3．三角形稳定性：三条线段组成三角形后，形状无法改变是稳定性表达．中点平行二分之一大于小于考点聚焦归类探究29第17课时┃三角形考点5三角形内角和定理及推理定理三角形内角和等于________推论1．三角形一个外角等于和它_____________________和2．三角形一个外角大于任何一个和它_________内角3．直角三角形两个锐角________4．三角形外角和为________拓展在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角180°不相邻两个内角不相邻互余360°考点聚焦归类探究30归类探究探究一三角形三边关系命题角度：1.利用三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形；2.利用三角形三边关系求字母取值范围；3.三角形稳定性．例1[·长沙

]现有3cm，4cm，7cm，9cm长四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么能够组成三角形个数是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4第17课时┃三角形B考点聚焦归类探究31第17课时┃三角形

解析四条木棒全部组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．故选B.考点聚焦归类探究32命题角度：1．三角形中线、角平分线、高线；2．三角形中位线．例2

[·昆明

]如图17－1，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C度数为(

)

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°探究二三角形主要线段应用第17课时┃三角形图17－1C考点聚焦归类探究33第17课时┃三角形

解析由题意得，∠AED＝180°－∠A－∠ADE＝70°.∵点D，E分别是AB，AC中点，∴DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝70°.考点聚焦归类探究34探究三三角形内角与外角应用命题角度：1.三角形内角和定理；2.三角形内角和定理推论．例3

[·梧州

]如图17－2，AE是△ABC角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE度数是(

)

A．10°

B．12°

C．15°

D．18°第17课时┃三角形A

考点聚焦归类探究35第17课时┃三角形图17－2

解析考点聚焦归类探究36方法点析综合利用三角形内角和定理与外角性质、角平分线性质，灵活地利用这些基础知识，合理地推理，能够灵活处理内外角关系．得到结论．第17课时┃三角形考点聚焦归类探究37第18课时全等三角形回归教材回归教材考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究38考点聚焦考点1全等图形及全等三角形考点聚焦归类探究回归教材第18课时┃全等三角形1．全等图形：能够完全重合两个图形就是_________．2．全等三角形：能够完全重合两个三角形就是全等三角形．全等图形39第18课时┃全等三角形考点2全等三角形性质性质1全等三角形对应边________性质2全等三角形对应角________性质3全等三角形对应边上高________性质4全等三角形对应边上中线________性质5全等三角形对应角平分线________相等相等相等相等相等考点聚焦归类探究回归教材40第18课时┃全等三角形考点3全等三角形判定对应相等元素三角形是否全等普通三角形两边一角两边及其夹角一定(SAS)两边及其中一边对角不一定两角一边两角及其夹边一定(ASA)两角及其中一角对边一定(AAS)三角不一定三边一定(SSS)考点聚焦归类探究回归教材41第18课时┃全等三角形直角三角形斜边、直角边一定(HL)总结判定三角形全等，不论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等常见结论(1)有两边和其中一边上中线对应相等两个三角形全等；(2)有两边和第三边上中线对应相等两个三角形全等；考点聚焦归类探究回归教材42第18课时┃全等三角形(3)有两角和其中一角平分线对应相等两个三角形全等；(4)有两角和第三个角平分线对应相等两个三角形全等；(5)有两边和其中一边上高对应相等锐角(或钝角)三角形全等；(6)有两边和第三边上高对应相等锐角(或钝角)三角形全等考点聚焦归类探究回归教材43第18课时┃全等三角形考点4利用“尺规”作三角形类型1已知三角形三边，求作三角形2已知三角形两边及其夹角，求作三角形3已知三角形两角及其夹边，求作三角形4已知三角形两角及其中一角对边，求作三角形5已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形考点聚焦归类探究回归教材44第18课时┃全等三角形考点5角平分线性质性质

角平分线上点到角两边______相等判定

角内部到角两边距离相等点在这个角______上距离平分线考点聚焦归类探究回归教材45归类探究探究一全等三角形性质与判定综合应用命题角度：1.利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等；2.利用全等三角形性质处理线段或角之间关系与计算问题．例1

[·北京

]如图18－1，已知D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求证：BC＝AE.第18课时┃全等三角形考点聚焦归类探究回归教材46图18－1第18课时┃全等三角形

解析依据两直线平行，内错角相等求出∠CAB＝∠ADE，然后利用“角边角”证实△ABC和△DAE全等，再依据全等三角形对应边相等证实即可．

考点聚焦归类探究回归教材47第18课时┃全等三角形证实：∵DE∥AB，∴∠CAB＝∠ADE.在△ABC与△DAE中，∴△BAC≌△ADE(ASA)．∴BC＝AE.考点聚焦归类探究回归教材48方法点析

1．处理全等三角形问题普通思绪：①先用全等三角形性质及其它知识，寻求判定一对三角形全等条件；②再用已判定全等三角形性质去处理其它问题．即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、对应线段或角关系；

2．轴对称、平移、旋转前后两个图形全等；

3．利用全等三角形性质求角度数时注意挖掘条件，比如对顶角相等、互余、互补等．第18课时┃全等三角形考点聚焦归类探究回归教材49第18课时┃全等三角形探究二全等三角形开放性问题命题角度：1.三角形全等条件开放性问题；2.三角形全等结论开放性问题．例2

[·义乌

]如图18－2，在△ABC中，点D是BC中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证实．你添加条件是________．(不添加辅助线)考点聚焦归类探究回归教材50第18课时┃全等三角形图18－2

解析由已知可证∠EDC＝∠BDF，又DC＝DB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，而且一定有一组对应边相等．故添加条件是：DE＝DF或(CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB)．考点聚焦归类探究回归教材51第18课时┃全等三角形解：添加条件是：DE＝DF(或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB等)．证实：在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE.考点聚焦归类探究回归教材52方法点析全等三角形开放试题，常见类型有条件开放型、结论开放型及策略开放型三种．注意挖掘题目中隐含条件，比如公共边、公共角、对顶角等．探究三利用全等三角形设计测量方案命题角度：利用全等三角形性质与判定处理实际问题．第18课时┃全等三角形考点聚焦归类探究回归教材53第18课时┃全等三角形例3

[·柳州

]如图18－3，小强利用全等三角形知识测量池塘两端M、N距离，假如△PQO≌△NMO，则只需测出其长度线段是(

)

A．PO

B．PQ

C．MO

D．MQ图18－3B

解析要想利用△PQO≌△NMO求得MN长，只需求得线段PQ长．故选B.考点聚焦归类探究回归教材54第18课时┃全等三角形探究四角平分线命题角度：1．角平分线性质；2．角平分线判定．例4

[·湘西州

]

如图18－4，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE长；(2)求△ADE面积．图18－4

解析(1)依据角平分线性质得出CD＝DE，代入求出即可；(2)证Rt△ACD≌Rt△AED，得出S△ACD＝S△AED，求出△ACD面积即可．考点聚焦归类探究回归教材55第18课时┃全等三角形考点聚焦归类探究回归教材56全等三角形一题多考教材母题

如图18－5，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD.求证：AB＝DE，AC＝DF.回归教材第18课时┃全等三角形图18－5考点聚焦归类探究回归教材57证明∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF.∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.∵BF＝CE，∴BC＝EF.∴△ABC≌△DEF.∴AB＝DE，AC＝DF.

第18课时┃全等三角形

[点析](1)证实两条线段相等，可证它们所在两个三角形全等；(2)由两直线平行可得同位角或者内错角相等；(3)普通要完成证实三角形全等，必须用SAS，ASA，AAS，SSS等．考点聚焦归类探究回归教材58中考预测

1．如图18－6，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加条件能够是___________________________________．(只需写一个，不添加辅助线)图18－6第18课时┃全等三角形∠A＝∠D或AC＝DF或AB∥DE等考点聚焦归类探究回归教材59第18课时┃全等三角形

2．如图18－7，点B、D、C、F在一条直线上，且BC＝FD，AB＝EF.

(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使△ABC≌△EFD，你添加条件是________________________________；

(2)添加了条件后，证实△ABC≌△EFD.图18－7∠B＝∠F或AB∥EF或AC＝ED考点聚焦归类探究回归教材60第18课时┃全等三角形解：(2)添加条件：∠B＝∠F.证实：在△ABC和△EFD中，∴△ABC≌△EFD(SAS)．考点聚焦归类探究回归教材第19课时特殊三角形6162等腰三角形回归教材回归教材考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究63考点聚焦考点1等腰三角形概念与性质考点聚焦归类探究回归教材第19课时┃反百分比函数定义有____相等三角形是等腰三角形．相等两边叫腰，第三边为底性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴定理1等腰三角形两个底角相等(简称为：________________)定理2等腰三角形顶角平分线、底边上________和底边上高相互重合，简称“三线合一”两边1等边对等角中线64第19课时┃反百分比函数拓展

(1)等腰三角形两腰上高相等(2)等腰三角形两腰上中线相等(3)等腰三角形两底角平分线相等(4)等腰三角形一腰上高与底边夹角等于顶角二分之一(5)等腰三角形顶角外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上高考点聚焦归类探究回归教材65第19课时┃反百分比函数考点2等腰三角形判定定理假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所正确边也相等(简写成：____________)拓展(1)一边上高与这边上中线重合三角形是等腰三角形(2)一边上高与这边所正确角平分线重合三角形是等腰三角形(3)一边上中线与这边所正确角平分线重合三角形是等腰三角形等角对等边考点聚焦归类探究回归教材66考点3等边三角形第19课时┃反百分比函数定义

三边相等三角形是等边三角形性质

等边三角形各角都______，而且每一个角都等于______等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴

判定(1)三个角都相等三角形是等边三角形(2)有一个角等于60°等腰三角形是等边三角形相等60°3考点聚焦归类探究回归教材67考点4线段垂直平分线第19课时┃反百分比函数定义

经过线段中点且与这条线段垂直直线叫做这条线段垂直平分线性质

线段垂直平分线上点与这条线段两个端点距离________判定

与一条线段两个端点距离相等点，在这条线段___________上实质组成线段垂直平分线能够看作到线段两个端点___________全部点集合相等垂直平分线距离相等考点聚焦归类探究回归教材68归类探究探究一等腰三角形性质利用命题角度：1.等腰三角形性质；2.等腰三角形“三线合一”性质．例1

[·温州

]如图19－1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上中线，∠ABC平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.求证：EF＝ED.第19课时┃反百分比函数考点聚焦归类探究回归教材69第19课时┃反百分比函数图19－1

解析依据等腰三角形三线合一，确定AD⊥BC.又因为EF⊥AB，然后依据角平分线上点到角两边距离相等可证实结论．证实：∵AB＝AC，AD是BC边上中线，∴AD⊥BC.∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.考点聚焦归类探究回归教材70方法点析

(1)等腰三角形性质揭示了三角形中边与角转化关系，由两边相等转化为两角相等，是证实两角相等惯用方法；

(2)等腰三角形“三线合一”是证实两条线段相等、两个角相等以及两条直线相互垂直主要依据．第19课时┃反百分比函数考点聚焦归类探究回归教材71探究二等腰三角形判定命题角度：等腰三角形判定．例2

[·扬州

]已知：如图19－2，锐角△ABC两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC平分线上，并说明理由．第19课时┃反百分比函数图19－2考点聚焦归类探究回归教材72第19课时┃反百分比函数

解析(1)利用△BDC≌△CEB

证实∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，经过HL证实△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上点到角两边距离相等，证实结论．解：(1)证实：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．∴∠EBC＝∠DCB,∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．考点聚焦归类探究回归教材73第19课时┃反百分比函数(2)点O在∠BAC平分线上．理由以下：连接AO.∵△BDC≌△CEB，∴DB＝EC.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO.∴点O是在∠BAC平分线上．考点聚焦归类探究回归教材74方法点析要证实一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等方法主要有：(1)经过等角对等边得两边相等；(2)经过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线性质得两边相等．第19课时┃反百分比函数考点聚焦归类探究回归教材75探究三等腰三角形多解问题命题角度：1．碰到等腰三角形问题时，注意边有腰与底边之分，角有底角和顶角之分；2．碰到等腰三角形高线问题要考虑高在形内和形外两种情况．例3

[·毕节

]已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形周长为(

)

A．16

B．20或16

C．20

D．12第19课时┃反百分比函数C考点聚焦归类探究回归教材76第19课时┃反百分比函数

解析因为已知长度为4和8两边，没有明确哪条边是底边哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．①当4为底时，其它两边长都为8，长为4、8、8三条线段能够组成三角形，周长为20；②当4为腰时，其它两边长分别为4和8，∵4＋4＝8，∴不能组成三角形，故舍去．∴答案只有20.

[点析]因为等腰三角形边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形高线要考虑高在形内和形外两种情况，故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能防止漏解情况．考点聚焦归类探究回归教材77探究四等边三角形判定与性质命题角度：等边三角形判定与性质综合．例4

如图19－3，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P.

(1)求证：∠ABE＝∠CAD；

(2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.第19课时┃反百分比函数图19－3考点聚焦归类探究回归教材78第19课时┃反百分比函数

解析(1)欲证∠ABE＝∠CAD，能够经过证实△ABE≌△CAD得出；

(2)欲证PB＝2PH，因为BH⊥AD于点H，在Rt△PBH中依据含30°直角三角形性质由∠BPH＝60°即可得到答案．证实：(1)∵等边△ABC，∴AC＝AB，∠C＝∠CAB.∵CD＝AE，∴△CAD≌△ABE.∴∠CAD＝∠ABE.(2)∵∠BPH＝∠BAD＋∠ABP＝∠BAD＋∠CAD＝60°，且BH⊥AD于点H，∴∠EBH＝30°.∴在Rt△PBH中，PB＝2PH.考点聚焦归类探究回归教材79方法点析等边三角形中隐含着三边相等和三个角都是60°等条件，所以要充分利用这些隐含条件，证实全等或者结构全等．第19课时┃反百分比函数考点聚焦归类探究回归教材80探究五等腰三角形创新应用命题角度：等腰三角形性质“等边对等角”与“等腰三角形三线合一”利用．例5

如图19－4，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点A坐标是(1，0)，点B、C在y轴上，在x轴上是否存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形？假如存在，请写出点P坐标；假如不存在，请说明理由．第19课时┃反百分比函数考点聚焦归类探究回归教材81图19－4第19课时┃反百分比函数

解析先由等腰三角形三线合一性质得出OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝60°，再取∠BPA＝BAP＝60°，所以PB＝AB＝PC＝AC，从而依据等腰三角形定义得出△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．解：在x轴上存在点P(－1，0)，P(3，0)使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．理由以下：①∵AB＝AC＝2，AO⊥BC，∠BAC＝120°，∴OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，考点聚焦归类探究回归教材82第19课时┃反百分比函数∴取A(1，0)关于y轴对称点P(－1，0)，则PB＝AB，PC＝AC，∠BPA＝∠BAP＝60°，∴PB＝AB＝PC＝AC，∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．②∵P(3，0)，A(1，0)，∴BA＝AP＝AC＝2.又∵∠BAP＝∠CAP，∴△BAP≌△CAP.∴BP＝CP.∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．考点聚焦归类探究回归教材83等腰三角形中角度计算教材母题

回归教材第19课时┃反百分比函数如图19－5，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°.求∠B与∠C度数．

解析由题意，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，依据等腰三角形性质能够求出底角，再依据三角形内角与外角关系即可求出内角∠C.图19－5考点聚焦归类探究回归教材84第19课时┃反百分比函数解

[点析](1)利用三角形内角和定理求角度数是一个惯用方法；

(2)碰到等腰三角形问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；

(3)碰到高线问题要考虑高在形内和形外两种情况．考点聚焦归类探究回归教材85中考预测第19课时┃反百分比函数等腰三角形一个角是80°，则它顶角度数是(

)

A．80°

B．80°或20°

C．80°或50°

D．20°B考点聚焦归类探究回归教材86直角三角形与勾股定理回归教材回归教材考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究87考点聚焦考点1直角三角形概念、性质与判定考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃直角三角形与勾股定理

定义

有一个角是________三角形叫做直角三角形性质

(1)直角三角形两个锐角互余(2)在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所正确直角边等于_____________(3)在直角三角形中，斜边上中线等于______________直角斜边二分之一斜边二分之一88第20课时┃直角三角形与勾股定理

拓展

(2)一边上中线等于这边二分之一三角形是直角三角形

(1)两个内角互余三角形是直角三角形

判定

考点聚焦归类探究回归教材89第20课时┃直角三角形与勾股定理

考点2勾股定理及逆定理勾股定理

假如直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2勾股定理逆定理逆定理

假如三角形三边长a、b、c满足：__________，那么这个三角形是直角三角形勾股数

用途

(1)判断一个三角形是否为直角三角形；(2)证实两条线段垂直；(3)处理生活实际问题能够成为直角三角形三条边长三个正整数，称为勾股数a2＋b2＝c2考点聚焦归类探究回归教材90第20课时┃直角三角形与勾股定理

考点3互逆命题、互逆定理及其关系互逆命题假如两个命题题设和结论恰好相反，我们把这么两个命题叫做互逆命题，假如我们把其中一个叫做______，那么另一个叫做它______互逆定理若一个定理逆命题是正确，那么它就是这个定理________，称这两个定理为互逆定理原命题逆命题逆定理考点聚焦归类探究回归教材91考点4命题、定义、定理、公理第20课时┃直角三角形与勾股定理

定义

在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语含义加以描述，作出明确要求，也就是给它们下定义命题

定义

判断一件事情句子叫做命题分类正确命题称为________错误命题称为________组成每个命题都由______和______两个部分组成

真命题假命题条件结论考点聚焦归类探究回归教材92第20课时┃直角三角形与勾股定理

公理

公认真命题称为________定理

除公理以外，其它真命题正确性都需要经过推理方法证实，推理过程称为________．经过证实真命题称为________公理证实定理考点聚焦归类探究回归教材93归类探究探究一直角三角形性质命题角度：1．直角三角形两锐角互余；2．直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一．第20课时┃直角三角形与勾股定理

例1

[·鄂州

]著名画家达·芬奇不但画艺超群，同时还是一个数学家、创造家．他曾经设计过一个圆规如图20－1所表示，有两个相互垂直滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性木棒两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处小孔中，伴随木棒滑动就能够画出一个圆来．若AB＝20cm，则画出圆半径为________cm.10考点聚焦归类探究回归教材94第20课时┃直角三角形与勾股定理

图20－1

解析连接OP，依据直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一可得OP长，画出圆半径就是OP长．连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB中点，∴OP＝AB.∵AB＝20cm，∴OP＝10cm.考点聚焦归类探究回归教材95探究二利用勾股定理求线段长度命题角度：1.利用勾股定理求线段长度；2.利用勾股定了解决折叠问题．第20课时┃直角三角形与勾股定理

例2

[·衢州

]如图20－2，将一个有45°角三角板直角顶点放在一张宽为3cm矩形纸带边缘上，另一个顶点在纸带另一边缘上，测得三角板一边与纸带一边所在直线成30°角，则三角板最大边长为(

)

D考点聚焦归类探究回归教材96第20课时┃直角三角形与勾股定理

图20－2

解析考点聚焦归类探究回归教材97方法点析第20课时┃直角三角形与勾股定理

勾股定理作用：(1)已知直角三角形两边求第三边；(2)已知直角三角形一边求另两边关系；(3)用于证实平方关系问题．考点聚焦归类探究回归教材98探究三利用勾股定了解决生活中实际问题命题角度：1.求最短路线问题；2.求相关长度问题．例3

[·安顺

]如图20－3，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树树梢飞到另一棵树树梢，问小鸟最少飞行(

)

A．8米B．10米

C．12米D．14米第20课时┃直角三角形与勾股定理

图20－3B考点聚焦归类探究回归教材99第20课时┃直角三角形与勾股定理

解析考点聚焦归类探究回归教材100方法点析用勾股定理能够帮助我们处理生活中许多实际问题，其关键是把实际问题转化到一个对应数学模型中，即将实际问题转化到直角三角形中，再利用勾股定理来处理．第20课时┃直角三角形与勾股定理

考点聚焦归类探究回归教材101探究四勾股定理逆定理应用命题角度：勾股定理逆定理应用．第20课时┃直角三角形与勾股定理

例4

[·广西]D考点聚焦归类探究回归教材102第20课时┃直角三角形与勾股定理

解析考点聚焦归类探究回归教材103方法点析判断三个正数能否成为直角三角形三边长，判断主要方法是：判断两个较小数平方和是否等于最大数平方即可判断．第20课时┃直角三角形与勾股定理

考点聚焦归类探究回归教材104勾股定理与面积问题教材母题

回归教材如图20－4，∠C＝90°，图中有阴影三个半圆面积有什么关系？第20课时┃直角三角形与勾股定理

图20－4考点聚焦归类探究回归教材105第20课时┃直角三角形与勾股定理

解

[点析]

若将半圆换成正三角形、正方形或任意相同形，S1＋S2＝S3仍成立．考点聚焦归类探究回归教材106中考预测

1．如图20－5是一株漂亮勾股树，其中全部四边形都是正方形，全部三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D面积分别为2，5，1，2.则最大正方形E面积是________．第20课时┃直角三角形与勾股定理

图20－510考点聚焦归类探究回归教材107第20课时┃直角三角形与勾股定理

2．勾股定理揭示了直角三角形三边之间关系，其中蕴含着丰富科学知识和人文价值．图20－6是一棵由正方形和含30°角直角三角形按一定规律长成勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形面积之和为Sn.设第一个正方形边长为1.请解答以下问题：(1)S1＝________；

(2)经过探究，用含n代数式表示Sn，则Sn＝_______________________.图20－6考点聚焦归类探究回归教材108第20课时相同三角形及其应用回归教材回归教材考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究109考点聚焦考点1相同图形相关概念考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相同三角形及其应用相同图形形状相同图形叫做相同图形相同多边形定义

假如两个多边形满足对应角相等，对应边比相等，那么这两个多边形相同相同比相同多边形对应边比称为相同比(普通用k表示)相同三角形两个三角形对应角相等，对应边成百分比，则这两个三角形相同．当相同比k＝1时，两个三角形全等110考点2

百分比线段第21课时┃相同三角形及其应用定义

防错提醒

百分比线段对于四条线段a，b，c，d，假如________(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段叫做成百分比线段，简称百分比线段求两条线段比时，对这两条线段要用同一长度单位考点聚焦归类探究回归教材111第21课时┃相同三角形及其应用一条线段黄金分割点有______个

黄金分割

0.618两考点聚焦归类探究回归教材112考点3平行线分线段成百分比定理

1．定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段比________．

2．推论：平行于三角形一边直线截其它两边(或两边延长线)，所得对应线段比________．第21课时┃相同三角形及其应用相等相等考点聚焦归类探究回归教材113第21课时┃相同三角形及其应用考点4相同三角形判定判定定理1

平行于三角形一边直线和其它两边相交，所组成三角形与原三角形________判定定理2

假如两个三角形三组对应边________相等，那么这两个三角形相同判定定理3

假如两个三角形两组对应边比相等，而且对应____________相等，那么这两个三角形相同判定定理4

假如一个三角形两个角与另一个三角形两个角对应________，那么这两个三角形相同拓展

直角三角形被斜边上高分成两个直角三角形与原直角三角形相同相同比夹角相等考点聚焦归类探究回归教材114第21课时┃相同三角形及其应用考点5相同三角形性质三角形

(1)相同三角形周长比等于相同比(2)相同三角形面积比等于相同比平方(3)相同三角形对应高、对应角平分线、对应中线比等于相同比相同多边形(1)相同多边形周长比等于相同比(2)相同多边形面积比等于相同比平方考点聚焦归类探究回归教材115第21课时┃相同三角形及其应用考点6位似位似图形定义

两个多边形不但相同，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边相互平行，像这么两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心位似与相似关系位似是一个特殊相同，组成位似两个图形不但相似，而且对应点连线相交于一点，对应边相互平行位似图形性质(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心距离比等于________；(2)位似图形对应点连线或延长线相交于________点；(3)位似图形对应边______(或在一条直线上)；(4)位似图形对应角相等相同比一平行考点聚焦归类探究回归教材116第21课时┃相同三角形及其应用以坐标原点为中心位似变换在平面直角坐标系中，假如位似是以原点为位似中心，相同比为k，那么位似图形对应点坐标比等于________位似作图形

(1)确定位似中心O；(2)连接图形各顶点与位似中心O线段(或延长线)；(3)按摄影同比取点；(4)顺次连接各点，所得图形就是所求图形k或－k

考点聚焦归类探究回归教材117第21课时┃相同三角形及其应用考点7相同三角形应用几何图形证实与计算常见问题证实线段数量关系，求线段长度，图形面积等相同三角形在实际生活中应用建模思想建立相同三角形模型常见题目类型(1)利用投影、平行线、标杆等结构相同三角形求解；(2)计算从底部能直接测量物体高度；(3)计算从底部不能直接测量物体高度；(4)计算不能直接测量河宽度考点聚焦归类探究回归教材118归类探究探究一百分比线段命题角度：1.百分比线段；2.黄金分割在实际生活中应用；3.平行线分线段成百分比定理．第21课时┃相同三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材119例1

[·上海]如图21－1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(

)

A．5∶8

B．3∶8

C．3∶5

D．2∶5第21课时┃相同三角形及其应用图21－1A考点聚焦归类探究回归教材120第21课时┃相同三角形及其应用

解析先由AD∶DB＝3∶5，求得BD∶AB长，再由DE∥BC，依据平行线分线段成百分比定理，可得CE∶AC＝BD∶AB，然后由EF∥AB，依据平行线分线段成百分比定理，可得CF∶CB＝CE∶AC，则可求得答案．详细解题过程以下：∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.故选A.

考点聚焦归类探究回归教材121探究二相同三角形性质及其应用命题角度：1.利用相同三角形性质求角度数或线段长度；2.利用相同三角形性质探求比值关系．例2

如图21－2，△ABC是一张锐角三角形硬纸片，AD是边BC上高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE2倍矩形EFGH，使它一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG交点为M.第21课时┃相同三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材122第21课时┃相同三角形及其应用图21－2

解析

(1)证实△AHG∽△ABC，依据相同三角形对应高比等于相同比，证实结论．

(2)设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中结论求解．考点聚焦归类探究回归教材123第21课时┃相同三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材124第21课时┃相同三角形及其应用变式题如图21－3，一个人拿着一把刻有厘米刻度小尺，站在离电线杆约20m地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长约40cm，你能依据以上数据求出电线杆高度吗？

图21－3

解析利用是相同三角形对应高比等于相同比，来求出电线杆高度，注意单位转化．考点聚焦归类探究回归教材125第21课时┃相同三角形及其应用解：依据题意，得△AOB∽△DOC，所以CD∶AB＝20∶0.4，即CD∶0.12＝20∶0.4，解得CD＝6m.故电线杆高度为6m.考点聚焦归类探究回归教材126探究三三角形相同判定方法及其应用命题角度：1．利用两个角判定三角形相同；2．利用两边及夹角判定三角形相同；3．利用三边判定三角形相同.第21课时┃相同三角形及其应用例3

[·巴中

]考点聚焦归类探究回归教材127第21课时┃相同三角形及其应用图21－4解：(1)证实：在ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C.在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC.考点聚焦归类探究回归教材128第21课时┃相同三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材129方法点析判定两个三角形相同常规思绪：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等角两夹边是否对应成百分比；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成百分比，不然可考虑平行线分线段成百分比定理及相同三角形“传递性”．第21课时┃相同三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材130探究四位似命题角度：1.位似图形及位似中心定义；2.位似图形性质应用；3.利用位似变换在网格纸里作图．第21课时┃相同三角形及其应用例4

[·孝感

]D考点聚焦归类探究回归教材131方法点析利用位似将图形放大或缩小作图步骤：第一步：在原图上选取关键点若干个，并在原图外任取一点P；第二步：以点P为端点向各关键点作射线；第三步：分别在射线上取关键点对应点，满足放缩百分比；第四步：顺次连接截取点．即可得到符合要求新图形．第21课时┃相同三角形及其应用

解析依据题意画出对应图形，找出点E对应点E′坐标即可．考点聚焦归类探究回归教材132探究五相同三角形与圆命题角度：1.圆中相同计算；2.圆中相同证实．第21课时┃相同三角形及其应用例5

[·黄冈]如图21－5，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，AD和过C点直线相互垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB.

(1)求证：DC为⊙O切线；

(2)若⊙O半径为3，AD＝4，求AC长．图21－5考点聚焦归类探究回归教材133第21课时┃相同三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材134“直角三角形斜边上高”模型作用教材母题

回归教材如图21－6，Rt△ABC中，CD是斜边上高，△ACD和△CBD都和△ABC相同吗？证实你结论．图20－4第21课时┃相同三角形及其应用解相同．证实：∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠A＝∠BCD.又∵∠ACB＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△CBD.∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC，∴△ABC∽△ACD.

考点聚焦归类探究回归教材135中考预测图21－7第21课时┃相同三角形及其应用①②④考点聚焦归类探究回归教材136图21－8第21课时┃相同三角形及其应用如图21－8，小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树高度AB，他调整自己位置，设法使斜边DF保持水平，而且边DE与点B在同一直线上，已知纸板两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m.5.5考点聚焦归类探究回归教材137第21课时┃相同三角形及其应用

解析考点聚焦归类探究回归教材第21课时

解直角三角形138139锐角三角函数回归教材回归教材考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究140考点聚焦考点1锐角三角函数定义考点聚焦归类探究回归教材在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b第22课时┃锐角三角函数141第22课时┃锐角三角函数tanA＝＝________它们统称为∠A锐角三角函数

∠A正切

∠A余弦

∠A正弦

考点聚焦归类探究回归教材142考点2特殊角三角函数值第22课时┃锐角三角函数α

sinα

cosα

tanα

30°

45°

60°

1考点聚焦归类探究回归教材143考点3解直角三角形第22课时┃锐角三角函数解直角三角形定义在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外已知元素，求出其余未知元素过程，叫做解直角三角形解直角三角形惯用关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所正确边分别为a，b，c，则：(1)三边关系：a2＋b2＝________；(2)两锐角之间关系：∠A＋∠B＝________；(3)边与角之间关系：sinA＝cosB＝________，cosA＝sinB＝________，tanA＝________；(4)sin2A＋cos2A＝1c290°考点聚焦归类探究回归教材144第22课时┃锐角三角函数解直角三角形题目类型(1)已知斜边和一个锐角；(2)已知一直角边和一个锐角；(3)已知斜边和一直角边；(4)已知两条直角边

考点聚焦归类探究回归教材145归类探究探究一求三角函数值命题角度：1.正弦值计算；2.余弦值计算；3.正切值计算．第22课时┃锐角三角函数例1

[·杭州]②③④考点聚焦归类探究回归教材146探究二特殊锐角三角函数值应用命题角度：1.30°、45°、60°三角函数值；2.已知特殊三角函数值，求角度．第22课时┃锐角三角函数例2

[·孝感]B考点聚焦归类探究回归教材147第22课时┃锐角三角函数

解析考点聚焦归类探究回归教材148探究三解直角三角形命题角度：1.利用三角函数解直角三角形；2.将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形．第22课时┃锐角三角函数例3

[·常德

]图22－1考点聚焦归类探究回归教材149第22课时┃锐角三角函数考点聚焦归类探究回归教材150方法点析利用三角形高，将非直角三角形转化为直角三角形，是解直角三角形惯用方法．第22课时┃锐角三角函数考点聚焦归类探究回归教材151巧设比值求三角函数值教材母题

回归教材第22课时┃锐角三角函数图22－2

解

考点聚焦归类探究回归教材152第22课时┃锐角三角函数

[点析]已知一个三角函数值求其它三角函数值，经过巧设参数，把已知三角函数值，转化为三角形两边，进而利用勾股定理求出第三边，利用三角函数定义求出所求函数值．考点聚焦归类探究回归教材153中考预测第22课时┃锐角三角函数D

解析考点聚焦归类探究回归教材154解直角三角形应用回归教材回归教材考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究155考点聚焦考点