苏科版九年级数学下册《第七章锐角三角函数》单元测试卷-附答案

苏科版九年级数学下册第七章锐角三角函数单元测试卷一、单选题（共10题；共29分）1.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA=1，sinB=22A.

等腰三角形

B.

等腰直角三角形

C.

直角三角形

D.

锐角三角形B【考点】三角形内角和定理，特殊角的三角函数值解：由题意得：∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°．故B．

【分析】由特殊角的锐角三角函数值可得∠A=45°，∠B=45°，再由三角形内角和定理可得∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°。2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB=ACAB=（

）

A.

35

B.

45

C.

37

D.

3A【考点】锐角三角函数的定义解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，

∴AB=5，

∴sinB=ACAB=35，

故A．3.游客上歌乐山山有两种方式：一种是如图，先从A沿登山步道走到B，再沿索道乘座缆车到C，另一种是沿着盘山公路开车上山到C，已知在A处观铡到C，得仰角∠CAD=3l°，且A、B的水平距离AE=430米，A、B的竖直距离BE=210米，索道BC的坡度i=1：1.5，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F，则山篙CD为（

）米；（参考数据：tan31°≈0.6．cos3l°≈0.9）A.

680

B.

690

C.

686

D.

693B【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题解：∵索道BC的坡度i=1：1.5，∴CF：BF=1：1.5，

设CF=x，则BF=1.5x，

∵∠CAD=3l°，且A、B的水平距离AE=430米，A、B的竖直距离BE=210米，

∴tan∠CAD=CDAD=x+210430+1.5x，

∵tan31°≈0.6，

∴x+210430+1.5x4.若α是锐角，tanα•tan50°=1，则α的值为（

）A.

20°

B.

30°

C.

40°

D.

50°C【考点】互余两角三角函数的关系解：∵tanα•tan50°=1∴α+50°=90°

∴α=40°．

故选C．

【分析】互为余角的两个角的正切值互为倒数．5.某地区准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为45，则坡面AC的长度为（）

A.

8

B.

9

C.

10

D.

12C【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题【分析】在Rt△ABC中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边AC的长度．由在Rt△ABC中，cos∠ACB=BCAC=45，

设BC=4x，AC=5x，

则AB=3x，

则sin∠ACB=ABAC=36.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M，N分别在AB，AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则sin∠MCN=（

）A.

3313

B.

3314

C.

35

D.

B【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，

连接MN，连接AC，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°

在Rt△ABC与Rt△ADC中，

{AB=ADAC=AC，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），

∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=30°，MC=NC，

∴BC=12AC，

∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，

3BC2=AB2，

∴BC=23，

在Rt△BMC中，CM=BM2+BC2=27，

∵AN=AM，∠MAN=60°，

∴△MAN是等边三角形，

∴MN=AM=AN=2，

过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=27﹣x，

∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（27）2﹣（27﹣x）2，

解得：x=77，

∴EC=27﹣77=1377，

由勾股定理得：ME=MC2−CE2=7.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=35A.

45

B.

35

C.

3A【考点】同角三角函数的关系解：

∵sin2B+cos2B=1，cosB=35，

∴sin2B=1﹣（35）2=1625，

∵∠B为锐角，

∴sinB=45，

故选A．

【分析】根据sin2B+cos28.如图，在反比例函数y=32x的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=kxA.

﹣3

B.

﹣6

C.

﹣9

D.

﹣12B【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征解：如图，连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∵由直线AB与反比例函数y=32x的对称性可知A、B点关于O点对称，

∴AO=BO．

又∵AC=BC，

∴CO⊥AB．

∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，

∴∠AOE=∠COF，

又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，

∴△AOE∽△COF，

∴AECF=OEOF=AOCO，

∵tan∠CAB=OCOA=2，

∴CF=2AE，OF=2OE．

又∵AE•OE=32，CF•OF=|k|，

∴k=±6．

∵点C在第二象限，

∴k=﹣6，9.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．

A.

3.5m

B.

3.6m

C.

4.3m

D.

5.1m.D【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题设CD=x，

在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，

则tan30°=CD：AD=x：AD

故AD=x，

在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，

则tan60°=CD：ED=x：ED

故ED=x，

由题意得，AD-ED=x-x=4，

解得：x=2，

则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．

故选D.

【分析】设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由树高=CD+FD即可得出答案．10.如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（

）A.

（﹣4，﹣2﹣3）

B.

（﹣4，﹣2+3）

C.

（﹣2，﹣2+3）

D.

（﹣2，﹣2﹣3）D【考点】锐角三角函数的定义，作图﹣旋转解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°后所得△A1BC1，如图所示．∵AC=2，∠ABC=30°，∴BC=4，∴AB=23，∴AD=AB⋅ACBC=23×24=3，∴BD=AB2BC=（23）24=3．∵点B坐标为（1，0），∴A点的坐标为（4，3【分析】因本题要求点A′的坐标，所以要求出A1D1和OD1的长度，那我们求出AD和OD的长度即可。首先，根据已知题意作出旋转图形△A1BC1；然后根据面积相等法求出AD的长度，再根据勾股定理求出BD的长度，即可得到A1的坐标：最后再根据题意向下平移2个单位即可。二、填空题（共10题；共33分）11.已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣12|+(tanβ−1)2=0，则75°【考点】特殊角的三角函数值，非负数的性质：算术平方根，绝对值的非负性由已知sinα-12=0，tanβ-1=0，∴α=30°，β=45°，∴α+β=75°．【分析】根据两个非负数的和等于0可得这两个非负数都等于0可得，sinα-

12=0，tanβ-1=0，sinα=12，tanβ=1，由特殊角的三角函数值可得α=30°，β=45°，故，α12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB=2：3，那么a：b等于________．2：3【考点】互余两角三角函数的关系解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，c为∠C对的边，∴sinA=ac，sinB=bc，

∵sinA：sinB=2：3，

∴ac：bc=2：3，

∴a：b=2：3．

故答案为2：3．

【分析】根据正弦的定义得到sinA=ac，sinB=b13.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB=5，AC=3，则tan∠ADC=________．

34【考点】圆周角定理，解直角三角形解：∵AB是直径，AB=5，AC=3，∴BC=AB2−AC2=4，∴tan∠ADC=tan∠B=ACBC=34．故3414.在△ABC中，已知∠C=90°，sinA=13223；2【考点】同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系解：如图，∵∠C=90°，sinA=13，∴sinC=BCAB=13，

设BC=x，则AB=3x，

∴AC=AB2−BC2=22x，

∴cosA=ACAB=22x3x=223，

tanB=ACBC=2215.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．

10【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用解：1米长的标杆测得其影长为1.2米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值11.2，所以墙上的2米投射到地面上实际为2.4米，即旗杆影长为12米，因此旗杆总高度为10米．

16.已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为________（备用数据：tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6）37°【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题解：斜坡的坡角的正弦值为：610则斜坡的坡角度数约为37°，故37°．【分析】根据解直角三角形求出斜坡的坡角的正弦值，得到斜坡的坡角度数.17.已知菱形的边长为3，一个内角为60°，则该菱形的面积是________．93【考点】等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义解：如图所示：连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，

∵菱形的边长为3，

∴AB=BC=3，

∵有一个内角是60°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AM=ABsin60°=332.

∴此菱形的面积为：3×332=918.小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为________

米．50【考点】解直角三角形的应用解：∵坡比为1：2.4，

∴BC：AC=1：2.4，

设BC=x，AC=2.4x，

则AB=AC2+BC2=x2+2.4x2=2.6x，

∵AB=130米，

19.如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=3，则PB+PC=________．

1+33【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义作CH⊥AB于H．

∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，

∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，

∴AB=2BH=2•BC•cos30°=3BC，

∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，

∴∠PAB=∠PBC，

∴△PAB∽△PBC，

∴PAPB=PBPC=ABBC=3，

∵PA=3，

∴PB=1，PC=33，

∴PB+PC=1+33．20.（贵港）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为________．35【考点】等边三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质解：连接PP′，如图，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，

∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，

∴△CPP′为等边三角形，

∴PP′=PC=6，

∵△ABC为等边三角形，

∴CB=CA，∠ACB=60°，

∴∠PCB=∠P′CA，

在△PCB和△P′CA中

{PC=P'C∠PCB=∠P'CACB=CA，

∴△PCB≌△P′CA，

∴PB=P′A=10，

∵62+82=102，

∴PP′2+AP2=P′A2，

∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，

∴sin∠PAP′=PP'P'A=610=35．

故答案为三、解答题（共8题；共58分）21.（深圳）计算|2解：原式=2-2-2×22+1+22.

【考点】实数的运算，负整数指数幂的运算性质，二次根式的性质与化简，特殊角的三角函数值，实数的绝对值【分析】根据二次根式，负指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值等性质计算即可得出答案.22.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：6≈2.449，结果保留整数）

解：作PC⊥AB交于C点，

由题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）．

在Rt△APC中，PC=PA•cos∠APC=403（海里）．

在Rt△PCB中，PB=PCcos∠BPC=40【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【分析】构造直角三角形，作PC⊥AB交于C点；由方位角易知∠APC=30°，∠BPC=45°，则根据解直角三角形的知识解答即可．23.（恩施州）如图，小明家在学校O的北偏东60°方向，距离学校80米的A处，小华家在学校O的南偏东45°方向的B处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）

解：由题意可知：作OC⊥AB于C，

∠ACO=∠BCO=90°，∠AOC=30°，∠BOC=45°．

在Rt△ACO中，

∵∠ACO=90°，∠AOC=30°，

∴AC=12AO=40m，OC=3AC=403m．

在Rt△BOC中，

∵∠BCO=90°，∠BOC=45°，

∴BC=OC=403m．

∴OB=OC2+BC2【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【分析】作OC⊥AB于C，由已知可得△ABO中∠A=60°，∠B=45°且OA=80m，要求OB的长，可以先求出OC和BC的长．24.如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．

（参考数据：2≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H，

由题意，得∠ACH=45°,∠BCH=36°,BC=200，

在Rt△BHC中，sin∠BCH=BHBC,

∴sin36°=BH200

，

∵sin36°≈0.588，

∴BH≈117.6

，

又cos∠BCH=HCBC，

∴cos36°=HC200，

∵cos36°≈0.809，

∴HC≈161.8

在Rt△AHC中，tan∠ACH=AHHC

∵∠ACH=45°

∴AH=HC

∴AH≈161.8

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【分析】过点C作CH⊥AB，垂足为点H，

在Rt△BHC中，根据正弦函数的定义得出BH的值，由余弦函数得出HC的值，在Rt△AHC中，根据正切函数得出AH=HC，从而根据线段的和差得出AB的值，即A、B之间的距离。25.某海船以(23解：过点B作BD⊥AC于点D.因为∠MAB=40°，∠MAC=70°，所以∠BAC=70°-40°=30°，又因为∠NCB=65°，∠NCA=180°-70°=110°，所以∠ACB=45°，所以DB=CD，AD=3BD设CD=x，则BD=x，AD=3x所以3x+x=5×(2所以BC=102此时灯塔B到C处的距离是102【考点】特殊角的三角函数值【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据特殊角的函数值，表示出边长，然后根据BD+AD=路程，求出BC的长度。26.（泰州）如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（3取1.73，结果精确到0.1千米）解：过B作BE⊥AD于E，∵∠NAD=60°，∠ABD=75°，

∴∠ADB=45°，

∵AB=6×=4，

∴AE=2．BE=2，

∴DE=BE=2，

∴AD=2+2，

∵∠C=90，∠CAD=30°，

∴CD=AD=1+≈2.7千米．

【考点】解直角三角形的应用【分析】过B作BE⊥AD于E，三角形的内角和得到∠ADB=45°，根据直角三角形的性