第14讲　圆锥曲线中的热点问题(一)

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考点考法探究

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考点1位置关系问题考点考法探究例1[2021·全国甲卷]抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.(1)求C,☉M的方程;

考点考法探究例1[2021·全国甲卷]抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切,判断直线A2A3与☉M的位置关系,并说明理由.

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考点考法探究考点考法探究【规律提炼】直线与圆锥曲线相交时弦长的求法:(1)定义法:过圆锥曲线的焦点的弦长问题,利用圆锥曲线的定义可优化解题.(2)点距法:将直线的方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,再运用两点间距离公式求弦长.(3)弦长公式法:体现了解析几何中设而不求的思想,其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系求解.考点考法探究

自测题考点考法探究

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考点考法探究【规律提炼】求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”:根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)或斜截式方程y=kx+b来证明.考点考法探究[2019·北京卷]已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程.自测题解:由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.考点考法探究[2019·北京卷]已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.自测题考点考法探究自测题

考点3定值问题考点考法探究例3已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F,若过焦点的直线与C相交于P,Q两点,所得弦长|PQ|的最小值为4.(1)求抛物线C的方程;

考点考法探究例3已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F,若过焦点的直线与C相交于P,Q两点,所得弦长|PQ|的最小值为4.(2)设A,B是抛物线C上两个不同的动点,O为坐标原点,若OA⊥OB,OM⊥AB,M为垂足,证明:存在定点N,使得|MN|为定值.考点考法探究

考点考法探究【规律提炼】求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.考点考法探究已知点B是圆C:(x-1)2+y2=16上的任意一点,点F(-1,0),线段BF的垂直平分线交BC于点P.(1)求动点P的轨迹E的方程;自测题

考点考法探究已知点B是圆C:(x-1)2+y2=16上的任意一点,点F(-1,0),线段BF的垂直平分线交BC于点P.(2)设曲线E的左、右顶点分别为A1,A2,Q为直线x=4上的动点,且Q不在x轴上,QA1与E的另一个交点为M,QA2与E的另一个交点为N,证明:△FMN的周长为定值.自测题

考点考法探究已知点B是圆C:(x-1)2+y2=16上的任意一点,点F(-1,0),线段BF的垂直平分线交BC于点P.(2)设曲线E的左、右顶点分别为A1,A2,Q为直线x=4上的动点,且Q不在x轴上,QA1与E的另一个交点为M,QA2与E的另一个交点为N,证明:△FMN的周长为定值.自测题

考点4范围、最值问题考点考法探究

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考点考法探究【规律提炼】解析几何中的范围和最值问题常为涉及距离、面积的最值以及与之有关的一些问题,或为求直线与圆锥曲线中几何元素的最值.1.求最值的方法:(1)几何法,利用几何图形的性质求解,(2)代数法,建立目标函数,利用配方、基本不等式或求导来解.2.解决范围问题的方法有:利用几何图形的性质或构造判别式、构造不等关系,从而求参数范围;利用已有参数的范围求新的参数范围,前提是找到这两个参数之间的关系;利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求参数的范围.考点考法探究

自测题

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自测题考点考法探究自测题

[备选理由]例1是抛物线的弦过定点问题;例2是参数的取值范围问题;例3考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系.备用例题例1

[配例2使用]已知抛物线C:y2=4x.(1)若C与圆G:(x-4)2+y2=13在第一象限内交于M,N两点,求直线MN的方程;备用例题

例1

[配例2使用]已知抛物线C:y2=4x.(2)直线l过点D(-1,0),交C于A,B两点,点B关于x轴的对称点为E,直线AE交x轴于点P,求证:P为定点.备用例题

备用例题

备用例题备用例题

备用例题备用例题

例3[补充使用]已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点为圆F:x2-2x+y2=0的圆心,y轴负半轴上有一点P,直线PF被抛物线C截得的弦长为5.(1)求点P的坐标;备用例题

例3[补充使用