初一数学培优资料

初一数学培优资料第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成

mn（n0,mn互质。4、性质：①顺序性（可比较大小；②四则运算的封闭性（0；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。5、绝对值的意义与性质：a(a0)①|aa(a

②非负性(|a0,a20)③非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。：1、若abf0,则|a||b||ab|的值等于多少？a b ab2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（ A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方x2(abcd)x(ab)2006x2(abcd)x(ab)2006(cd)2007的值。4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么|ab||ab|化简的结果等于（A.2a B.2a C.0 D.5、已知(a3)2|b2|0，求ab的值是（ ）A.2 B.3 C.9 D.66、 有3个有理数a,b,c，两两不等，那么ab,bc,cabc ca ab

中有几个负数？7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，ab,a的形式式，又可表示为b0，ab的形式，求a2006b2007。8、 三个有理数 a,b,c 的积为负数，和为正数，且a b c |ab| |bc| |ac|X 则ax3bx2cx1的值是多少？|a| |b| |c| ab bc ac9abc|ab|2007|ca|2007|ca||ab||bc|的值。三、课堂备用练习题。123、计算：59173365129132 4 8 16 32 644ab为非负整数，且满足|ab|ab1ab的所有可能值。5、若三|a| |b| |c| |abc|个有理数a,b,c满足 a b c

1，求abc

的值。第二讲 数系扩张--有理数（二）一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义①|a||a0|表示数a对应的点到原点的距离。②|ab|表示数a、b对应的两点间的距离。2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、【典型例题解析】：1、（1）若2a0，化简|a2||a2|（2）xp0

||x|2x||x3||x|2、设ap0x

a，试化简|x1||x2||a|3、a、b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）|aba||b|; （2）|aba||b|;（3）|abba|; （4）若|ab则ab（5）若|a|b|，则apb （6）若afb，则|a|f|b|4、若|x5||x2|7，求x的取值范围。5、不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC|ab||bc||ac|，那么B点在A、C的什么位置？6、设apbpcpd，求|xa||xb||xc||xd|的最小值。7、abcde 是一个五位数，apbpcpdpe，求|ab||bc||cd||de|的最大值。8、设a,a1 2

,a,L,a3

2006

都是有理数，令M(aa1 2

aL3

)2005(a aa2 3 4

La

2006

),N(aa1

aL3

2006

)(a2

aa3

La

2005

),试比较M、N的大小。三、【课堂备用练习题】：1f(xx1||x2||x3|L|x2002|f(x的最小值。2、若|ab1|与(ab1)2互为相反数，求1的值。3、如果abc0，求|a||b||c|的值。a b c4x是什么样的有理数时，下列等式成立？(x2)(x4)x2||x4|5、化简下式：|x|x||x

(7x6)(3x5)(7x6)(3x5)第三讲 数系扩张--有理数（三）一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。二、【典型例题解析】：10.7523(0.125)12541 4 7 8 2（1、560.94.48.1（2（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25（3（-42）+3161213 3 2 4 33223121.75 3 4 3 ②114121 2 4 3 4、 化简：计算（1）47514131 8 2 4 8 （2）3.75351420.125 8 6 2 3 （3）01

13544

7

7 （4）721335 3 4 6 （5）-4.035×12＋7.535×12-36×（7

57）9 6 185（1）23324（2）199810.51332（3）222

8130.521

3 5

5 21 4 2 1 33

3 6、计算：1 2410 0.513 47 1 1 1 16 413 47 1 1 1

4 7计算 )[0.253( )3](5 1.254 )[(0.45)2(2 )3](1)200281 63 4 2 4 2001：第四讲 数系扩张--有理数（四）一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。3、巧算的一般性技巧：①凑整（凑0； ②巧用分配律③去、添括号法则； ④裂项4、综合运用有理数的知识解有关问题二、【典型例题解析】：10.7126.632.270.793.3711 7 3 11 82 、(111L 1 )(111L 1 )(111L 1 )2 3 1996 2 3 4 1997 2 3 1997111L 1 )2 3 4 19963、22(2)2|3.14|

(1)3

|3.14|②5324[3(2)2(4)]74化简y)(2x 1

y)(3x

1 y)L(9x 1

yx2,y9时的值。5、计算：Sn

12 23 89221321421Ln21221 321 421 n216、比较S

1234Ln2n 2 4 8 16 2n13 47 1 1 1 7计算 )[0.253( )3](5 1.254 )[(0.45)2(2 )3](1)200213 47 1 1 1 81 63 4 2 4 2001aa2c c8、已知a、b是有理数，且apb，含c ，x ，y ，请将3 3 3a,b,c,x,y按从小到大的顺序排列。三、【备用练习题】：1、计算（1）14

1128

1 130

1208

（2）

13

23

L

2991012220071200612005120041L11122 3 2 3 2 33

1)(11)2 3

(1

1)L(1 1 )4 20064、如果(a1)2|b2|0

(ba)2(ab)20062ab(ab)2005

的值。15ab互为相反数，cd互为倒数，m的绝对值为21a2b2cd(12mm2)的值。第五讲 代数式（一）一、【能力训练点】：（1）列代数式； （2）代数式的意义；代数式的求值（整体代入法）二、【典型例题解析】：1、用代数式表示：与yx的数。比与b25甲乙两数平方的和（差。甲数与乙数的差的平方。甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。2比a21任意一个偶数（奇数）52、代数式的求值：2a

52(2ab3(ab的值。ab ab 2abx2y257，求代数式3x6y24的值。（3）已知ac5a6ac的值(c0)a4bc（4）11

32aab的值。b a ab2abx1Px3qx12007，x时，Px3qx1的值。已知等式(2A7B)x(3A8B8x10xAB的值。已知(1x)2(1xabxcx2dx3，求abcd的值。当多项式m2m10时，求多项式m32m22006的值。3、找规律：Ⅰ.（1）(12)2124(11)； （2）(22)2224(21)（3）(32)2324(31) （4）(42)2424(41)22222； 333233388Ⅱ.已知 2 ；4 4 a 4 42 ； 若10 1024 4 a 15 15 b b（a、b为正整数，求ab?Ⅲ.23322333622343102猜想：2343Ln3?三、【备用练习题】：1、若(mn)个人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要多少天？2、已知代数式3y22y68，32

y2y1的值。332多少元？4 、 已 知

11n1 1

(n1,2,3,L,2006) 求 当 a1

1 时 ，aa aa12 23

La

2006

ana ?2007第六讲 代数式（二）一、【能力训练点】：同类项的合并法则；代数式的整体代入求值。二、【典型例题解析】：1、 已知多项式2y5x29xy23x3nxy2my7经合并后，不含有y的项，求2mn的值。2、当50(2a3b)2达到最大值时，求14a29b2的值。32a3a2a5N24a32a22a4N？4、若a,b,c互异，且 x

y

，求xyZ的值。ab bc ca5、已知m2m10，求m32m22005的值。6、已知m2mn15,mnn26，求3m2mn2n2的值。7、已知a,b均为正整数，且ab1，求 a b 的值。a1 b18、求证31232等于两个连续自然数的积。20061 2006个29、已知abc1，求 a b c 的值。aba1 bcb1 acc110、一堆苹果，若干个人分，每人分4963三、【备用练习题】：1、已知ab1M、N1 1 a bM ， N 。1a 1b 1a 1b2x2x10x32x1的值。3、已知 x y z K，求K的值。yz xz xy4、ab444c533，比较abc的大小。5、已知2a250，求4a412a39a210的值。第七讲 发现规律一、【问题引入与归纳】先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。二、【典型例题解析】1、观察算式：13

(13)2,135

(15)3,1357(17)4,13579

(19)5,L,5、观察右图，回答下列问题：122 2 2 25、观察右图，回答下列问题：12按规律填空：1+3+5+…+99= ？，1+3+5+7+…+(2n1) ？个小房子用了多少块石子？2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了多少块石子？3、 用黑白两种颜色的正六边形地面（如图所示）3、 用黑白两种颜色的正六边形地面（如图所示）（1）3个数为多少？第n个数为多少？第n个图形中三角形的个数为多少？图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有13n774126、 读一读：式子表示从1开始的100个连续自然数的1+2+3+4+5+…+10”表示为100n1+3+5+7+9+…+99（1n1开始的 100 以内的连续奇数的和）可表示10

50n1

(2n1);又如23435363738393103”可表示为材料的阅读，请解答下列问题：

n1

n3，同学们，通过以上（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；（2）计算：5(n21)= （填写最后的计算结果。n17、 观察下列各式，你会发现什么规律？3×5=15，而15=42-1 5×7=35，而35=62-1 … …11×13=143，而143=122-1 … …81813+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。三、【跟踪训练题】11aa1 2

,a,a3

Lan

=6×2+1，a1

=6×3+2，a3

=6×4+3，a=64×5+4；…则第n个数an

= ，当a

=2001时，n= 。列2、将正偶数按下表排成5列列第1列第2列第3列第4列第5第一行2468第二行16141210第三行18202224…………2826根据上面的规律，则2006应在 行 列。3、已知一个数列2，5，9，14，20，x，35…则x的值应为（ ）4、在以下两个数串中：1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，5445446（如右图所示）按照这种规定填写下表的空格：拼成一行的桌子数拼成一行的桌子数123…n人数46…6、给出下列算式：32 12 8152 32 8272 52 8392 72 84 观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：7、通过计算探索规律：152=225100×1×（1+1）+25252=625100×2×（2+1）+25352=1225100×3×（3+1）+25452=2025100×4×（4+1）+25…………752=5625（10n+5）2=根据猜想计算：19952=8、已知2232n216112+122+132+…+192= ；9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当nn2+n+41时，n2+n+41第八讲 综合练习（一）1x

5

xy

5x5y的值。xy 2x2y 3x3y2、已知|xy9|与(2xy3)2yx。3、已知|x2|x20x的范围。4、判断代数式|x|x||的正负。5、若|abcd|1，求|a||b||c||d|的值。x abcd a b c d6、若|ab2|(b1)20，求1 1 1 L 1 ab (a1)(b1) (a2)(b2) (a2007)(b2007)7、已知2pxp3，化简|x2||x3|8、已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值等于2，P是数轴上的表示abP1000cd

abcd

m2的值。9、问□中应填入什么数时，才能使|2006W2006|200610、abc在数轴上的位置如图所示，化简：|ab||b1||ac||1c|10、abc在数轴上的位置如图所示，11、若af0,bp0，求使|xa||xbab|x的取值范围。12、计算：(21)(221)(241)(281)(2161)232113 、 已 知 a20042004200320032003c200620062006，求abc。200520052005

200520052005， b ，20042004200414P

999,q

P、q的大小关系。999 99015、有理数abc0，且abc0x

|a|

|b|

|c

|，求代数bc ca abx1999x2008的值。第九讲 一元一次方程（一）一、知识点归纳：1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。二、典型例题解析： 1解下列方程1）2x1 2x1 32x 1 （2） 12 x2；3 6 234 （3）0.70.3x0.21.55x0.2 0.52、能否从(a2)xb3；得到x

b3，为什么？反之，能否从x

b3得a2 a2到(a2)xb3，为什么？3x2kxm2xnkKx1，3 6求m、n的值。4、若(3x1)5a5

x5a1 1

x4La1

xa0

。求aa5

aa3

aa1

的值。5、已知x1是方程 mx3x 的解，求代数式(m27m9)2007的值。2 26、关于x的方程(2k1)x6的解是正整数，求整数K的值。7、若方程2x73x46x与方程2mx3x525x1同解，求m的值。5 4 68、关于x 的一元一次方程(m21)x2(m1)x80 求代数式200(mx)(x2m)m的值。9、解方程

x x x x L 12 23 34 2006200710已知方程2(x1)3(x1)的解为a22[2(x3)3(xa3a的解。11、当ax的方程|x2||x5a，①有一解；②有无数解；③无解。第十讲 一元一次方程（2）一、能力训练点：1、列方程应用题的一般步骤。2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题）二、典型例题解析。120%10098%10%酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？28天完成，由徒弟做需164几天？3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在120.2811.2问该商贩当初买进多少个鸡蛋？：440结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？547:4，求原来的三位数？6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务（一）45（二）50人，（三）43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）236应将（三）班各分配多少名学生到（一（二）两班？7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的1

1后，用水加满，第二次倒出它3的后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。28451560座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45250元，60300哪种客车更合算？租几辆车？91994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是38382006年底张先生多大？1024A21A13A抽水？564755米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？12A处遇到逆水而上的快艇和轮船，从获悉到追及小孩各需多少时间？第十一讲 几何初步(一)一、知识点归纳：1、掌握直线、射线、线段的性质及表示。2、会用“两点之间线段最短”解决有关最短路径问题。3、掌握角的表示、度量及计算、计数问题。二、典型例题解析：例1已知：如图，线段AB=CD，且彼此重合各自的 ，M、N13例1已知：如图，线段AB=CD，且彼此重合各自的 ，M、N13ABCDMN=14cmAD的长。是AB是AB的中点，N是CD的中点，若MN=a ，BC=b，求线段例2例2m、n45个点，任选9个点中的两个连一条直线，则一共可以连多少条直线？点，处于这种位置的n条直线交点最多，记为a点，处于这种位置的n条直线交点最多，记为a，且分一nbn

an

与n之间的关系，bn

与n之间的关系。解答：例3如图，设A例3如图，设A、BC、D4ABCD4个居民小区到购物中心的距离之和