《利用导数求函数的最值》教学设计

PAGEPAGE10教学设计方案课程利用导数求函数的最值（复习课）课程标准1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)。3.会利用导数解决某些实际问题。教学内容分析本节出自人教版理科数学《2-2第一章1.3》的内容。函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求函数的极值；角度二：已知极值求参数；角度三：利用导数求函数最值。教学目标1．帮助学生熟练掌握利用导数求函数的最值的一般步骤；2．帮助学生在利用导数求函数的最值的过程中，能根据题目的要求，准确分类。培养分类讨论、转化等的数学思想。3.培养学生严谨的思维习惯，让学生通过获得成功感来培养学生的学习兴趣学习目标1．熟练掌握利用导数求函数的最值的一般步骤；2．在利用导数求函数的最值的过程中，能根据题目的要求，准确分类。培养分类讨论的数学思想。学情分析通过高二的学习，学生对利用导数求函数的最值有初步的认识，但不熟练。对含参数的问题不知如何分类讨论，什么时候需要分类讨论，分类的标准是什么。重点、难点教学重点：掌握利用导数求函数的最值的一般步骤。教学难点:在利用导数求函数的最值的过程中，能准确进行分类讨论.教与学的媒体选择PPT课程实施类型偏教师课堂讲授类√偏自主、合作、探究学习类备注教学活动步骤序号教学活动11.热身练习；小结利用导数求函数在闭区间上的最值的一般方法；22.典型例题、变式训练；(不含参数的一般情况)33.巩固提高、变式训练；44.更上一层楼，变式训练；(含参数的问题)55.本课小结。66.布置作业教学活动详情教学活动1：一般的利用导数求最值的问题1.热身练习：(1)使函数f(x)＝x＋2cosx在[0，eq\f(π,2)]上取得最大值的x为________．解析：f′(x)＝1－2sinx＝0时，sinx＝eq\f(1,2)，x＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)2.利用导数求函数在闭区间上的最值的一般方法：教师提问学生：运用求导函数求函数最值的步骤有哪些？学生回答，教师在黑板板书学生的回答要点，同时进行点评。在内有导数，可以这样求最值：①求导,求单调性,求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.3.典型例题：(1)已知函数f(x)＝x3－4x2－3x.求f(x)在x∈[1，4]上的最小值和最大值．解：f′(x)＝3x2－8x－3.令f′(x)＝0，得x1＝－eq\f(1,3)，x2＝3.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x1(1，3)3(3，4)4f′(x)－0＋f(x)-6极小值f(3)＝－18-12于是，当x∈[1,4]时，f(x)在x＝3时取得最小值f(x)min＝f(3)＝－18；∴f(x)max＝f(1)＝－6.变式训练：(2)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0≤x≤2π，求函数f(x)的最值．解：由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0≤x≤2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，于是f′(x)＝1＋eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))．令f′(x)＝0，从而sin(x＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2)，得x＝π，或x＝eq\f(3π,2).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，π)Π(π，eq\f(3π,2))eq\f(3π,2)(eq\f(3π,2)，2π)2πf′(x)＋0－0＋f(x)0单调递增极大值π＋2单调递减极小值eq\f(3,2)π单调递增2π显然>π＋2,所以f(x)的最大值是；f(x)的最小值是0。活动目标回顾熟练利用求导来求函数最值的方法解决问题对那些不能直接判断函数的性质（特别是单调性）的函数，一般会通过求导，明确函数单调性，再了解函数的图象的特点，来判断函数的最值所在。这就是利用导数求函数最值的最突出的优势。技术资源PPT常规资源学案活动概述教师提问学生：运用求导函数求函数最值的步骤有哪些？学生回答，教师在黑板板书学生的回答要点，同时进行点评。教师活动和学生练习，教师巡视，对答案。教与学的策略学生先思考练习，教师巡视解疑点评。反馈评价学生能积极参与练习，基本了解与掌握利用求导求函数最值的一般步骤。教学活动2：含参数问题的讨论4.巩固提高：(3)已知函数f(x)＝,求f(x)在区间[－1,2]上的最大值．解：①当－1≤x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－3x(x－eq\f(2,3))，令f′(x)＝0得x＝0或x＝eq\f(2,3).当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x-1(－1,0)0(0，eq\f(2,3))eq\f(2,3)(eq\f(2,3)，1)f′(x)－0＋0－f(x)2单调递减极小值f(0)＝0单调递增极大值f(eq\f(2,3))＝eq\f(4,27)单调递减∴f(x)在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤2时，f(x)＝alnx.当a≤0时，f(x)在[1,2]上单调递减，∴f(x)的最大值为f(1)=0；当a>0时，f(x)在[1,2]上单调递增，∴f(x)在[1,2]上的最大值为aln2.综上所述，当aln2≤2，即a≤eq\f(2,ln2)时，f(x)在[－1,2]上的最大值为2；当aln2>2，即a>eq\f(2,ln2)时，f(x)在[－1,2]上的最大值为aln2.小结：分段函数求最值，要分段讨论，分别求导求最值，再比较所有段中最大值为该函数的最大值；比较所有段最小的值作为该函数的最小值。5.更上一层楼：(4)已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx.求函数f(x)在区间[1，e]解：f′(x)＝2x－(2a＋1)＋eq\f(a,x)＝eq\f(2x2－2a＋1x＋a,x)＝eq\f(2x－1x－a,x)，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝eq\f(1,2).当a≤eq\f(1,2)时，f(x)在[eq\f(1,2)，＋∞)上单调增，所以f(x)在区间[1，e]上单调增；当a≤1时，f(x)min＝f(1)＝－2a当eq\f(1,2)<a≤1时，f(x)在(0，eq\f(1,2)]，[a，＋∞)上单调增，所以f(x)在区间[1，e]上单调增．当a≤1时，f(x)min＝f(1)＝－2a综上，当a≤1时，f(x)min＝f(1)＝－2a当1<a<e时，x(1，a)a(a，e)f′(x)－0＋f(x)a(lna－a－1)所以f(x)min＝f(a)＝a(lna－a－1)；当a≥e时，f(x)在(0，eq\f(1,2)]，[a，＋∞)上单调增，在(eq\f(1,2)，a)上单调减，所以在[1，e]上单调减．所以f(x)min＝f(e)＝e2－(2a＋1)e＋a小结：1.当判断函数的单调性需要确定两数大小时，如果不能确定，就需要分类讨论，对其大小关系的不同分别进行比较说明；2．当自变量给定范围时，要讨论极值点与给定范围的关系，此时要进行分类讨论；此时注意分类讨论的类别要完整，做到不重不漏。变式训练2：已知函数．求函数在区间上的最大值．解：因为，所以．由（1）知．因为，所以．当时，；当时，．所以函数在上单调递增；在上单调递减．①当时，在上单调递增，所以．②当即时，在上单调递增，在上单调递减，所以．③当，即时，在上单调递减，所以．综上所述：当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是．活动目标让学生掌握利用导数求函数最值中含参数问题的分类讨论的方法解决问题帮助学生准确分类，再利用导数求函数最值的方法。技术资源PPT常规资源学案活动概述学生练习，上黑板书写解题过程，教师巡视，点拔与解疑。教与学的策略先练后讲教学活动3：小结活动目标1．熟练掌握利用导数求函数的最值的一般步骤；2．在利用导数求函数的最值的过程中，能根据题目的要求，准确分类。培养分类讨论的数学思想。解决问题回顾本课的学习目标和思维方法。技术资源PPT常规资源学案活动概述学生回顾小结后，教师打出PPT总结。教与学的策略6.本课小结：(1)利用导数求函数在闭区间上的最值的一般方法是：①求函数的导数，确定函数单调性，了解图形发展趋势，求极值;②如果是闭区间，再求端点值；③比较极值与端点值的大小，确定所求最值。(2)对含参数的函数求最值时，常要分类讨论。当遇到数值大小不明确影响判断时，要自觉对相应数值的大小关系进行分类讨论,分类要做到不重不漏。反馈评价学生积极参与，效果好反馈评价学生能积极参与练习，基本掌握分类讨论的依据和步骤。参考书《创新方案》高三一轮复习用书五．课后巩固练习：1．上有最大值3，那么在上的最小值是（C）2．当∈[0，2]时，函数在时取得最大值，则a的取值范围是（D）A、[B、[C、[D、[3．设函数（1）求函数的单调区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。解析：依题意知，又因为（1）令或x>0，所以f(x)的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞）；…（3分）令的单调减区间（－1，0）和（－∞，－2）。……（5分）（2）令（舍），由（1）知，f(x)连续，因此可得：f(x)<m恒成立时，m>e2－2（9分）（3）原题可转化为：方程a=(1+x)－ln(1+x)2在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根。且2－ln4<3－ln9<1，∴的最大值是1，的最小值是2－ln4。所以在区间[0，2]上原方程恰有两个相异的实根时实数a的取值范围是：2－ln4<a≤3－ln9…（14分）4．已知函数图像上点处的切线与直线平行（其中），（I）求函数的解析式；（II）求函数上的最小值；（III）对一切恒成立，求实数t的取值范围。4．解：（I）由点处的切线方程与直线平行，得该切线斜率为2，即又所以 …………4分（II）由（I）知，显然当所以函数上单调递减.当时，所以函数上单调递增，①②时，函数上单调递增，因此 …………7分所以…………