线性代数经管类课件

线性代数主讲：刘群海口经济学院继教学院2014.5.11---2014.6.22目录第一章行列式第二章矩阵第三章向量空间第四章线性方程组第五章特征值与特征向量第六章实二次型第一章行列式行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。例如说明（1）二阶行列式共有2项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的乘积．（3）正负项各占一半.（4）行列式的本质是数.二、三阶行列式同理，称为一个三阶行列式。可用下面的对角线法则计算。说明（1）三阶行列式共有6项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）正负项各占一半.例1解按对角线法则，有练习题2.计算1.计算定义n2称为n阶行列式.个数aij

(i

j12

n)组成的记号由说明（1）n阶行列式共有n!项．（2）每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积．

（3）正负项各占一半.（4）一阶行列式不要与绝对值记号相混淆.（5）行列式的本质是数.例1计算下列行列式的值解：§1.2行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例1行列式的元素的代数余子式为 A．-2B．2C．-1

D．1（A）解：二、行列式展开定理结论：三阶行列式的值等于任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.2.如果行列式的某一行（列）只有一个非零元，则行列式等于该非零元与其代数余子式的乘积.例2

计算行列式例3

计算行列式例4

计算行列式练习题1.求出中元素a23、a33的代数余子式，并求出D的值.2.计算下列行列式的值例转置行列式将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置

行列式记为DT或D

即如果则性质1

行列式与它的转置行列式相等.即D=DT.例说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是自然成立的.性质2

用数k乘行列式D的某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD.这也就是说，行列式可以按行（列）提出公因数.注意必须按行或按列逐次提出公因数．证明：例如推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有例如性质４

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明因为第一行与第二行对应元素成比例根据性质4

得：

解

例4计算行列式例5解方程

解

当时，第一行与第二行完全相同，行列式的值为零，解得：当时，第三行与第四行完全相同，行列式的值为零，解得：性质5

若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如注意应当逐行、逐列拆开．例6计算行列式例7已知，求的值.性质６

把行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式不变．例如或例7证明：的充要条件是例8计算行列式二、行列式的计算1、对角线法则（只适合于二阶、三阶行列式）a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31

注意：对角线法则对四阶及四阶以上的行列式不再适用.2、化三角形法注意：（1）在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1）；（2）在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k；（3）避免分数运算.例9计算行列式例10计算行列式例11计算行列式3、降阶法思想：把某一行（列）化成只有一个非零元，然后按该行（列）展开.例12计算行列式例13计算行列式特征：

每一行、每一列元素之和为6.做法：先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数，再将后三行都减去第一行.例14计算行列式练习题P23.2,4(1),6(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、§1.4克拉默法则用消元法解二元线性方程组方程组的解为前者称为非齐次线性方程组后者称为齐次线性方程组

行列式称为线性方程组的系数行列式

一、线性方程组的概念二、克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为例1求解方程组解：由于方程组的系数行列式,由克拉默法则，得方程组的唯一解：齐次线性方程组的相关定理定理1.4.3

如果齐次线性方程组的系数行列式则它只有零解：注：n个方程n个未知量的齐次线性方程组只有零解当且仅当它的系数行列式不等于零；它有非零解当且仅当它的系数行列式等于零。这是一个非常重要的结论。例2判断下列线性方程组是否只有零解.解：因为方程组的系数行列式所以方程组只有零解.例3当k为何值时，下列齐次线性方程组只有零解？解：因为方程组的系数行列式所以当