2022-2023学年福建省南平市夏道中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年福建省南平市夏道中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种 B．24种 C．25种 D．36种参考答案：C【考点】排列、组合的实际应用．【分析】抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共有4种组合，前四种组合又可以排列出A33种结果，由此利用分类计数原理能得到结果．【解答】解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A33=6种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．根据分类计数原理知共有24+1=25种结果，故选C．【点评】排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．2.若方程的任意一组解()都满足不等式，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.已知为坐标原点，两点的坐标均满足不等式组设与的夹角为，则的最大值为A.

B.

C.

D.参考答案：C4.已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且△为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是

A.（） B.（1，） C.（） D.（1，）参考答案：D略5.已知△ABC中，AB=，AC=2，则=(

)A．

B． C． D．参考答案：C考点：平面向量数量积的运算．专题：转化思想；数形结合法；平面向量及应用．分析：由++=，可得点O为△ABC的重心，不妨取BC=1，则∠ABC=90°，如图所示．利用数量积的坐标运算性质即可得出．解答：解：由++=，可得点O为△ABC的重心，不妨取BC=1，则∠ABC=90°，如图所示．则A，C（1，0），D，O，=，=（1，0），∴?=．故选：C．点评：本题考查了数量积的坐标运算性质、三角形的重心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6.已知集合，，则（

）A．(－1,6)

B．(－1,1)

C．(1,6)

D．参考答案：C因为,,所以，故选C.

7.已知实数4，m,

1构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为()A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.直线与圆有两个不同交点,则满足（）．

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则(

)A、

B、

C、

D、参考答案：A10.已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|＝A．1

B． C．

D．2参考答案：A考点：数量积的应用|a＋b|＝

故答案为：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________.参考答案：12.若，则

．参考答案：,∴，平方得：，∴．13.已知实数、满足条件则的最大值为

.参考答案：答案：8解析：画出可行域知在两直线交点（2，3）处取得最大值814.

_

.参考答案：略15.命题“若实数a满足，则”的否命题是

命题（填“真”、“假”之一）．参考答案：真略16.计算：=（i是虚数单位）参考答案：i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】i2017=（i4）504?i=i，可得原式=，再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：i2017=（i4）504?i=i，原式====i，故答案为：i．17.设是第二象限的角，若，则________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数且是定义域为R的奇函数.（1）若，试求不等式的解集；（2）若，且，求g(x)在[1,+∞)上的最小值.参考答案：（1）；（2）.【分析】先由函数是奇函数求出，得到；（1）根据得到，单调递增；利用单调性转化不等式，求解，即可得出结果；（2）先由得，，令，先求出，得到的单调性，从而可求出最小值.【详解】因为函数且是定义域为的奇函数，所以，所以，；经检验满足题意（1）由得，解得或（舍）；又指数函数单调递增，单调递减；因此单调递增；又不等式可化为；所以，即，解得或；即不等式的解集为：；（2）因为，所以，即，解得或（舍）；因此，所以，令，易知在上单调递增，因此，则，又在上单调递减，在上单调递增；因此，即在上的最小值为.【点睛】本题主要考查由指数函数的单调性解不等式，以及求指数型复合函数的最值，熟记指数函数与二次函数的性质，以及函数奇偶性即可，属于常考题型.19.（本小题满分14分）已知椭圆经过点，一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）由题意得解得，．

所以椭圆的方程是．

……4分（Ⅱ）由得．设，则有，，．所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为．

于是，线段的垂直平分线与轴的交点，又点，所以．

又．于是，．因为，所以．所以的取值范围为．

………………14分20.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B、C两点，PA=3，PB=1，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(I)求证PA?DC=PC?DB；(Ⅱ)求AD?AE的值.参考答案：证明：（Ⅰ）∵为圆的切线,又为公共角,所以，，∵

是的角平分线，∴

。∴

，即。

……5分

（Ⅱ）∵为圆的切线,是过点的割线,∴

∵

，∴

又由（Ⅰ）知，∴

连接,由于，∴

，则，∴

.…………10分21.

已知椭圆上的动点与其顶点,不重合．（Ⅰ）求证：直线与的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点，在椭圆上，为坐标原点，当,时，求的面积．参考答案：见解析

【考点】圆锥曲线综合（Ⅰ）设，则．

所以直线与的斜率乘积为．

（Ⅱ）依题直线的斜率乘积为．

①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，设直线的方程是，由得，．

取，则．所以的面积为．

②当直线的斜率存在时,设直线的方程是,

由得．

因为，在椭