沪科版四边形讲解

第17页四边形讲义知识脉络：一基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.多边形：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。凸边形：一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸边形。1．四边形的内角和及外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°.2．多边形的内角和及外角和定理：（1）n边形的内角和等于(2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°.3.平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的性质：因为四边形是平行四边形4.平行四边形的判定：.5.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等平行四边形的面积：··同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.=(5)中心对称图形，对称中心是对角线的交点。(6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积．5.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的性质：因为四边形是矩形6.矩形的判定：四边形是矩形.(4)矩形是轴对称、中心对称图形．(5)矩形面积＝长×宽7.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：因为是菱形8．菱形的判定：四边形是菱形.(4)菱形是轴对称、中心对称图形．(5)菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半9.正方形：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。正方形的性质：因为是正方形（1）（2）（3）(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴．(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．如上方右图。(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．(7)正方形的面积：若正方形的边长为，对角线长为，则10．正方形的判定：四边形是正方形.(3)∵是矩形又∵∴四边形是正方形(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)．11.梯形：只有一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。等腰梯形的性质：因为是等腰梯形12.等腰梯形的判定：四边形是等腰梯形(3)∵是梯形且∥∵∴四边形是等腰梯形(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴．（5）．梯形的面积(1)．(2)梯形中有关图形面积：①．②．③．※13．梯形中常见的辅助线：14.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（三角形有三条中位线）三角形中位线定理：(性质)三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.15.梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。（梯形的中位线有且只有一条）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.二．中心对称图形：（1）定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180O，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.（2）中心对称图形的性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分轴对称图形中心对称图形有一条对称轴——直线有一个对称中心——点沿对称轴对折绕对称中心旋转180O对折后及原图形重合旋转后及原图形重合如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形这条直线叫做对称轴这时,我们也说这个图形关于这条直线对称（3）中心对称的有关定理※1．关于中心对称的两个图形是全等形.※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.三．常识：※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：.2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……；仅是中心对称图形的有：平行四边形……；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…….注意：线段有两条对称轴.边形的的性质：（1）边形的内角和等于．（2）任意多边形的外角和等于（3）边形共有条对角线（4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。（5）正多边形的每个内角等于5．四边形内角及同一个顶点的一个外角互为邻补角．6．顺次连接任意四边形和平行四边形四边中点所得的是四边形是平行四边形。顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的是四边形是菱形，如矩形、等腰梯形或图二中图形等。顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是矩形，如菱形或图三中图形等。顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是正方形，如正方形或图四中图形等。证明类题型：1、在□中，E、F分别是、上的点，且＝ADFEADFEBC2、菱形的对角线交于O点，∥，∥，求证：四边形是矩形。AADECBO3、如图，梯形中，∥，M、N、P、Q分别为、、、的中点。求证：和互相平分。4.已知：如图，平行四边形的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形是矩形。5.如图，在矩形中，对角线、相交于点O，（1），画出△平移后的三角形，其平移的方向为射线的方向，平移的距离为线段的长。（2）观察平移后的图形，除了矩形外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。6.如图所示，已知菱形中E在上，且，∠∠，交于M，试说明。7.已知：如图，△中，∠的平分线交于点D，E是上一点，且，∥交于点F，求证：四边形是菱形。8如图，平行四边形的对角线的垂直平分线及、、分别交于点E、F、O，求证：四边形是菱形。9.已知：如图，C是线段上一点，△和△都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形各边的中点，求证：四边形是菱形。10.如图，已知在△中，，∠B，∠C的平分线、相交于点M，∥，∥，及交于N，求证：四边形是菱形。11.已知：如图所示，为菱形，通过它的对角线的交点O作、的垂线，及、，，分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形为矩形。12.如图，菱形的边长为2，＝2，E、F分别是边，上的两个动点，且满足＋＝2．求证：△≌△；判断△的形状，并说明理由；设△的面积为S，求S的取值范围．13、如图，正方形中，过D做∥，∠=30°，交于点F，求证：=；14、如图，在⊿中，∠=，⊥于D，平分∠，交于G，交于E，⊥于F，求证：四边形是菱形；15、如图，正方形中，F在上，平分∠，E为中点，求证：=+16、已知Δ中，E、F分别为、的中点，平分∠交于D，求证：⊥17、如图所示，以△的三边为边在的同侧分别作三个等边三角形△、△、△，猜想：四边形是什么四边形，试证明你的结论.18、已知：P是正方形对角线上一点，⊥，⊥，E、F分别为垂足.求证：.19、如图,△为等边三角形，D、F分别为、上的点，且＝，以为边作等边△.(1)求证：△≌△.(2)点D在线段上何处时，四边形是平行四边形且∠30°.20、如图，、是矩形的对角线，⊥于H，⊥于G，为∠的平分线，交的延长线于E，求证：=；求值类：1.如图，矩形的对角线相交于点O，⊥，⊥，：1：3，4，求∠的度数和的长。如图所示，矩形中，M是的中点，且⊥，若矩形的周长为36，求此矩形的面积。如图，在矩形中，是上一点，是上一点，，且，矩形的周长为，求及的长．如图所示，已知菱形中，E、F分别在和上，且∠∠60°，∠15°，求∠的度数。已知：如图，在菱形中，E、F分别是、上的点，且。过点C作∥交于H，交于G，若∠25°，∠130°，求∠的度数。已知：如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且＝，⊥．求证：平分∠．如图，在△中，，D、E、F分别是、、上的中点，（1）求证四边形是菱形。（2）若12，求菱形的周长？8、点M、N分别在正方形的边、上，，已知△的周长等于正方形周长的一半，求∠的度数。9、如图，在平行四边形中，=2，E为的中点，求∠的度数；10、如图，以正方形的对角线为一边，延长到E，使=，以为一边作菱形，若菱形的面积为，求正方形边长；11、已知：平行四边形中，11，∠150°，平行四边形的面积是152，求，。12、如图，在⊿中，∠C=，=，=30，矩形的一边在上，顶点G、F分别在、上，若：=1：4，求矩形的面积动点问题：APDBAPDBQC（1）t为何时，四边形为矩形？（2）t为何时，四边形为等腰梯形？2、如图，梯形中为直角坐标系的原点、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿、以每秒2个单位向终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。(1)设从出发起运动了x秒，且x﹥2.5时，Q点的坐标；(2)当x等于多少时，四边形为平行四边形？(3)四边形能否成为等腰梯形？说明理由。POyCPOyC(4,3)QB(14,3))A(14,0)x等腰梯形中，＝15，＝20，∠C＝30º．M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在、（包括端点）上运动．（1）设为x，用x表示出点N到的距离，并写出x的取值范围．（2）设10,用t表示△的面积．（3）求△的面积的最大值，并判断取最大值时△的形状．如图(1)，已知P为正方形的对角线上一点(不及A、C重合)，⊥于点E，⊥于点F.第10题图2第10题图1第10题图2第10题图1(2)如图47(2)，若四边形绕点C旋转，在旋转过程中是否总有？若是，请证明之；若不是，请举出反例；(3)试选取正方形的两个顶点，分别及四边形的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之.5.如图，□中，⊥，＝1，＝．对角线，相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转，分别交，于点E，F．证明：当旋转角为90°时，四边形是平行四边形；试说明在旋转过程中，线段及总保持相等；在旋转过程中，四边形可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时绕点O顺时针旋转的度数．6．如图1，正方形边长为1，G为边上的一个动点（点G及C、D不重合），以为一边向正方形外作正方形，连接交的延长线于点H。（1）求证：①△≌△；②⊥。（2）当点G运动到什么位置时，垂直平分？请说明理由。折叠问题：1、如图，有一块面积为1的正方形，M、N分别为、边的中点，将C点折至上，落在点P的位置，折痕为，连结.(1)求的长度;⑵求证：以为边长的正方形的面积等于.2.折叠矩形纸片，先折出折痕，再折叠使边及对角线重合，得折痕，如图，若2，1，求。3、如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，求证：.常见辅助线的作法有以下几种：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段及原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”截长法及补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段及特定线段相等，或是将某条线段延长，是之及特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△中，5，3，则中线的取值范围是.例2、如图，△中，E、F分别在、上，⊥，D是中点，试比较及的大小.例3、如图，△中，，E是的中点，求证：平分∠.应用：1、（09崇文二模）以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，连接，M、N分别是、的中点．探究：及的位置关系及数量关系．（1）如图①当为直角三角形时，及的位置关系是，线段及的数量关系是；（2）将图①中的等腰绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1、如图，中，2，平分，且，求证：⊥2、如图，∥，分别平分∠,∠，过点E，求证＝3、如图，已知在内，，，P，Q分别在，上，并且，分别是，的角平分线。求证：4、如图，在四边形中，＞＝，平分，求证：5、如图在△中，＞，∠1＝∠2，P为上任意一点，求证＞三、平移变换例1为△的角平分线，直线⊥于为上一点，△周长记为，△周长记为.求证＞.例2如图，在△的边上取两点D、E，且，求证：>.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△中，∠60°，△的角平分线相交于点O，求证：2、如图，△中，平分∠，⊥且平分，⊥于E，⊥于F.（1）说明的理由；（2）如果，，求、的长.链接中考：1．（2010山东莱芜）在平行四边形中，、交于点O，过点O