专题：导数及其应用学生版

专题：导数及其应用【专题要点】导数的定义:利用导数的定义解题;求导数（包括求导函数和某一点的导数）；导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等,复现率较高;导数在实际问题中的应用（利润最大，用料最省，效率最高等优化问题）；综合考查，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机地结合在一起，设计综合问题。包括：函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决单调性、参数的范围等问题，这类问题涉及含参数的不等式、不等式的恒成立的求解；函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值、最值等问题，这类问题涉及求极值和极值点、求最值，有时需要借助方程的知识求解；利用导数的几何意义求切线方程，解决与切线方程有关的问题；通过构造函数，以导数为工具证明不等式；导数与解析几何或函数图像的混合问题，这是一个重要问题，也是高考中考察综合能力的一个方向.【考纲要求】⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.⑵熟记基本导数公式.掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.【网络体系总览】

【知识纵横】1、若某个问题中的函数关系用f(x)表示，问题中的变化率用式子f°2)—'。丿=Af表示,x—x Ax21则式子fGP—fG?称为函数f(x)从xi到&的平均变化率•2、函数f(x)在x=x处的瞬时变化率是lim'*)'WLlim孚，则称它为函数0 AxtO x—x AxtOAx21y=f(x)在x=x处的导数，记作f(x)或y[,即f(x)=lim"0+{)0 0 x=xo 0 Axto Ax3、 函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点pC,f(x))处的切线的斜000率•曲线y=f(x)在点pC,f(x))处的切线的斜率是f(x)，切线的方程为000y—f(x)=f(x)(x—x).若函数在x处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为x=x•000004、 若当x变化时，f(x)是x的函数，则称它为f(x)的导函数(导数)，记作f'(x)或y'，即Axf(x)=y=limf(x+Ax)-f(xAx5、基本初等函数的导数公式:(1)5、基本初等函数的导数公式:(1)若f(x)=c,则f(x)=0；(2)若f(x)=xn(xGQ*),则f(x)=nxn-1；(3)若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx；(4)若f(x)=cosx,则f'(x)=—sinx；(5)若f(x)=ax,则f(x)=axlna；(6)若f(x)=ex，则f(x)=ex；[ A(7)若f(x)=logx,则f(x)=——；(8)若f(x)=lnx,则f(x)=a xlna x6、导数运算法则:(1)[f(x)土g(x)]二广(x)土g，(x)；(2)[f(x).g(x)]二广(x)g(x)+f(x)g，(x)；=f(x)g(x)—f(x)g，(x)(g(x人0)7、对于两个函数y=f(u)和u=g(x),若通过变量u,y可以表示成x的函数，则称这个函数为函数y=f(u)和u=f(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系是y'=y'-u'.x ux8、 在某个区间(a,b)内，若f'(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递增；若f'(x)<0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递减.9、 点a称为函数y=f(x)的极小值点，f(a)称为函数y=f(x)的极小值；点b称为函数y=f(x)的极大值点，f(b)称为函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.10、 求函数y=f(x)的极值的方法是：解方程f'(x)=0.当f'(x)=0时：0如果在x附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，那么f(x)是极大值；0 0如果在x附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，那么f(x)是极小值.0 011、 求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤是：求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【考点目标定位】1•理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2•理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度3•会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4•理解函数极大(小)值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大(小)值.【复习方略指南】在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题【典型例题】1.(05全国卷I)函数f(X)=X3+aX2+3x—9,已知f(x)在x=一3时取得极值，则a=()A.2 B.3 C.4 D.5★2.函数y=2x3-3x2-12x+5在［0,3］上的最大值与最小值分别是()A.5,—15 B.5,4 C.-4,—15 D.5,—16★★3•已知函数f(X)=aX3+CX+d(a丰0)是R上的奇函数，当x=1时/(x)取得极值—2.试求a、c、d的值；求/(x)的单调区间和极大值；★★★4.设函数f(x)二x2小+ax3+bx2，已知x=-2和x=1为f(x)的极值点。求a,b的值；讨论f(x)的单调性；【考点精析】考点3•导数的概念和计算熟记基本导数公式.掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.TOC\o"1-5"\h\z例3.(湖南)过点P(—1,2)且与曲线y=3x2—4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是 .剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用.函数f(x)二(x+1)(x2—x+1)的导数 函数f(x)二ax3+3x2+2，若广(—1)=4，则a的值等于 .设f(x)=xlnx，若f'(x)=2,则x等于()004•设fo(x)二4•设fo(x)二cos吋(x)二f(x)，„，fn+1(x)二f'gnGN，则f20io(x)等于()A.sinx于()A.sinxB.—sinxC.cosxD.—cosx5•设函数f(x)二sin^x3+运严x2+tan0,其中仁[0,誇],则导数f‘⑴的取值范围是()A.[-2,2]B. C.2]D.2]6•已知f(x)二空寸！的导函数为f'(x),则f‘⑴等于(i为虚数单位)()x2A.—1—2i B.—2—2i C.—2+2i D.2—2i7.(2011广州二模文数)已知f(x)=sinx+cosx，f 的导函数，即1 n+1 nf(x)=f'(x)，f(x)=f'(x)，„，f(x)=f'(x)，nGN*，则f(x)=2 1 3 2 n+1 n 2011A.sinx+cosx B.sinx—cosx C.—sinx+cosxD.—sinx—cosx考点4利用导数的几何意义研究曲线的切线问题几何意义：曲线y=f(x)在某一点(x,y)处的导数f'(x)是过点(x,y)的切线斜率k.00000例4.(2012年广东理)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为 ,【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.曲线y=f(x)在点(x0,f(xO))处的切线方程为3x+y+3=O，则A.广(x0)>0 B.广(x0)<0C.广(X0)=0 D.广(X0)不存在(2012年高考(课标文))曲线y二x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 3.(2011江西高考，文4)曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A.1 B.2 C.e D.丄e(2008辽宁)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值冗范围为0，,，则点P横坐标的取值范围为( )_4_A.—1,—2 B.[—10] C.【01] D.]2‘1[已知函数f(x)=x3+x—16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程；(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=—1x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.考点5导数与函数的单调性在某个区间(a,b)内，若f(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递增；若广(x)<0,则函数y=f(x)在这个区间内单调递减.TOC\o"1-5"\h\z例5、(2005广东)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为 ( )A.(2,+8) B.(―^,2) C.(-。0) D.(0,2)【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题.1.(2007广东文)函数f(x)二xInx(x>0)的单调递增区间 .(2009广东文科)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是A.(-8,2) B.(0,3) C.(1,4)D.(2,+8)丄 1(2012年高考(辽宁文))函数y=-x2-lnx的单调递减区间为 ( )厶A.(-1,1] B.(0,1] C.[l,+R) D.(0,+r)4•函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(—8,2) B.(0,3) C.(1,4)D.(2,+8)考点6利用导数求函数的极值或最值利用导数研究函数的极值的一般步骤 (1)确定定义域. (2)求导数f'(x).①若求极值，则先求方程f'(x)=0的根，再检验f'(x)在方程根左、右值的符号，求出极值.(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)②若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在情况，从而求解.求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例6•函数f(x)二x3+ax2+3x—9,已知f(x)在x=-3时取得极值，则a等于()A.2 B.3 C.4 D.52【2012高考陕西文9】设函数f(x)=—+lnx贝I」 ( )x1A.x=2为f(x)的极大值点 B.x=2为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点f(x)=X3-3x2+2在区间［-1,1］上的最大值是()A.-2 B.O C.2 D.4(2012年重庆文)已知函数f(x)二ax3+bx+c在x二2处取得极值为c-16(1)求a、b的值；(2)若/(x)有极大值28,求/(x)在［-3,3］上的最大值.【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用.考点7导数在研究函数中的综合应用例7.(2012广州一模文数)已知函数f(x)二-x3+ax2+b(a,beR).(1)求函数f(x)的单调递增区间；(本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力)1.已知函数f(x)二ax+lnx(aeR) (I)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率;(II)求f(x)的单调区间;f(x)二x_—一aInx(agR). f()2.(湖南文22)设函数 x ，讨论f(X)的单调性;【2012广东佛山市质检文】设agR，函数f(X)=lnX一aX,讨论函数f(X)的单调区间和极值;14.(2012广州二模文数)已知函数f(x)=lnx--ax2+x,agR.，求函数f(x)的单调区间。2建筑总面积f(x)=(560 4建筑总面积f(x)=(560 4x)+2169 100=)05_60兀482000x10800当x>15时，广(x)>02000x xx=15；当0<x<15时，广(x)<05.(2011广州一模文数)已知函数f(x)=x+a(agR),g(x)=Inx.(1)求函数F(x)=f(x)+g(x)的单调区间;考点8•利用导数解决实际问题例8.(2008广东文数)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房•经测算，如果将楼房建为x(x210)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48X(单位：元)•为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用二购地总费用)11【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元，则因此当x=15时，f(x)取最小值f(15)=2000；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

专题：导数及其应用答案【考点精析】考点3•导数的概念和计算例3•解析：y‘=6x—4,.・・切线斜率为6X1—4=2.•••所求直线方程为y—2=2(x+1),即2x—y+4=0.1.解析：f(x)=x3+1, •fO二3x21010解析：f(x)=3ax2+6x，从而使3a—6=4,.a=3. 答案：3由1+lnx=2?知x=e.003.答案:B 解析:f'(由1+lnx=2?知x=e.00x4.答案:D解析：•/f(x)=(cosx)'=-sinx,f(x)=(-sinx)'=-cosx,f(x)=(—cosx)'=sinx,1 2 3f(x)=(sinx)'=cosx,…，由此可知f(x)的值周期性重复出现，周期为4,4 n故f (x)=f(x)=-cosx.201025•答案:D 解析:Vf'(x)=sin0•x2+\：'3cos。•x,f'(1)=sin0+\；3cos0=2sin(0+-|).V0w[0,誇],0+3g[3,乎].sin(0+3)g【号2,1]. .f'(1)g&'2,2].6.答案:D解析：6.答案:D解析：因为f2x2—2x(2x+1)x4所以f(i)=2i2—2i(2i+1)=-2+4—2i=2-2i.i47.利用f(x)的值周期性重复出现答案Dn考点4利用导数的几何意义研究曲线的切线问题例4.解析：y'I=3x12—1=2，所以切线方程为y—3=2(x—1)，即2x—y+1=0.x=1【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.1•解析：由题知广(x0)=—3. 答案：B【解析】Vy'=3lnx+4，•切线斜率为4,则切线方程为：4x—y—3=0.答案:A 解析:y'=ex,当x=0时,e0=1,即y'=l.

3即y二3x2x—2x3，又(1,0)在切线上，则x二0或x二—,- o o 0 2c 15c 25由y二0与y二3即y二3x2x—2x3，又(1,0)在切线上，则x二0或x二—,- o o 0 2c 15c 25由y二0与y二ax2+x—9相切可得a二—-，4 6427 27 15门 . 人x— 与y二ax2+x—9相切可得a=—1，所以选A.当x二0时，03当x=一恳时，由y二/0 2 4 4 4点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁,”在做题中往往需要设出切点.兀5•解：由曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,，可得曲线C在点P处切线的斜率范围_4_为(0,11，又y'二2x+2，设点P的横坐标为x0，则0<2x°+2<1，解得—1<x°<—2，故选A.6.已知函数f(x)=x3+x—16.求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程；直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=—1x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解：(1)Tf'(x)二(x3+x—16)'二3x2+1, 在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.・•・切线的方程为y=13(x-2)+(-6), 即y=13x-32.(2)法一:设切点为(x,y), 贝I」直线l的斜率为f'(x)二3x2+1,0000••・直线l的方程为y二(3x2+1)(x—x)+x3+x—16.0000又丁直线l过点(0,0), ・0-(3x2+1)(—x)+x3+x—16.0000整理得,x3=—8. x=—2. y二(—2)3+(—2)—16=—26,0007y一0x3+x—16

贝gk=—0 =—0 x一0 x00k=37y一0x3+x—16

贝gk=—0 =—0 x一0 x00法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0，y0)，x3+x—16c- 宀又k=f'(x)=3x2+1,00.•・y=(—又k=f'(x)=3x2+1,00.•・y=(—2)3+(—2)—16=—26,0x 0 00k=3X(—2)2+1=13.・•・直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).⑶•・•切线与直线y=-扌+3垂直， ・•・切线的斜率k=4.设切点的坐标为(xo设切点的坐标为(xo,yo)‘则f(x)二3x2+1二4,00.•・x0二±1x=1x=1,0y=-14,J0x=—1,0y=—18.0切线方程为y=4(x-l)-14或y=4(x+l)-l8.即y=4x-18或y=4x-14.考点5导数与函数的单调性例5、解：•/f(x)=3x2-6x,令f'(x)<0,即3x2-6x<0,解得0<x<2，故选D.【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题.TOC\o"1-5"\h\z「1 )2.D【解析】f'(x)=\o"CurrentDocument"1.—,+8-e 丿2.D【解析】f'(x)==(x-2)ex，令f'(x)>0，解得x>213.By=—x2—Inx,.°.y'=x——，由yWO,解得—lWxWl,^x>0,.°.0<xWl,x4.答案:D解析：f(x)=(x—3)-ex,f'(x)=ex(x-2)>0,Ax>2..单调递增区间为(2,+8).考点6利用导数求函数的极值或最值例6.答案:D 解析：因为f(x)=x3+ax2+3x-9,所以f'(x)=3x2+2ax+3.由题意有f'(-3)=0,所以3x(-3)2+2ax(-3)+3=0.由此解得a=5.1.【解析】f'(x)=-+丄= ，令f'(x)=0，则x=2.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x2x x2() 2 1x—2\o"CurrentDocument"当x<2时，f'(x)=— + = <0；x2x x2() 2 1x—2\o"CurrentDocument"当x>2时，f'(x)=— +—= >0.x2x x2即当x<2时，f(x)是单调递减的；当x>2时，f(x)是单调递增的.所以x=2是f(x)的极小值点.故选D.答案:C 解析:f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0可得x=0或2(2舍去)，当-1<x<0时,f'(x)〉0,当0<x<1时,f'(x)〈0,所以当x=0时,f(x)取得最大值为2.13 43.【答案】：(i)27(id27【解析】：：(1)因f(x)=ax3+bx+c故f'(x)=3ax2+b由于f(x)在点x=2处取得极值「广(2)二0 f12a+b=0 「12a+b二0 「a二1故有L(2)- 16即仁” _ 16，化简得仁 一8解得仁_12[f(2)一c—16[8a+2b+c_c—16 [4a+b一—8 [b-—12仃I)由⑴知f(x)_X3—12x+c,f'(x)_3x2—12令f'(x)_0，得x_—2,x_2当xe(—a,-2)时，f'(x)>0故f(x)在(—a,-2)上为增函数;12当xe(—2,2)时，f'(x)<0故f(x)在(—2,2)上为减函数当xe(2,+a)时f'(x)>0，故f(x)在(2,+a)上为增函数.由此可知f(x)在x_—2处取得极大值f(—2)_16+c，f(x)在x_2处取得极小值12f⑵一c—16由题设条件知16+c_28得c_12此时f(—3)_9+c_21,f(3)_—9+c_3，f(2)_c—16_—4因此f(x)上［—3,3］的最小值为f(2)_—4【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用.考点7导数在研究函数中的综合应用例7.(2012广州一模文数)已知函数f(x)_—x3+ax2+b(a,beR).(1)求函数f(x)的单调递增区间；(本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力)(2a\TOC\o"1-5"\h\z(1)解：因为f(x)_—x3+ax2+b，所以fr(x)_—3x2+2ax_—3xx——•… 1分k3丿当a_0时，f'(x)<0，函数f(x)没有单调递增区间； 2分2a2a (22a当a>0时，令f'(x)>0，得0<x<――.故f(x)的单调递增区间为0,—ak3丿2a —当a<0时，令f'(x)>0，得丁<x<0.故f(x)的单调递增区间为-a,0.综上所述，当a_0时，函数f(x)没有单调递增区间;(2)当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为0,-a；k3丿

当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为［2a,0.V3丿i.已知函数f(x)二ax+lnx(agr) (i)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率;(II)求f(x)的单调区间;广⑴二2+1二3f，(x)=2+广⑴二2+1二3解：(I)由已知 x ，故曲线y二f(x)在x二1处切线的斜率为3.f'(x)=a+1=ax+1(x>0)(II) xx①当a>0时，由于x>0，故ax+1>0，f'(x)〉0 所以，f(x)的单调递增区间为©+Q.②当a<0时，由f'(x)=0，得x一a.在区间(0,弓上，广(％)>0，在区间(-a,切上广(％)<°,所以，函数f°)的单调递增区间为©_a)，单调递减区间为'1f(x)二x- -alnx(agR). )2.(湖南文22)设函数 x ，讨论f(x)的单调性;解析：(I解析：(I)f(兀)的定义域为(°,+8).1ax2一ax+1f'(x)=1+ --x2 x令g(x)二x2-ax+1,其判别式口二a2-4.当Ia1<2时，口<0,f'(x)>0,故f(x)在(0,+8)上单调递增.上,a-、■'a2—4a+a2—42,x2当a<-2时，口〉o,g(x)=o的两根都小于0,在(0+8上,a-、■'a2—4a+a2—42,x2x当a>2时，口〉0,g(x)=0的两根为1当0<当0<x<x1时,f'(x)>0;当x1<x<x2时,f'(x)<0；当x>x2时,f'(x)>0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,+8)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减.【2012广东佛山市质检文】设agR，函数f(x)=lnx-ax，讨论函数f(x)的单调区间和极值;【解析】f【解析】f(x)=lnx-ax的定义域为(0®八x)-H-兰①若a<0，则八x)〉0,f(x)是区间"0,+"上的增函数，无极值;_i②若a>°,令广(兀)_°得：a在区间'丿上,广(x)>°,函数f(x)是增函数;在区间"/+)上，广(x)<°,函数f(x)是减函数;在区间(°‘+叫，f(X)的极大值为心=ina-1—1综上所述，①当a-0时,f(x)的递增区间"°, 无极值;TOC\o"1-5"\h\z° f(x) (°,一) (一,)③当a>°时，f(x丿的是递增区间a，递减区间是a，f() f(_)_—Ina—1函数f(X)的极大值为 a . 9分14.(2°12广州二模文数)已知函数f(x)_lnx--ax2+x,aeR.，求函数f(x)的单调区间。2(1)解：函数f