人教版数学《二次函数》中考专题复习中考考点分析课件

考点一二次函数的图象与性质1.(2019浙江温州,9,4分)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内,下列说法正确的是

()A.有最大值-1,有最小值-2

B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1

D.有最大值7,有最小值-2答案

D

y=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1≤x≤3).由图象可知当x=2时,y取得最小值-2,当x=-1时,y取得最大值7.故选D.

考点一二次函数的图象与性质1.(2019浙江温州,9,4分12.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

C当x=1时,y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-

=-

<0,

=

=

<0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.2.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a23.(2018湖北黄冈,6,3分)当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为

()A.-1

B.2

C.0或2

D.-1或2答案

D

y=x2-2x+1=(x-1)2,当a≥1时,函数y=x2-2x+1在a≤x≤a+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a+1,

则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+1≤1,即a≤0时,函数y=x2-2x+1在a≤x≤a+1内,y随x的增大而减小,其

最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);当0<a<1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最

小值为0,不合题意.综上,a的值为-1或2,故选D.3.(2018湖北黄冈,6,3分)当a≤x≤a+1时,函数y34.(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为

()A.y=3(x-3)2-3

B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3

D.y=3x2-6答案

A直接根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律进行解答即可.选A.4.(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右45.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,

Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是

.答案

a>1或a<-15.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x5解析解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),与y

轴的交点为(0,1-a).分两种情况:①当a<0时,如图(1),要满足题意,则需a-1>2a,可得a<-1;②当a>0时,如图(2),要满足题意,则需a-1>0,可得a>1.综上,实数a的取值范围是a>1或a<-1.

解法二:∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且都在x轴的下方,解析解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,6∴令y=x-a+1<0,解得x<a-1.令y=x2-2ax<0,当a>0时,解得0<x<2a;当a<0时,解得2a<x<0.分两种情况:①当a>0时,若

有解,则a-1>0,解得a>1;②当a<0时,若

有解,则2a<a-1,解得a<-1.综上,实数a的取值范围是a>1或a<-1.思路分析

考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a<0和a>0两种情况,解法一:由于二次函数的图

象过原点,结合图象知只需满足直线y=x-a+1与二次函数图象相交的最左边交点在x轴的下方即可,从而得出

关于a的不等式;解法二:分别在a<0和a>0两种情况下满足

有解,解之即可.难点突破

根据二次函数图象的特点分a<0和a>0两种情况考虑是解答本题的突破口.∴令y=x-a+1<0,解得x<a-1.思路分析

考虑76.(2019内蒙古呼和浩特,16,3分)对任意实数a,若多项式2b2-5ab+3a2的值总大于-3,则实数b的取值范围是

.答案-6<b<6解析2b2-5ab+3a2=3

-

b2+2b2=3

-

b2,又因为对于任意实数a,多项式2b2-5ab+3a2即3

-

b2的值总大于-3,所以-

b2>-3,所以-6<b<6.6.(2019内蒙古呼和浩特,16,3分)对任意实数a,若多87.(2019浙江温州,21,10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-

x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围;(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左

平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.

7.(2019浙江温州,21,10分)如图,在平面直角坐标系9解析(1)令y=0,则-

x2+2x+6=0,∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0).由函数图象得,当y≥0时,-2≤x≤6.(2)由题意得B1(6,m),∴B2(6-n,m),B3(-n,m),函数图象的对称轴为直线x=

=2.∵点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,∴

=2,∴n=1,∴m=-

×(-1)2+2×(-1)+6=

,∴m,n的值分别为

,1.解析(1)令y=0,则- x2+2x+6=0,108.(2017江西,22,9分)已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0).(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;(2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式;(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.

备用图8.(2017江西,22,9分)已知抛物线C1:y=ax2-11解析(1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5.

(1分)令y=0,则x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,∴抛物线C1与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0),

(2分)对称轴为直线x=2.

(3分)(2)①由抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0),可得其对称轴为直线x=-

=2.

(4分)令x=0,得y=-5.∴抛物线C1过定点(0,-5).

(5分)易知点(0,-5)关于直线x=2的对称点为点(4,-5),∴由抛物线的对称性可知,无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点(0,-5)和(4,-5).

(6分)②y=-ax2+4ax-5(或y=-a(x-2)2+4a-5).

(7分)解析(1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5. (12提示:设抛物线C2的表达式为y=-a(x-2)2+b,将点(0,-5)的坐标代入求出b即可.(3)对于抛物线C2:y=-ax2+4ax-5,当x=2时,y=4a-5,∴抛物线C2的顶点坐标为(2,4a-5),

(8分)∴|4a-5|=2,解得a1=

,a2=

.

(9分)提示:设抛物线C2的表达式为y=-a(x-2)2+b,将点(13考点二系数a、b、c的作用1.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是

()

A.c<0

B.b2-4ac<0C.a-b+c<0

D.图象的对称轴是直线x=3答案

D抛物线与y轴的正半轴相交,所以c>0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0;当x=-1时,y=a-b+c,

由题图可知a-b+c>0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=

=3,选项D正确,故选D.考点二系数a、b、c的作用1.(2019四川成都,10,3142.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是

()A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0C.abc<0,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<0答案

B因为抛物线的开口向上,所以a>0,又对称轴在y轴右侧,所以-

>0,所以b<0,因为抛物线与y轴交于负半轴,所以c<0,所以abc>0;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0,故选B.思路分析

本题考查二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴,以及与y轴的交点位置来

判断a,b,c的符号,由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号.2.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中153.(2016湖南长沙,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴最多有一个交点.现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴在y轴左侧;②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;③a-b+c≥0;④

的最小值为3.其中,正确结论的个数为

()A.1个

B.2个

C.3个

D.4个3.(2016湖南长沙,12,3分)已知抛物线y=ax2+b16答案

D∵b>a>0,∴-

<0,∴①正确;∵抛物线与x轴最多有一个交点,∴b2-4ac≤0,∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0的判别式Δ=b2-4a(c+2)=b2-4ac-8a<0,∴②正确;∵a>0,且抛物线与x轴最多有一个交点,∴y≥0,∴当x=-1时,a-b+c≥0,∴③正确;∵y≥0,∴当x=-2时,4a-2b+c≥0,答案

D∵b>a>0,∴- <0,∴①正确;17即a+b+c≥3b-3a,即a+b+c≥3(b-a),∵b>a,∴b-a>0,∴

≥3,∴④正确.故选D.即a+b+c≥3b-3a,184.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经

过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.4.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直19解析(1)将x=0代入y=4x+4,得y=4,∴B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度得到点C,∴C(5,4).(2)将y=0代入y=4x+4,得x=-1,∴A(-1,0).将(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,∴抛物线的对称轴为直线x=-

=-

=1.(3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的对称

点(3,0).①a>0时,如图1.解析(1)将x=0代入y=4x+4,得y=4,∴B(0,420

图1将x=5代入抛物线的解析式得y=12a,∴12a≥4,∴a≥

.②a<0,且抛物线顶点不在线段BC上时,如图2.

21

图2将x=0代入抛物线解析式得y=-3a,∵抛物线与线段BC恰有一个公共点,∴-3a>4,∴a<-

.若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.

22

图3将(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a,∴a=-1.综上所述,a≥

或a<-

或a=-1.

23考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2019山东潍坊,12,3分)抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实

数)在-1<x<4的范围内有实数根,则t的取值范围是

()A.2≤t<11

B.t≥2

C.6<t<11

D.2≤t<6答案

A∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1,∴b=-2,∴y=x2-2x+3,∴一元二次方程x2+bx+3-t=0有实数根可以看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,对于y=x2-2x+3,当x=-1时,y=6,当x=4时,y=11,函数y=x2-2x+3在x=1时有最小值2,∴2≤t<11.故选A.思路分析

根据所给的抛物线的对称轴求出函数解析式为y=x2-2x+3,将一元二次方程x2+bx+3-t=0有实数根

看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,再由-1<x<4确定y的取值范围即可求解.考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2019山东潍242.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,

确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则

()A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确2.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=25答案

D抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)可以看作抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)沿y轴向上平移c个单位形成的,

一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+2沿y轴向下平移c个单

位形成的直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共点.当直线y=x+2-c(即l2)经过原点时,0+2-c=0,c

=2;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)时,3+2-c=0,c=5,根据图象可得当2<c≤5时,直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x

-3)(0≤x≤3)有唯一公共点,即一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.显然c=3,4,5.

当直线y=x+2-c为图中l1时,直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共点.令-x(x-3)=x+2-c,得x2-2x+2

-c=0,Δ=4-4(2-c)=0,解得c=1.因此甲、乙的结果合在一起也不正确,故选D.

答案

D抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3263.(2017四川绵阳,10,3分)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一

次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是

()A.b>8

B.b>-8C.b≥8

D.b≥-8答案

D由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.

将①代入②得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以Δ=(-8)2-4(8-b)=4b+32≥0,所以b≥-8,故选D.3.(2017四川绵阳,10,3分)将二次函数y=x2的图象274.(2016广西南宁,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=

x的图象如图所示,则方程ax2+

x+c=0(a≠0)的两根之和

()A.大于0

B.等于0C.小于0

D.不能确定4.(2016广西南宁,12,3分)二次函数y=ax2+bx28答案

A根据题图可知a>0,b<0,b2-4ac>0.在方程ax2+

x+c=0(a≠0)中,Δ=

-4ac=b2-

b+

-4ac=b2-4ac-

b+

>0,设此方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-

=-

+

>0,故选A.答案

A根据题图可知a>0,b<0,b2-4ac>0295.(2019山东潍坊,17,3分)如图,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△PAB

的周长最小时,S△PAB=

.

答案

5.(2019山东潍坊,17,3分)如图,直线y=x+1与抛30解析联立直线与抛物线的解析式得方程组

解得

或

∴点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),∴AB=

=3

,作点A关于y轴的对称点A',则A'(-1,2),连接A'B与y轴交于P',则当点P与P'重合时,△PAB的周长最小,设直线A'B的解析式为y=kx+b,k≠0,则

解得

∴直线A'B的解析式为y=

x+

,当x=0时,y=

,即点P'的坐标为

,解析联立直线与抛物线的解析式得方程组 解得 或 31将x=0代入y=x+1中,得y=1,∵直线y=x+1与y轴的夹角是45°,∴点P'到直线AB的距离是

×sin45°=

×

=

,∴△P'AB的面积是

=

.∴当△PAB的周长最小时,S△PAB=

.

将x=0代入y=x+1中,得y=1,326.(2018湖北黄冈,22,8分)已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.解析(1)证明:令x2-4x=kx+1,则x2-(4+k)x-1=0,因为Δ=(4+k)2+4>0,所以直线l与该抛物线总有两个交点.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l与y轴的交点为C,则C点的坐标为(0,1),易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1,所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2

,所以△OAB的面积S=

·OC·|x1-x2|=

×1×2

=

.6.(2018湖北黄冈,22,8分)已知直线l:y=kx+1337.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-

与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P

,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.7.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,抛34解析(1)∵抛物线y=ax2+bx-

与y轴交于点A,∴点A的坐标为

.∵将点A向右平移2个单位长度,得到点B,∴点B的坐标为

.(2)∵点B

在抛物线上,∴4a+2b-

=-

,即b=-2a.∴抛物线的对称轴为x=1.(3)点A

,B

,P

.当a>0时,-

<0,如图1.解析(1)∵抛物线y=ax2+bx- 与y轴交于点A,35

图1令抛物线上的点C

.∵当x<1时,y随x的增大而减小,∴yC<-

.令抛物线上的点D(xD,2)(xD>1).∵当x>1时,y随x的增大而增大,∴xD>2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.

36当a<0时,(i)当-

<a<0时,-

>2,如图2.

图2令抛物线上的点C

.∵当x<1时,y随x的增大而增大,∴yC>-

.令抛物线上的点D(xD,2)(xD>1).当a<0时,37∵当x>1时,y随着x的增大而减小,∴xD>2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.(ii)当a=-

时,A(0,2),B(2,2),P

,Q(2,2),如图3.

图3结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2,2).(iii)当a<-

时,0<-

<2,如图4.∵当x>1时,y随着x的增大而减小,38

图4令抛物线上的点C

.∵当x<1时,y随x的增大而增大,∴yC>-

.令抛物线上的点D(xD,yD)

,∵当x>1时,y随x的增大而减小,∴xD<2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点.综上所述,a的取值范围为a≤-

. 综上所述,a的取值范围为a≤- .39思路分析

本题第(3)问需要对a的大小进行分类讨论,同时要关注抛物线与y轴的交点坐标.解题关键

解决本题的关键是分情况讨论后精准画图,要在探究的过程中发现点P与点A,B纵坐标相等的

关系,进而关注点Q与抛物线的关系.思路分析

本题第(3)问需要对a的大小进行分类讨论,同408.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二

次函数图象的顶点.(1)求k,a,c的值;(2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W=

OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.8.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次41解析(1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2

+c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1,2)也在

二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从而a=-2.

(6分)(2)解法一:因为点A的坐标为(0,m)(0<m<4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,

所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为(-x0,m),故BC=2|x0|.又点B在二次函数y=-2x2+4的图象

上,所以-2

+4=m,即

=2-

,从而BC2=4

=8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0<m<4),所以m=1时,W有最小值7.

(12分)解法二:由(1)得二次函数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0<m<4),过点A且垂直于y轴的直线与

二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1=

,x2=-

.所以BC=2

,又OA=m,从而W=OA2+BC2=m2+

=m2-2m+8=(m-1)2+7(0<m<4).所以m=1时,W有最小值7.

(12分)解析(1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,42思路分析

(1)将(1,2)代入一次函数解析式求出k,代入二次函数解析式得a+c=2,由题意可判断点(0,c)也在

一次函数图象上,从而求得a,c.(2)解法一:由题意可设点B(x0,m),由二次函数的对称性可得点C(-x0,m),可得BC

=2|x0|,依据B点在二次函数的图象上,得出

=2-

,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据二次函数的性质求出最值.解法二:由(1)可令-2x2+4=m,求出两根,从而得BC的长,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据

二次函数的性质求出最值.思路分析

(1)将(1,2)代入一次函数解析式求出k,439.(2017北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交

于点C.(1)求直线BC的表达式;(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3).若x1<x2<x3,结合函数的图象,

求x1+x2+x3的取值范围.9.(2017北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,抛44解析(1)令y=0,即0=x2-4x+3,解得x=1或x=3.∵抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),∴点A,B的坐标分别为(1,0),(3,0).令x=0,得y=3.∵抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0,3).设直线BC的表达式为y=kx+b,k≠0,∴

解得

∴直线BC的表达式为y=-x+3.(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.由题意可知,点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)关于直线x=2对称,解析(1)令y=0,即0=x2-4x+3,解得x=1或x=45∴x2-2=2-x1,∴x1+x2=4.由x1<x2<x3,结合函数的图象,可得-1<y3<0,即-1<-x3+3<0,解得3<x3<4.∴7<x1+x2+x3<8.

∴x2-2=2-x1,∴x1+x2=4.4610.(2016河北,26,12分)如图,抛物线L:y=-

(x-t)(x-t+4)(常数t>0)与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线y=

(k>0,x>0)于点P,且OA·MP=12.(1)求k值;(2)当t=1时,求AB长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标;(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4≤x0≤6,通过L位置随t变化的过程,

写出t的取值范围.

10.(2016河北,26,12分)如图,抛物线L:y=- 47解析(1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M知OA=2x,代入OA·MP=12,得2x·y=12,即xy=6.∴k=xy=6.

(3分)(2)当t=1时,令y=0,得0=-

(x-1)(x+3),∴x1=1,x2=-3.由B在A左边,得B(-3,0),A(1,0),∴AB=4.

(5分)∵L的对称轴为x=-1,而M的坐标为

,∴MP与L对称轴之间的距离为

.

(6分)(3)∵A(t,0),B(t-4,0),∴L的对称轴为x=t-2.

(7分)又MP为x=

,解析(1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M知48当t-2≤

,即t≤4时,顶点(t-2,2)就是G的最高点;当t>4时,L与MP的交点

就是G的最高点.

(10分)(4)5≤t≤8-

或7≤t≤8+

.

(12分)[注:如果考生答“5≤t≤8+

”给1分]当t-2≤ ,即t≤4时,顶点(t-2,2)就是G的最高点;49【供评卷人参考:(4)的简解.对于双曲线,当4≤x0≤6时,1≤y0≤

,即L与双曲线在C

,D(6,1)之间的一段有个交点.①由

=-

(4-t)(4-t+4),得t1=5,t2=7;②由1=-

(6-t)(6-t+4),得t3=8-

,t4=8+

.随着t的逐渐增大,L位置随着点A(t,0)向右平移,如图所示.

【供评卷人参考:(4)的简解.50当t=5时,L右侧过点C;当t=8-

<7时,L右侧过点D.即5≤t≤8-

.当8-

<t<7时,L右侧离开了点D,而左侧未到点C,即L与该段无交点,舍去.当t=7时,L左侧过点C;当t=8+

时,L左侧过点D.即7≤t≤8+

】当t=5时,L右侧过点C;当t=8- <7时,L右侧过点D.5111.(2017福建,25,14分)已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且a<b.(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);(2)说明直线与抛物线有两个交点;(3)直线与抛物线的另一个交点记为N.(i)若-1≤a≤-

,求线段MN长度的取值范围;(ii)求△QMN面积的最小值.11.(2017福建,25,14分)已知直线y=2x+m与抛52解析(1)因为抛物线过点M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a.所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a

-

,所以抛物线顶点Q的坐标为

.(2)因为直线y=2x+m经过点M(1,0),所以0=2×1+m,解得m=-2.把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,①所以Δ=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4,由(1)知b=-2a,又a<b,所以a<0,b>0.所以Δ>0,所以方程①有两个不相等的实数根,故直线与抛物线有两个交点.(3)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,解析(1)因为抛物线过点M(1,0),所以a+a+b=0,53得ax2+(a-2)x-2a+2=0,即x2+

x-2+

=0,所以

=

,解得x1=1,x2=

-2,所以点N

.(i)根据勾股定理得,MN2=

+

=

-

+45=20

,因为-1≤a≤-

,由反比例函数的性质知-2≤

≤-1,所以

-

<0,所以MN=2

=3

-

,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,即x2+ x-2+ =54所以5

≤MN≤7

.(ii)作直线x=-

交直线y=2x-2于点E.

把x=-

代入y=2x-2得,y=-3,即E

.又因为M(1,0),N

,且由(2)知a<0,所以△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM=

·

=

-

-

.即27a2+(8S-54)a+24=0,②因为关于a的方程②有实数根,所以5 ≤MN≤7 .55所以Δ=(8S-54)2-4×27×24≥0,即(8S-54)2≥(36

)2,又因为a<0,所以S=

-

-

>

,所以8S-54>0,所以8S-54≥36

,即S≥

+

,当S=

+

时,由方程②可得a=-

满足题意.故当a=-

,b=

时,△QMN面积的最小值为

+

.所以Δ=(8S-54)2-4×27×24≥0,5612.(2016内蒙古呼和浩特,25,12分)已知二次函数y=ax2-2ax+c(a<0)的最大值为4,且抛物线过点

.点P(t,0)是x轴上的动点,抛物线与y轴的交点为C,顶点为D.(1)求该二次函数的解析式及顶点D的坐标;(2)求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标;(3)设Q(0,2t)是y轴上的动点,若线段PQ与函数y=a|x|2-2a|x|+c的图象只有一个公共点,求t的取值.12.(2016内蒙古呼和浩特,25,12分)已知二次函数y57解析(1)y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=1,所以抛物线过(1,4)和

两点.

(1分)代入解析式得

(2分)解得a=-1,c=3,∴y=-x2+2x+3,

(3分)∴顶点D的坐标为(1,4).

(4分)(2)∵C、D两点的坐标为(0,3),(1,4),由三角形两边之差小于第三边可知|PC-PD|≤|CD|,

(5分)∴P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值,此时最大值为|CD|=

.

(6分)易知CD所在直线的方程为y=x+3,将(t,0)代入得t=-3,解析(1)y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=1,58∴此时对应的点P的坐标为(-3,0).

(7分)(3)y=a|x|2-2a|x|+c的解析式可化为y=

(8分)设线段PQ所在直线的方程为y=kx+b(k≠0),将P(t,0),Q(0,2t)的坐标代入得线段PQ所在直线的方程为y=-2x+2t.(9分)∴①当线段PQ过点(0,3),即点Q与点C重合时,线段PQ与函数y=

的图象有一个公共点,此时t=

,当线段PQ过点(3,0),即点P与点(3,0)重合时,t=3,此时线段PQ与y=

的图象有两个公共点,所以当

≤t<3时,线段PQ与y=

的图象有一个公共点.

(10分)②将y=-2x+2t代入y=-x2+2x+3(x≥0)得-x2+4x+3-2t=0,∴此时对应的点P的坐标为(-3,0). (7分)59令Δ=16+4(3-2t)=0,解得t=

>0,所以当t=

时,线段PQ与y=

的图象也有一个公共点.

(11分)③当线段PQ过点(-3,0),即点P与点(-3,0)重合时,线段PQ只与y=-x2-2x+3(x<0)的图象有一个公共点,此时t=-3,所以当t≤-3时,线段PQ与y=

的图象也有一个公共点.综上所述,t的取值为

≤t<3或t=

或t≤-3.

(12分)令Δ=16+4(3-2t)=0,解得t= >0,60考点一二次函数的图象与性质1.(2019浙江温州,9,4分)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内,下列说法正确的是

()A.有最大值-1,有最小值-2

B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1

D.有最大值7,有最小值-2答案

D

y=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1≤x≤3).由图象可知当x=2时,y取得最小值-2,当x=-1时,y取得最大值7.故选D.

考点一二次函数的图象与性质1.(2019浙江温州,9,4分612.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

C当x=1时,y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-

=-

<0,

=

=

<0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.2.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a623.(2018湖北黄冈,6,3分)当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为

()A.-1

B.2

C.0或2

D.-1或2答案

D

y=x2-2x+1=(x-1)2,当a≥1时,函数y=x2-2x+1在a≤x≤a+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a+1,

则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+1≤1,即a≤0时,函数y=x2-2x+1在a≤x≤a+1内,y随x的增大而减小,其

最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);当0<a<1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最

小值为0,不合题意.综上,a的值为-1或2,故选D.3.(2018湖北黄冈,6,3分)当a≤x≤a+1时,函数y634.(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为

()A.y=3(x-3)2-3

B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3

D.y=3x2-6答案

A直接根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律进行解答即可.选A.4.(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右645.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,

Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是

.答案

a>1或a<-15.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x65解析解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),与y

轴的交点为(0,1-a).分两种情况:①当a<0时,如图(1),要满足题意,则需a-1>2a,可得a<-1;②当a>0时,如图(2),要满足题意,则需a-1>0,可得a>1.综上,实数a的取值范围是a>1或a<-1.

解法二:∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且都在x轴的下方,解析解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,66∴令y=x-a+1<0,解得x<a-1.令y=x2-2ax<0,当a>0时,解得0<x<2a;当a<0时,解得2a<x<0.分两种情况:①当a>0时,若

有解,则a-1>0,解得a>1;②当a<0时,若

有解,则2a<a-1,解得a<-1.综上,实数a的取值范围是a>1或a<-1.思路分析

考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a<0和a>0两种情况,解法一:由于二次函数的图

象过原点,结合图象知只需满足直线y=x-a+1与二次函数图象相交的最左边交点在x轴的下方即可,从而得出

关于a的不等式;解法二:分别在a<0和a>0两种情况下满足

有解,解之即可.难点突破

根据二次函数图象的特点分a<0和a>0两种情况考虑是解答本题的突破口.∴令y=x-a+1<0,解得x<a-1.思路分析

考虑676.(2019内蒙古呼和浩特,16,3分)对任意实数a,若多项式2b2-5ab+3a2的值总大于-3,则实数b的取值范围是

.答案-6<b<6解析2b2-5ab+3a2=3

-

b2+2b2=3

-

b2,又因为对于任意实数a,多项式2b2-5ab+3a2即3

-

b2的值总大于-3,所以-

b2>-3,所以-6<b<6.6.(2019内蒙古呼和浩特,16,3分)对任意实数a,若多687.(2019浙江温州,21,10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-

x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围;(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左

平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.

7.(2019浙江温州,21,10分)如图,在平面直角坐标系69解析(1)令y=0,则-

x2+2x+6=0,∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0).由函数图象得,当y≥0时,-2≤x≤6.(2)由题意得B1(6,m),∴B2(6-n,m),B3(-n,m),函数图象的对称轴为直线x=

=2.∵点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,∴

=2,∴n=1,∴m=-

×(-1)2+2×(-1)+6=

,∴m,n的值分别为

,1.解析(1)令y=0,则- x2+2x+6=0,708.(2017江西,22,9分)已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0).(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;(2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式;(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.

备用图8.(2017江西,22,9分)已知抛物线C1:y=ax2-71解析(1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5.

(1分)令y=0,则x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,∴抛物线C1与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0),

(2分)对称轴为直线x=2.

(3分)(2)①由抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0),可得其对称轴为直线x=-

=2.

(4分)令x=0,得y=-5.∴抛物线C1过定点(0,-5).

(5分)易知点(0,-5)关于直线x=2的对称点为点(4,-5),∴由抛物线的对称性可知,无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点(0,-5)和(4,-5).

(6分)②y=-ax2+4ax-5(或y=-a(x-2)2+4a-5).

(7分)解析(1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5. (72提示:设抛物线C2的表达式为y=-a(x-2)2+b,将点(0,-5)的坐标代入求出b即可.(3)对于抛物线C2:y=-ax2+4ax-5,当x=2时,y=4a-5,∴抛物线C2的顶点坐标为(2,4a-5),

(8分)∴|4a-5|=2,解得a1=

,a2=

.

(9分)提示:设抛物线C2的表达式为y=-a(x-2)2+b,将点(73考点二系数a、b、c的作用1.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是

()

A.c<0

B.b2-4ac<0C.a-b+c<0

D.图象的对称轴是直线x=3答案

D抛物线与y轴的正半轴相交,所以c>0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0;当x=-1时,y=a-b+c,

由题图可知a-b+c>0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=

=3,选项D正确,故选D.考点二系数a、b、c的作用1.(2019四川成都,10,3742.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是

()A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0C.abc<0,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<0答案

B因为抛物线的开口向上,所以a>0,又对称轴在y轴右侧,所以-

>0,所以b<0,因为抛物线与y轴交于负半轴,所以c<0,所以abc>0;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0,故选B.思路分析

本题考查二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴,以及与y轴的交点位置来

判断a,b,c的符号,由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号.2.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中753.(2016湖南长沙,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴最多有一个交点.现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴在y轴左侧;②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;③a-b+c≥0;④

的最小值为3.其中,正确结论的个数为

()A.1个

B.2个

C.3个

D.4个3.(2016湖南长沙,12,3分)已知抛物线y=ax2+b76答案

D∵b>a>0,∴-

<0,∴①正确;∵抛物线与x轴最多有一个交点,∴b2-4ac≤0,∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0的判别式Δ=b2-4a(c+2)=b2-4ac-8a<0,∴②正确;∵a>0,且抛物线与x轴最多有一个交点,∴y≥0,∴当x=-1时,a-b+c≥0,∴③正确;∵y≥0,∴当x=-2时,4a-2b+c≥0,答案

D∵b>a>0,∴- <0,∴①正确;77即a+b+c≥3b-3a,即a+b+c≥3(b-a),∵b>a,∴b-a>0,∴

≥3,∴④正确.故选D.即a+b+c≥3b-3a,784.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经

过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.4.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直79解析(1)将x=0代入y=4x+4,得y=4,∴B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度得到点C,∴C(5,4).(2)将y=0代入y=4x+4,得x=-1,∴A(-1,0).将(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,∴抛物线的对称轴为直线x=-

=-

=1.(3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的对称

点(3,0).①a>0时,如图1.解析(1)将x=0代入y=4x+4,得y=4,∴B(0,480

图1将x=5代入抛物线的解析式得y=12a,∴12a≥4,∴a≥

.②a<0,且抛物线顶点不在线段BC上时,如图2.

81

图2将x=0代入抛物线解析式得y=-3a,∵抛物线与线段BC恰有一个公共点,∴-3a>4,∴a<-

.若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.

82

图3将(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a,∴a=-1.综上所述,a≥

或a<-

或a=-1.

83考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2019山东潍坊,12,3分)抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实

数)在-1<x<4的范围内有实数根,则t的取值范围是

()A.2≤t<11

B.t≥2

C.6<t<11

D.2≤t<6答案

A∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1,∴b=-2,∴y=x2-2x+3,∴一元二次方程x2+bx+3-t=0有实数根可以看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,对于y=x2-2x+3,当x=-1时,y=6,当x=4时,y=11,函数y=x2-2x+3在x=1时有最小值2,∴2≤t<11.故选A.思路分析

根据所给的抛物线的对称轴求出函数解析式为y=x2-2x+3,将一元二次方程x2+bx+3-t=0有实数根

看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,再由-1<x<4确定y的取值范围即可求解.考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2019山东潍842.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,

确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则

()A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确2.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=85答案

D抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)可以看作抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)沿y轴向上平移c个单位形成的,

一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+2沿y轴向下平移c个单

位形成的直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共点.当直线y=x+2-c(即l2)经过原点时,0+2-c=0,c

=2;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)时,3+2-c=0,c=5,根据图象可得当2<c≤5时,直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x

-3)(0≤x≤3)有唯一公共点,即一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.显然c=3,4,5.

当直线y=x+2-c为图中l1时,直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共点.令-x(x-3)=x+2-c,得x2-2x+2

-c=0,Δ=4-4(2-c)=0,解得c=1.因此甲、乙的结果合在一起也不正确,故选D.

答案

D抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3863.(2017四川绵阳,10,3分)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一

次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是

()A.b>8

B.b>-8C.b≥8

D.b≥-8答案

D由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.

将①代入②得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以Δ=(-8)2-4(8-b)=4b+32≥0,所以b≥-8,故选D.3.(2017四川绵阳,10,3分)将二次函数y=x2的图象874.(2016广西南宁,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=

x的图象如图所示,则方程ax2+

x+c=0(a≠0)的两根之和

()A.大于0

B.等于0C.小于0

D.不能确定4.(2016广西南宁,12,3分)二次函数y=ax2+bx88答案

A根据题图可知a>0,b<0,b2-4ac>0.在方程ax2+

x+c=0(a≠0)中,Δ=

-4ac=b2-

b+

-4ac=b2-4ac-

b+

>0,设此方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-

=-

+

>0,故选A.答案

A根据题图可知a>0,b<0,b2-4ac>0895.(2019山东潍坊,17,3分)如图,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△PAB

的周长最小时,S△PAB=

.

答案

5.(2019山东潍坊,17,3分)如图,直线y=x+1与抛90解析联立直线与抛物线的解析式得方程组

解得

或

∴点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),∴AB=

=3

,作点A关于y轴的对称点A',则A'(-1,2),连接A'B与y轴交于P',则当点P与P'重合时,△PAB的周长最小,设直线A'B的解析式为y=kx+b,k≠0,则

解得

∴直线A'B的解析式为y=

x+

,当x=0时,y=

,即点P'的坐标为

,解析联立直线与抛物线的解析式得方程组 解得 或 91将x=0代入y=x+1中,得y=1,∵直线y=x+1与y轴的夹角是45°,∴点P'到直线AB的距离是

×sin45°=

×

=

,∴△P'AB的面积是

=

.∴当△PAB的周长最小时,S△PAB=

.

将x=0代入y=x+1中,得y=1,926.(2018湖北黄冈,22,8分)已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k