（精解版）安徽省宣城市2022届高三下学期第二次调研考试文科数学试题（解析版）

宣城市2022届高三年级第二次调研测试数学（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先对复数化简，再求其共轭复数，从而可求得答案【详解】因为，所以其共轭复数为，则其虚部为，故选：B2.已知集合，，则（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：∵，，∴，故选：D．3.在长方体中，，，则异面直线与所成角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】即为异面直线与所成的角，利用解直角三角形可求其大小.【详解】由长方体的性质可得，故即为异面直线与所成的角，在直角三角形中，，，故，而为锐角，故.故选：A.4.我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（）A.32盏 B.64盏 C.128盏 D.196盏【答案】C【解析】【分析】根据等比数列前项和公式，计算首项.【详解】设最底层的灯数为，公比，，解得：故选：C5.已知直线与圆相交于A，两点，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由知OA⊥OB，△OAB为等腰直角三角形，底边上的高即为圆心到直线的距离，再利用点到直线距离的距离公式可求出m的值，根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】方法1：由知，圆心到直线的距离为，即，即，则“”是“”的必要不充分条件.方法2：设，联立，化为，，解得，，∵，∴，，，，解得，符合，则“”是“”的必要不充分条件.故选：B.6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（）

A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值逐个分析判断即可【详解】由图象可知，函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数，对于A，，所以是偶函数，当时，令，则，得，则当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以A不合题意，对于B，因为，所以是奇函数，所以不合题意，对于C，因为，所以是偶函数，当时，令，则，得，所以当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以符合题意，对于D，因为，所以奇函数，所以不合题意，故选：C7.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的单调性逐个分析判断每一个与中间量的大小即可【详解】因为在上为减函数，且，所以，所以，即，因为在上为减函数，且，所以，所以，即，因为在上为增函数，且，所以，所以，即，所以，故选：A8.已知数列{an}为等差数列，若a1，a6为函数的两个零点，则a3a4＝（）A.-14 B.9 C.14 D.20【答案】D【解析】【分析】由韦达定理得a1+a6＝9，a1a6＝14，解得a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，分类讨论即可得到答案.【详解】∵等差数列{an}中，a1，a6为函数的两个零点，∴a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，当a1＝2，a6＝7时，，a3＝4，a4＝5，所以a3a4＝20．当a1＝7，a6＝2时，，a3＝5，a4＝4，所以a3a4＝20．故选：D．【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到函数的零点问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.9.若函数的图象过点，相邻两条对称轴间的距离是，则下列四个结论中，正确的个数是（）①函数的最小正周期为；②函数的图象的一条对称轴是直线；③函数在区间上是减函数；④把函数的图象向右平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称．A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】先求出函数，根据性质判断即可.【详解】因为函数相邻两条对称轴间的距离是，所以周期，所以，故①正确；又函数图象过点，所以，即，所以，所以，因为，所以当时，满足题意，所以函数；令，即，令，解得，故②正确；令，即，即函数的单调递减区间为：，当时，函数的单调递减区间为：，当时，函数的单调递减区间为：，所以，故③错误；把函数的图象向右平移个单位长度得，为偶函数，图像关于轴对称，故④正确.故选：B.10.设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（）A.14 B.17 C.20 D.23【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程和椭圆的定义求出，再通过余弦定理和平面向量数量积的定义即可求得答案.【详解】设，由题意.易知，，则，，于是由余弦定理可得，即.故选：D.11.已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可求最小值.【详解】设，则，故，其中，，由，当且仅当，时等号成立，此时，满足，故的最小值为，故选：D.12.若对任意的，且，都有成立，则m的最小值是（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】题目考察构造函数的问题，将已知不等式变形后即可判断函数的单调性，根据单调区间求解m的取值范围，进而求出最小值【详解】由函数定义域得：，假设，因为，所以，两边同除整理得：，构造函数，则单调递减，，令得：，当时，，所以在单调递减，所以，所以m的最小值是故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷的相应位置13.设向量，则__________．【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求出m，然后得的坐标，再由向量模的坐标公式可得.【详解】向量，，则，，则，.故答案为：.14.已知锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积是__________．【答案】【解析】【分析】先用正弦定理对进行边化角，进而求出A，然后通过余弦定理和三角形面积公式求得答案.【详解】因为，所以由正弦定理可得，由，则，而三角形ABC为锐角三角形，所以.由余弦定理，，所以.故答案为：.15.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．【答案】2.【解析】【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.【详解】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．16.在三棱锥中，侧面PAC与底面ABC垂直，，，，．则三棱锥的外接球的表面积为___________．【答案】25π【解析】【分析】根据平面平面，及，作出三棱锥的外接球球心，构造出一个含有外接球半径的直角三角形，求得各边长，从而求得外接球半径，进而得到外接球表面积.【详解】取的外接圆圆心为F，并过圆心作面的垂线，由题易知，平面，取BC的中点为E，即为的外接圆圆心，过圆心作面的垂线，如图所示，两垂线交点为O，即为三棱锥的外接球球心，作，则四边形为矩形，，在中由正弦定理知，则，则在中，外接球半径，三棱锥外接球表面积为故答案为：【点睛】方法点睛：求一般几何体的外接球半径时，一般需作出外接球球心.对于三棱锥来说，需要找到两个面中三角形的外接圆圆心，分别作对应面的垂线，垂线的交点即为外接球球心，然后在直角三角形中解出半径即可.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.为推动实施健康中国战略，树立大卫生、大健康理念，某单位组织职工参加“万步有约”健走激励大赛活动，且每月评比一次，对该月内每日运动都达到一万步及以上的职工授予该月“健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号，下表是该单位职工2021年1月至5月获得“健走先锋”称号的统计数据：月份12345“健走先锋”职工数1201051009580（1）请利用所给数据求“健走先锋”职工数y与月份x之间的回归直线方程，并预测该单位10月份的“健走先锋”职工人数；（2）为进一步了解该单位职工的运动情况，现从该单位参加活动的职工中随机抽查70人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系，统计结果如下：健走先锋健走之星男员工2416女员工1614能否据此判断有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关？参考公式：，．（其中）0.150.100050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）；约为37人；（2）没有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关.【解析】【分析】（1）直接利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测；（2）利用独立性检验求解.【小问1详解】解：由表中的数据可知，，，所以，故．所以所求的回归直线方程为；当时，，所以该单位10月份的“健走先锋”职工人数约为37人．【小问2详解】解：由表中数据可得，.因为,所以没有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关．18.数列的前n项和为，且，记为等比数列的前n项和，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前n项和．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用与的关系求出数列的通项，解方程组求出等比数列的通项的基本量即得的通项公式；（2）利用错位相减法求解即可【小问1详解】解：当时，．当时，也满足上式，故数列的通项公式为．设的公比为q，当时，由题意可知，，显然不成立．当时，依题意得，解得，所以．【小问2详解】解：由（1）得，则①，②①—②得：，所以19.如图1，正方形ABCD中，，，将四边形CDMN沿MN折起到四边形PQMN的位置，使得（如图2）

（1）证明：平面平面ABPQ；（2）若E，F分别为AM，BN的中点，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，得证线面垂直，从而得证面面垂直；（2）过点Q作于点H，证明即为点到平面的距离，然后由棱锥体积公式计算．【小问1详解】在正方形ABCD中，，，故，，，又，所以，所以，即，又，、平面ABPQ，故平面ABPQ，又平面MNPQ，所以平面平面ABPQ；【小问2详解】由已知，得，，由，MQ、平面AMO，故平面AMQ，又平面ABNM，所以平面平面AMQ，因为E，F分别为AM，BN的中点，则，，，．过点Q作于点H，由面面垂直的性质定理得平面ABNM，即平面BEF，，所以．20.已知函数（a为实数）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为（0，1），递增区间为（2）【解析】【分析】（1）求导，易知时，，然后由和求解；（2）由（1）知，时，不符合题意，时，根据函数在（0，1）内存在唯一极值点，得到在（0，1）内存在唯一变号零点，转化在（0，1）内存在唯一根求解.【小问1详解】解：函数的定义域为，．当时，，所以当时，；当时，．所以的单调递减区间为（0，1），递增区间为．【小问2详解】由（1）知，当时，在（0，1）内单调递减，所以在（0，1）内不存在极值点；当时，要使函数在（0，1）内存在唯一极值点，则在（0，1）内存在唯一变号零点，即方程在（0，1）内存在唯一根，所以在（0，1）内存在唯一根，即与的图象在（0，1）内存在唯一交点，因为，所以在（0，1）内单调递减．又，当时，，所以，即a的取值范围为．21.已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．（1）求该抛物线的方程；（2）过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在；最小值为64，此时直线l的方程为【解析】【分析】（1）先求出椭圆的焦点，从而可求得的值，求出，进而可得抛物线的方程，（2）由题意可得直线l的斜率存在，则设直线l的方程为，设，，将直线方程代入抛物线方程中消去，利用根与系数的关系，利用导数的几何意义求出切线的方程，联立求出点的坐标，则利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，再利用弦长公式求出，从而可表示出的面积，进而可求出其最小值【小问1详解】由椭圆，知．又抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．所以，则．所以抛物线的方程为．【小问2详解】由抛物线方程知，焦点．易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为．由消去y并整理，得．．设，，则，．对求导，得，∴直线AP的斜率，则直线AP的方程为，即．同理得直线BP的方程为．设点，联立直线AP与BP的方程，即．，点P到直线AB的距离，所以的面积，当且仅当时等号成立．所以面积的最小值为64，此时直线l的方程为．（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选