人教版八年级数学上册134-最短路径问题课件

第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题人民教育出

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识继续探究数学中的最短路径问题．

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间,线段最短①②③如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，选走哪条路最近？(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

P连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在思考？？？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.P思考？？？根据：两点之间线段最短.P如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短应用如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵ABl

B/P

点P的位置即为所求.M

作法：①作点B关于直线l的对称点B/.

②

连接AB/,交直线l于点P.(Ⅱ)两点在一条直线同侧已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.

为什么这样做就能得到最短距离呢？MA+MB′>PA+PB′即MA+MB′>PA+PB

三角形任意两边之和大于第三边ABlB/P点P的位置即为所求.M作法：①

问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．练习请你自己动手试一试！问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居只有A′

、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．

只有A′、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

(Ⅲ)一点在两相交直线内部BCDE分析：当AB、BC和AC三(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求(Ⅲ)一点在两相交直线内部分别作点A关于OM，ON的对称点A

如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

A··B

如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2.连接AE交河对岸与点M,

则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,

∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。A·BMNECD作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，A·BM

2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法：作点B关于直线

a

的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。

··ABa2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

作法：1.作点C关于直线

OA

的对称点点D,2.作点C关于直线

OB

的对称点点E,

3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOB·C3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO

证明：在直线OA

上另外任取一点G，连接…∵点D,点C关于直线OA对称，点G.H在OA上，∴DG=CG,DM=CM,

同理NC=NE，HC=HE,∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,∵DG+GH+HE＞DE（两点之间，线段最短），即CG+GH+HC＞CM+CN+MN

即CM+CN+MN最短AOBＣ.

.EDMNGHAOBＣ..EDMNGH4.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点C关于直线

OA

的对称点点F,2.作点D关于直线

OB

的对称点点E,

3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD

··CEGH4.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，证明：在直线OA

上另外任取一点G，连接…∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上，∴GF=GC,FM=CM,

同理HD=HE，ND=NE,∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形EFGH中，∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短），即CG+GH+HD＞CM+MN+ND

即CM+MN+ND最短FAOBD

··CEMNGHFAOBD··CEMNGHABA/B/PQ最短路线：APQBlMNABA/B/PQ最短路线：APQBlMN巩固反馈：1、如图，张庄A、李庄B位于河沿的同侧，现要在河沿g上修一提灌站C向张庄A、李庄B提水。当提灌站修在河沿g的C处时，所用水管最短，为3千米。已知BC的长为2千米，你能在图中找出张庄A的位置吗？g.提灌站C·李庄B巩固反馈：g.提灌站C·李庄B2、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向村庄A与村庄B供水。(1)若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在什么地方？··A村B村2、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自··A村B村3、如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P。如在两条公路上各设置一个加油站，请设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。O·P3、如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的O·P谢谢观看！谢谢观看！再见！再见！第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题人民教育出

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识继续探究数学中的最短路径问题．

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间,线段最短①②③如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，选走哪条路最近？(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

P连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在思考？？？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.P思考？？？根据：两点之间线段最短.P如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短应用如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵ABl

B/P

点P的位置即为所求.M

作法：①作点B关于直线l的对称点B/.

②

连接AB/,交直线l于点P.(Ⅱ)两点在一条直线同侧已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.

为什么这样做就能得到最短距离呢？MA+MB′>PA+PB′即MA+MB′>PA+PB

三角形任意两边之和大于第三边ABlB/P点P的位置即为所求.M作法：①

问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．练习请你自己动手试一试！问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居只有A′

、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．

只有A′、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

(Ⅲ)一点在两相交直线内部BCDE分析：当AB、BC和AC三(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求(Ⅲ)一点在两相交直线内部分别作点A关于OM，ON的对称点A

如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

A··B

如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2.连接AE交河对岸与点M,

则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,

∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。A·BMNECD作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，A·BM

2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法：作点B关于直线

a

的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。

··ABa2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

作法：1.作点C关于直线

OA

的对称点点D,2.作点C关于直线

OB

的对称点点E,

3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOB·C3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO

证明：在直线OA

上另外任取一点G，连接…∵点D,点C关于直线OA对称，点G.H在OA上，∴DG=CG,DM=CM,

同理NC=NE，HC=HE,∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,∵DG+GH+HE＞DE（两点之间，线段最短），即CG+GH+HC＞CM+CN+MN

即CM+CN+MN最短AOBＣ.

.EDMNGHAOBＣ..EDMNGH4.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点C关于直线

OA

的对称点点F,2.作点D关于直线

OB

的对称点点E,

3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD

··CEGH4.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，证明：在直线OA

上另外任取一点G，连接…∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在O