向量法证明平行与垂直课件

第7节立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直第7节立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直最新考纲1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.最新考纲1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_______________，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.知

识

梳

理平行或重合1.直线的方向向量和平面的法向量知识梳理平行或重合2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔______________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔____________l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔____________n1·n2＝0n·m＝0n·m＝02.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方[常用结论与微点提醒]1.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.[常用结论与微点提醒]1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.(

) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(

) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.(

) (4)若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直，则a∥α.(

)

解析

(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个； (2)a⊥α；(3)两平面平行或重合；(4)a∥α或a⊂α.

答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×诊

断

自

测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)诊断自测2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(

) A.α∥β

B.α⊥β C.α，β相交但不垂直

D.以上均不对

解析

∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直.

答案

C2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(

) A.l∥α

B.l⊥α C.l⊂α

D.l与α斜交

解析

∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，

∴n＝－2a，即a∥n.∴l⊥α.

答案

B3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为答案

C答案C5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.答案垂直5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面向量法证明平行与垂直课件证明

法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.证明法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在向量法证明平行与垂直课件法二在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).法二在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一规律方法

1.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.2.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.规律方法1.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，【训练1】

已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG∥平面B1CD1.【训练1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，证明建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1).证明建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(1，0，设n1＝(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，n2＝(x2，y2，z2)为平面B1CD1的一个法向量.令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝－1，同理可得x2＝1，y2＝－1，z2＝－1.则n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，－1).由n1＝n2，得平面EFG∥平面B1CD1.设n1＝(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，n2＝(x考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】

如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB.考点二利用空间向量证明垂直问题证明

(1)取BC的中点O，连接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，BC为交线，PO⊂平面PBC，△PBC为等边三角形，即PO⊥BC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.证明(1)取BC的中点O，连接PO，向量法证明平行与垂直课件又∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴DM⊥平面PAB.∵DM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.又∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，规律方法

1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.规律方法1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确向量法证明平行与垂直课件证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如所以A1C⊥BD，A1C⊥BB1.又BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BB1D1D，所以A1C⊥平面BB1D1D.所以A1C⊥BD，A1C⊥BB1.向量法证明平行与垂直课件(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD且AB∩PA＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.(2)解取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，如图，建立空间直角坐标系O－xyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).如图，建立空间直角坐标系O－xyz.由题意得，A(0，1，0向量法证明平行与垂直课件命题角度2与垂直有关的探索性问题【例3－2】

如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2. (1)求证：AC⊥BF；命题角度2与垂直有关的探索性问题(1)证明

∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.又AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB，∴AC⊥平面FAB，∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF.(1)证明∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面向量法证明平行与垂直课件假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重向量法证明平行与垂直课件向量法证明平行与垂直课件【训练3】

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求证：AA1⊥平面ABC；【训练3】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1证明

(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA1⊥AB，AA1⊥AC.证明(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz.则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4).由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.向量法证明平行与垂直课件第7节立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直第7节立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直最新考纲1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.最新考纲1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_______________，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.知

识

梳

理平行或重合1.直线的方向向量和平面的法向量知识梳理平行或重合2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔______________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔____________l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔____________n1·n2＝0n·m＝0n·m＝02.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方[常用结论与微点提醒]1.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.[常用结论与微点提醒]1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.(

) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(

) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.(

) (4)若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直，则a∥α.(

)

解析

(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个； (2)a⊥α；(3)两平面平行或重合；(4)a∥α或a⊂α.

答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×诊

断

自

测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)诊断自测2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(

) A.α∥β

B.α⊥β C.α，β相交但不垂直

D.以上均不对

解析

∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直.

答案

C2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(

) A.l∥α

B.l⊥α C.l⊂α

D.l与α斜交

解析

∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，

∴n＝－2a，即a∥n.∴l⊥α.

答案

B3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为答案

C答案C5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.答案垂直5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面向量法证明平行与垂直课件证明

法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.证明法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在向量法证明平行与垂直课件法二在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).法二在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一规律方法

1.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.2.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.规律方法1.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，【训练1】

已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG∥平面B1CD1.【训练1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，证明建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1).证明建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(1，0，设n1＝(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，n2＝(x2，y2，z2)为平面B1CD1的一个法向量.令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝－1，同理可得x2＝1，y2＝－1，z2＝－1.则n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，－1).由n1＝n2，得平面EFG∥平面B1CD1.设n1＝(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，n2＝(x考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】

如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB.考点二利用空间向量证明垂直问题证明

(1)取BC的中点O，连接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，BC为交线，PO⊂平面PBC，△PBC为等边三角形，即PO⊥BC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.证明(1)取BC的中点O，连接PO，向量法证明平行与垂直课件又∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴DM⊥平面PAB.∵DM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.又∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，规律方法

1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.规律方法1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确向量法证明平行与垂直课件证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如所以A1C⊥BD，A1C⊥BB1.又BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BB1D1D，所以A1C⊥平面BB1D1D.所以A1C⊥BD，A1C⊥BB1.向量法证明平行与垂直课件(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD且AB∩PA＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.(2)解取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，如图，建立空间直角坐标系O－xyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，