七升八暑假培训资料

‘斜三角形，‘锐角三角形

钝角三角形等腰三角形CB+AB>AC,‘斜三角形，‘锐角三角形

钝角三角形等腰三角形CB+AB>AC,与三角形有关的线段三角形的边.认识三角形（1）由不在同一直线上的三条线段首尾相连所组成的图形：（2）组成三角形的三条线段称为三角形的边；（3）三角形两边的公共点为三角形的顶点：（4）相邻两边组成的角叫三角形的内角；（5）三角形的记法：顶点是A,B,C的三角形记为AABC。.三角形的分类:（1）按角分'直角三角形（2）按边分［三边都不相等的三角形等边三角形底边和腰不等的等腰三角形注意：碰到等腰三角形立即反应到是否要分类讨论！如：（1）用一条长为18cm的绳子围成一个等腰三角形，能否围成有一边是4cm的等腰三角形？为什么？（2）等腰三角形的两边分别为3和6,则该三角形的周长为多少？.三角形的三边关系：定理：推论：三角形的两边之差小于第三边。思考：如何证明"三角形的两边之和大于第三边”？本节难点：三角形的计算方法：（1）固定一个顶点，变换另外两顶点（2）按大小顺序数（3）按图形形成的过程（重新画图）B图4 ,之:怒春强化训练：1.下列说法正确的是（ ）VA.三角形按边分可分为不等边三角形和直角三角形B.三角形按角分可分为锐角三角形和钝角三角形C.锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形D.等边三角形不是等腰三角形.已知三角形的两边的长分别是4和10,则此三角TOC\o"1-5"\h\z形的第三边的长可能是（ ）A.5B.6C.11D.16.如果三角形的两边分别为3和5,第三边的长是偶数，那么第三边的长可以为（ ）A.2B.3C.4D.8.下列说法正确的是（ ）一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形是等腰三角形，也不是等边三角形一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形.若AABC三个内角的度数分别为m、n、p,且|加一〃|+（〃-pF=0,则这个三角形为（ ）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形.如图所示，在正方形ABCD中，对角线相交于点D,则图中的等腰直角三角形共有个。TOC\o"1-5"\h\z.等腰三角形有两边长为A B4和9,该三角形周长=— P\~~.若a,b,c分别为4ABC的三边长，化简：\a+b+（］+\a-c-b\. C O.已知P为aABC中内任意一点，试说明PA+PB+PC>g(4B+AC+BC)..1.2三角形的三条重要线段TOC\o"1-5"\h\z（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的局。 4AD是AABC的BC边上的高线，AO_LBC于D, \ZADB=^ADC=90°. C DB图6注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。三角形的三条高相交于一点。动手操作：画AC,AB边上的高；画一个钝角三角形，再分别画出其三边上的高线；画一个直角三角形，再分别画出其三边上的高线。你有什么发现？结论： （2）三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。aAD是4ABC的BC边上的中线./\CD=BD=LBC.C4D电图7动手操作：（1）画AC,AB边上的中线；（2）画一个钝角三角形，再分别画其三边上的中线;（3）画一个直角三角形，再分别画其三边上的中线。你有什么发现？结论： （三角形的重心）三角形中线分三角形面积相等的两个三角形，H角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。思考：图5中4ABD与AADC的面积有和关系？（3）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。AC是4ABD中NBAD的平分线，ZBAC=ZCAD=gZ.BAD /动手操作： /（1）画^ABD另两个 c―D内角的角平分线：（2）画一个钝角三角形，再分别画其三个内角的角平分线；（3）画一个锐角三角形，再分别画其三个内角的角平分线。结论： 三角形三个角的平分线相交于一点。本节难点：.三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。.三角形有三个内角，所以一个三角形有三条角平分线，且三条角平分线交于一点。三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。.三角形有三条高，且交于一点。强化训练：.如果一个三角形的三条高的交点是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）三角形。A.锐角B.直角C.钝角D.任意的.下列说法错误的是（ ）A.三角形的中线、高、角平分线都是线段B.任意三角形都有高C.三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形D.直角三角形两锐角互余.以下判断正确的是（ ）A.在aABC中，射线AD平分NABC,则AD是4ABC的角平分线B.在AABC中，点M是BC边上的中点，那么直线AM是4ABC的一条中线C.在Rtz^ABC中，ZC=90°则直角边AC、BC是直角三角形的两条高线D.三角形的高线的交点不可能在这个三角形外部TOC\o"1-5"\h\z.三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）A.角平分线B.中位线C.高D.中线.如图9,AABC中，BM、CM分别平分NABC和NACB,连接AM,已知/MBC=25°,NMCA=30",则NMAB的度数为（ ）A.25°B.30°C.35°D.40°.A6.如图10,在AABC中/C=90°,D、E为AC上的两点，AE=DE,BD平分/EBC,下列说法错误的是（ ）图13图147.图13图147.如图14,ADJ_BC于D,以AD为高的三角形有A.BC是4ABE的高B.BE是4ABD的中线C.BD是AEBC的角平分线D.ZABE=ZEBD=ZDBC7.如图11,CM为AABC的边AB上的中线。TOC\o"1-5"\h\z(1)画出AAMC中AM边上的高； X/\(2)若AABC的面积为40, / \A 乙 R求AAMC的面积； M图11(3)若AAMC的面积为12,且AM边上的高为4,求AB的长。图16图1611.1.3三角形的稳定性：三角形的边长一旦确定，三角形的形状就不会改变。三角形稳定性应用举例①钢架桥②起重机吊臂③屋顶钢架④自行车三角架⑤移动塔⑥电力供电输送塔。四边形具有不稳定性应用举例。①活动衣架②放缩尺③商场、银行的推拉活动门。强化训练：如图12,六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF,要使框架稳固且不活动，至少还需要添根木条，说明理由。 A FCD图12本节过关训练：1.三角形的三条高中，在三角形外部的最多有().A.3条B.2条C.1条D.0条2.在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是().A.高B.中线C.角平分线D.不能确定3.下列长度的各线段中，能组成三角形的是().A.1.5,2.5,4B.6,8,15C.m-1,m+1,2mD.—,—,—2354.已知三角形的周长为15cm,且其中两边都等于第三边的2倍，那么最短边的长是( ).A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm5.若三角形三边长是三个连续自然数，周长〃7满足\0<m<22,则这样的三角形有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图13,在4ABC中E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点，设△ABC,AADF,ABEF的面积分别为SaabcSaadf*Sabef>且Saabc=12(贝I]Saadf-Sabei^ A.7个B.8个C.9个D.10个.三角形的三边之比是3：4：5,周长是36tvn,求这个三角形各边长..有四根长度分别为5a”，9cm,13c/n和7c/n中的木棍，任意取其中三根搭三角形，一共可以搭多少种不同形状的三角形？请画出草图.ZW图1510如图16,在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5,求出AC与AB的边长的差。11.如图17,Z\ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O,ZCAB=50°,ZC=60°o求/DAE和NBOA的度数.12.如图18,在AABC中，CD是高，点E、F、G分别在BC、AB、AC上，且EF_LAB,Z1=Z2,试判断DG与BC的位置关系？并说明理由.图1813.如图19,ZkABC中，ZABC=40°,ZC=60°,AD_LBC于D,AE是NBAC的平分线.(1)求NDAE的度数；(2)指出AD是哪几个三角形的高.16.两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；②符合①要求的线段必须全部画出；图22中(1)展示了当n=l时的情况，此时图中三角形的个数为0；图22中(2)展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；(1)当n=3时，请在图22(3)中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为4个；(2)试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？(3)当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？19.依次用火柴棒拼三角形，如图23所示。.如图20,ZABC=66°,ZACB=54°,BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求NABE、NACF和NBHC的度数..如图21,AD为4ABC的中线，BE为三角形ABD中线，(1)ZABE=15°,NBAD=35。，求NBED的度数；(2)在ABED中作BD边上的高；(3)若△ABC的面积为60,BD=5,则点E到BC边的距离为多少？AA7AAA7V20、如图24所示，NMBN=45。，若4ABC的顶点A在射线BM上，且AB=VL点C在射线BN上运动(C不与B重合)，请你探究：(1)若4ABC是直角三角形，试求线段BC的长，并将点C的位置标注在图形中；(2)探究：①当BC的值在什么范围时，AABC是锐角三角形；②当BC的值在什么范围时，4ABC11.2与三角形有关的角

由上述（2）的说理，可以得到三角形外角的性质如下:三角形的一个外角等于三角形的一个外角等于知识要点：1.三角形内角和定理（1）三角形三个内角的和等于180°.（如何证明？）三角形内角和定理揭示了三个内角之间的关系，同时为求角的问题提供了一个应用的平台“解此类问题常利用方程思想。例:如图25,CD是NACB的平分线,DE//BC,NB=70。,NACB=50。，求NEDC,/BDC的度数。

三角形的一个外角大于注意举一反三：（1）已知三角形是两个内角，利用三角形内角和定理可求出第三个角，或已知各角之间的关系，利用三角形内角和定理可求出各角。（2）利用三角形外角的性质可求得角的大小活说明两角的不等关系。强化训练：.△ABC中，NA、/B、NC的度数之比是1：2：3,则4ABC的形状是（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形.如图28,在4ABC中，NC=90°,若AE〃BD,NDBC=20",则NCAE的大小为（ ）A.40°B.60° 0.70°D.80°3.如图29,在折纸活动中，小明制作了一张4ABC3.如图29,在折纸活动中，小明制作了一张4ABC纸片，将AABC沿着DE折叠压平，A与A，重合，若ZA=75°,则N1+N2=（ ）A.150°B.210°C.105°D.75°4.将一副直角三角尺如图30放置，已知AE〃BC,则ZAFD的度数是（ ）/.ZACD>ZA,ZACD>ZBA.45°B.50°C.60°D.75°有两个角互余的三角形是直角三角形。（互为逆定理）例：一个三角形的各个内角度数之比为3：2：5,请判断该三角形的形状。2.三角形的外角及其性质（1）三角形的外角如图26,NACB是△ABC的一个外角。（思考：一个三角形的三个外角中，最多有几个是锐角？）（2）三角形外角的性质三角形的外角等于与它丕相邻的两个内角的和。（如何证明？）如图，；NACD是AABC的外角，ZACD与ZACB互为,即/ACD=1800-NACB.①又；/A+NB+NACB=,/.ZA+ZB=.②5.如图31,在AABC中，NABC的平分线与5.如图31,在AABC中，NABC的平分线与NACB的外角平分线相交于D点，ZA=50°,则/D=( )A.15°B.20°C.25°D.30°6.如图32,AB//DE,ZABC=80°,ZCDE=140°,则NC=( ).如图33,Z\ABC中，ZA=50°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠AAEF,得ADEF,则N1+N2等于（ ）A.130°B.120°C.100°D.65°.如图34,AABC中，ZB=50°,ZC=60°，点D是BC边上的任意一点，DE_LAB于E,DFLAC于F,那么NEDF等于（ ）16.将一副直角三角板，按如图41所示叠放在一起,则图中Na的度数是A.45°B.60°A.80°B.110° 0.130°D.140°BD CB DC图34 图35.如图42,AB〃CD,等于（ ）A.20°B.25°C.30°.如图43,AABC内有一点D,D.45°DA=DB=DC,ZDAB=20°,ZDAC=30°，则NBDC等于（ ）9.如图36,/C是直角，D是BC上一点，Z1=40°,NB=32°,则/BAD的度数是（ ）A.40°B.36°C.30°D.18°10.如图37,Z\ABC中，/ABC和/ACB的平分线交于点0,ZB0C=120°,则NA=（ ）A.100°B.80°C.19.如图44,ZA=32°,NDFE等于（ ）A.120°B.115°ZB=45°,ZC=38",则C.110°D.105°.如图38,AD是角平分线，AE是高，若NBAC=2/B,ZB=2ZDAE,那么NACB为（ ）A.80°B.72°C.49°D.36°.在AABC中，ZA=4ZB,且/C-/B=60°,则NB的度数是（ ）A.80°B.60° 0.30G D.20°.如图39,NA+NB+NC+/D+NE+NF=（ ）A.180°B.360°G.450°D.720°20.如图45,点D是4ABC的BC边上一点，点E是AD上一点，连接BE、CE,则下列说法不正确的是A.ZAEB>ZADBB.ZADC=ZABE+ZBADZADB=ZACB+ZCAD图39 图40.如图4u,BE,CF是AABC角平分线，ZA=65°,那么NBDC等于（ ）A.122.5°B.187.5°C.178.5°D.115°.在AABC中，设/A=a,则NB与NC的外角平分线的交角的度数是（ 、A.90°+B.90°-C.180°-gaD.2a21.如图46,把AABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则NA与N1和N2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）A.ZA=Z1-Z2C.3ZA=2Z1-Z222.如图47,N1,Z2,B.D.Z3A.0.Z1>Z2>Z3Z2<Z1<Z32ZA=Z1-Z23NA=2（Z1-Z2）间的大小关系是（B.Z1>Z3>Z2D.Z3<Z1<Z223.如图20,已知BD平分NABC,且NADE=/C,那么/4与N3的数量关系是（ ）A.Z4=Z3 B.Z4=2Z3C.N4=3N3 D.以上都不对.如图49,表示/1,Z2,Z3,N4的关系正确的TOC\o"1-5"\h\z选项为（ ） 次Z1+Z2=Z4-Z3 AZ1-Z3=Z2-Z4 y-AfZ1+Z2=Z3+Z4 /Z1-Z2=Z4-Z3 3" \图49.如果三角形的一个角等于其它两个角的差，那么这个三角形是（ ）三角形。A.锐角B.直角C.钝角D.直角或锐角.如图50,CD平分NACB,BF是AABC的高，若/A=80°,ZABC=50°,求/BMC的度数.图50.如图51,在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P,若NA=50°,求NBPC的度数.

.如图52,在三角形ABC中，D,E分别是BC,AC上的点，AD,BE相交于F。求证：ZC+Z1+Z2+Z3=180°。图52.如图53,BE是/ABD的平分线，CF是/ACD的平分线，BE与CF交于G,ZBDC=140°,ZBGC=110°,求/A的度数。.如图54,ZkABC中，ZABC,NACB的平分线相交于点0.（1）若NABC=40°,ZACB=80a,求NBOC；31.如图55,在AABC中，AB=AC,E在CA31.如图55,在AABC中，AB=AC,E在CA的延长线上，ZAEF=ZAFE,那么EF垂直BC吗？为什么？.如图56,已知射线。x与射线oy互相垂直，B,A分别为ox、oy上一动点，NABx、/BAy的平分线交于C.问：B、A在。x、oy上运动过程中，NC的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由.图56.如图57,P是AABC内一点，请用量角器量出NABP、NACP、NA和/BPC的大小，再计算一下，ZABP+ZACP+ZA是多少度？这三个角的和与NBPC有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断/BPC和NA的大小吗？把你的想法与同伴交流，看谁说得更有道理.

.如图60,ZEDC=80°,ZDEF=40°,且N1=N2=N3.试求NABC及/ACB的大小.图60.如图61,已知DM平分/ADC,BM平分NABC,且ZA=27°,ZM=33°,求NC的度数.图61图5734.如图58,在△ABC中，ZACB=90°,NA=40°；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D,求/ACD的度数.

.(1)在aABC中，NABC的平分线与/ACB的平分线交于点0，探究NB0C与NA的关系。(2)ZABC的平分线与4ABC的外角平分线交于点0,35.如图59,一艘船要从A地驶往B地，因受海上大风的影响，一开始就偏离航线20°(NA=20°)行驶到了C地，测得NABC=25°,问该船应以怎样的角度才能到达B地(即求NBCD的度数).DD(3)AABC的两个外角平分线交于点0,探究/BOC与/A的关系。图62-3

11.3多边形及内角和知识要点：.多边形在平面内，有一些线段首尾依次连接组成的封闭图形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫n边形，三角形是最简单的多边形。.多边形的内角、外角、对角线（1）内角：多边形相邻两边组成的角。（2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。（3）对角线：多边形不相邻的两个顶点的线段。①从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，把这个多边形分成（n-2）个三角形。②n边形共有-（n-3）条对角线。2.凸多边形画出多边形的任何一条边所在直线，如果真个多边形都在这条直线的同一侧，则该多边形就是凸多边形。.正多边形在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。.多边形的内角和n边形内角和公式：（〃-2）x180°.多边形的外角和n边形外角和公式：360°强化训练TOC\o"1-5"\h\z.正十边形的每个外角为（ ）A.18° B.36° C.45° D.60°.四边形的内角和为（ ）A.90° B.180° C.360° D.720°.若一个多边形的内角和等于900。，则这个多边形的边数为（ ）A.5B.6 0.7D.8.下列图形是正多边形的是（ ）A.三角形B.矩形C.正方形D.五边形.从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是（ ）边形。A.十三B.十二C.H-一 D.十.下列角度中，不能成为多边形的内角和是（）A.540°B.580°C.1800°D.900°.下列说法错误的是（ ）A.正多边形的各条边都相等.正多边形的各个角都相等C.各角都相等的多边形不一定的正多边形D.各条边都相等的多边形一定的正多边形TOC\o"1-5"\h\z.已知一个多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍，则这个多边形的边数（ ）A.10 B.6 0. 7 D. 8.一个多边形的内角和是外角和的三倍，则这个多边形是（ ）边形。A.五 B.六 C.八 D.十.如果一个多边形的内角都相等，且每个内角与其外角之比为8：1,则该多边形的内角和为（ ）«A.2880°B.1880°C.3060°D.2080°.一个多边形截去一个角，形成的多边形的内角和为2520。，则原多边形的边数为条（截线不经过顶点）。.一个正多边形的每个外角都是36°,这这个多边形的边数是o.如图63,若/A=120°,则N1、N2、N3、Z4的和为o.如图64,在正五边形中，连接AD,AC,则/CAD的度数为 .如图65所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后得到一个四边形，则N1+/2的和为 。.如图66,一个大的三角形剪去一个小的三角形后，剩余的四边形的内角和为o.（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大.18、一个多边形的每一个外角的读数等于其相邻内角读数的］这个多边形是为多边形。.已知五边形的内角度数比为2：3：4：5：6,则该五边形各外角对应度数比为。.如果一个多边形的每一个外角都小于45°,这样的多边形的边数的最小值为。.图66是由等边三角形和正方形组成的，这个多边形的周长是1.8分米.b的长是多少？I—bf图66图形序号SNL图形序号SNL①104②206③308（1）当N=0时的格点多边形，根据图9（1）观察下表，填空：观察图1①、②、③可以发现S与L之间的数量关系.如图67中（1）所示，我们知道四边形的内角和为（4-2）x180°=360°,现在将一张四边形的纸剪去一个角，剩余纸所有内角的和是多少？如图5中（2）所示，剩余纸为五边形，所以剩下纸所有内角的和为（5—2）x180°=540°。上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根.图68是行列间隔都为1个单位的点阵：请你能计算点阵中的面积吗？请将答案直接填入图下横线上.图68.我们知道三角形的内角和等于180°,四边形的内角和等于360。，如果边数为n的多边形，其内角和为（n-2）180°；反过来，已知多边形的内角和，同样利用内角和公式可求出这个多边形的边数，如：一个多边形的内角和为1080。，则这个多边形的边数为8；（1）求十边形的内角和；（2）已知一个多边形的内角和为2160°,求这个多边形的边数；（3）已知一个多边形的内角和是三角形内角和的2倍，求这个多边形的边数..如图70,每个小正方形的边长为单位长度1.（1）写出ABCDEF各顶点A、B、C、D、E、F的坐标；（2）点C与E的坐标什么关系？（3）直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系？：：3:：,；\C：j：.：i3::::••\•••1：；\；；,12/£>::二:::/・•j1 •\\\F-3：

.网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这两组平行线的交点称为格点，由多条线段首位顺次相接而组成的图形叫多边形，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫格点多边形，有趣的是：这种多边形的面积可根据图形内部及它的边上的格点数目来计算，算法十分简捷.设格点多边形的面积为S,多边形内部的格点数为N,它边上的格点数为L,下面我们来探究S与N、L三者之间的数量关系，问题研究应从简单的图形入手.①②图形序号SNL3①2.552.5②263③43

三角形测试卷命题人：石怪一.选择题（每题3分）TOC\o"1-5"\h\z.如图1,三角形的个数为（ ）个。.如图2,CD,CE,CF分别是AABC的高，角平分线，中线，则下列各式中惜误的是（ ）A.BA=2BF B.AE=BEC.^ACE=-ZACBD.CD!BE2.若一个三角形的每个外角都等于60°,则它的内角和为（ ）A.180°B.7200C.1080°D.540°.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是（ ）边形。A.十三 B.十二 C.H-- D.+.如图3,在AABC中，已知点D,E,F分别

.三角形的三边为1,\-a,9,“的取值范围是—.等腰三角形两边长分别为3,7,则它的周长为—.在△ABC中，若NA：Z.B:ZC=1：3：5,这个三角形为三角形.（按角的分类）14.如图6,则Nl=,Z2=,Z3=三.解答题15.（8分）已知"c是4ABC的三边，a=2,6=5,且三角形的周长是偶数.（1）求c的值；（2）判断4ABC的形状。为边BC,AD,CE的中点，且50死=4。加2,则S些bf等于（ ）而。11A.2B.1C.- D.-16.（8分）在△ABC中，已知/ABC=66。，ZACB=54°,BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求NABE、NACF和NBHC的度数.A.180°B.60°C.360°D.540°.等腰三角形的一个外角是120%则它是（ ）三角形.A.等腰直角 B.一般的等腰C.等边 D.等腰钝角.如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ）三角形。A.锐角 B.直角 C.钝角 D.正填空题（每空2分）.在4ABC中，NBAC=60°,NB=45°,AD^AABC的一条角平分线，则/DAC=17.(8分)如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，NBAE=26。，求/BFE的度数.

20.(16分)如图，A、B两点同时从原点O出发,点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点BB两点的坐标;以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动.(1)若|x+2y-5|+|2x-y|=0,试分别求出1秒钟后A、(8分)如图，已知在aABC中，NA8C与NAC8的平分线交于点O,试说明：NBOC=1800-g(NABC+NACB)ZBOC=90°

(2)设NBAO的邻补角和NABO的邻补角的平分线相交于点P,问：点A、B在运动的过程中，ZP的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；(3)(3)(12分)如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，(1)ZABE=15°,ZBAD=35°,求/BED的度数；(2)在ABED中作BD边上的高；(3)若△ABC的面积为60,BD=5,则点E到BC边的距离为多少？ A

(3)如图，延长BA至E,在/ABO的内部作射线BF交x轴于点C,若NEAC、/FCA、NABC的平分线相交于点G,过点G作BE的垂线，垂足为H,试问NAGH和NBGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由.3.如图2,AABD^AEBC,AB=3cm,BC=5cm,则DE的长为（ ）3.如图2,AABD^AEBC,AB=3cm,BC=5cm,则DE的长为（ ）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm4.若△ABCgZkDEF,NA=70°,NB=50。，则NA等于（ ）A.70°B.60°C.50°D.40°5.若AABC丝ZXDEF,AB=7cm,AC=4cm,则DF的长为（ ）A.7cmB.5cmC.4cmD.3cm6.如图3,AABC^ABAD,则线段AB的对应线段为7.如图4所示，△ABCgADEF,则相等的线段有（ ）对。A.1对B.2对C.3对D.4对8.如图5中△ABDgAACD,ZBAC=48°,AD1BC与D点，BC=10cm,求/B的度数和BD的长度。9.如图6所示，若ACDE经折叠可与ABDE、ABDA重合，ZDEC=90°»（1）Z\ADB与ABDE、z^EDC全等吗？（2）求NC的度数。12.1全等三角形1,全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等用符号“g”表示，读作“全等于二记两个三角形全等时，通常把表示对应的字母写在对应的位置上。如下图，AABC和4DEF全等，记作AABC且ZXDEF。完全能重合的图形形状完全相同，大小固然相等。平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换。一2,全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线分别相等；（3）全等三角形的周长，面积相等。拓展：.寻找对应边、对应角的规律：（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）有公共角的，有公共角一定是有公共角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（4）在全等三角形中，一对最长的边（或最大的角）是对应边（或对应角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。.记两个三角形全等时，要把表示相对应的顶点的字母写在对应的位置上。.对应顶点的夹边是对应边，对应边所对的角是对应角。.全等三角形的面积相等；同底（等底）等高的两个三角形的面积相等。10.如图7,10.如图7,AABC^ADEF,ZF=ZC,ZA=ZD,AD长为12,BE长为2,求AB的长。强化训练1.下列命题中正确的是（ ）A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中线相等C.全等三角形的角平分线相等D.全等三角形对应角的平分线相等2.将五边形纸片ABCDE按图1所示方式折叠，折痕为AF,点E、D分别落在E',D',NAFC=76°,贝I]NCFD'等于（ ）A.31°B.28°C.24°D.22°12.2三角形全等的判定（1）1,用“SSS”判定两个三角形全等三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）利用“边边边”判定两个三角形全等时，要注意只有满足“三边”都对应相等时，两个三角形才相等。2、利用“SSS”判定两个三角形全等的应用利用“SSS”来证明两个三角形全等，从而证明对应边相等，对应角相等。注：公共边是图形中隐含的条件，要注意合理利用。例如：下图中，已知AB=CD,AD=CB,求证：/DAC=NBCA。注意：（1）在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列（一般把同一个三角形的三个条件放在等号的统一侧），并用大括号将其括起来。（2）由“边边边”我们知道：当三角形的三边确定后，其形状，大小也随之确定了。强化训练.在ZXABC和ZkFDE中,若AB=FD,BC=DE,CA=EF,则下列选项中正确的是( )A.AABC^ADEFB.AABC^AEDFC.AABC^ADFED.AABC^AFOE.据已知条件填空：如图9,点A、B、C、D在同一直线上，AC=BD,AM=CN,BM=DN.求证：Z^ABM丝Z\CDN.证明：•/AC=BD（ ）/.AC+=BD+即=在AABM和4CDN中,AM=CN,-BM=DN,.()=()AABM^ACDN.3.如图10,已知AC=BD,要使△ABCgADCB,则只要

.如图11,当AD=,AB=,BD=时,可用“SSS”推得4ABD丝Z^DCA。.已知AM=AN,BN=BM,求证：Z\AMB且ZXANB.证明：在AAMB和4ANB中，TOC\o"1-5"\h\zAM= ( )=BN(已知)=(公共边),.如图13,AC=AD,BC=BD下列选项成立的是（ ）A.AABC^AABD B.AACD^ABCDC.AC//BD D.CD平分NACB.如图14,已知AB=CD,AD=BC,AC与BD相交于点0,则图6中全等三角形有（ ）对。.如图15.四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,则AB与CD的位置关系是o.如图16,在4ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线,则ZBDA=„.如图16,在AABC中，AB=AC,D是BC的中点，则△ABDgAACD的依据是AD与BC的位置关系是。.如图17,AB=CD,BF=DE,E,F是AC上的两点，且AE=CF,如若证NB=ND,可先运用等式的性质证明AF=,再用“SSS”证明0得到结论。.如图18,两个三角形全等，Na的度数是13.如图19,AB=DC,DB=AC,14.问答：在第13题中，证明/ABD=/DCA时，需要做辅助线，它的意图是什么？12.2三角形全等的判定（2）.用“SAS”判定两个三角形全等两边和他们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。利用“SAS”判定两个三角形全等时，要注意两条边及两条边的夹角要对应相等，这两个三角形才全等。.用“SAS”判定两个三角形全等的应用用“SAS”判定两个三角形全等时，要先寻找已知条件，注意题目中的隐含条件，有些结论是由全等三角形得到的，如相等的线段，相等的角等。.证明边或角相等常用的解题思路（1）平行线的性质，余角或补角的性质，垂直的定义等；（2）相等的线段（角）的和与差；（3）三角形的内角和定理及三角形的外角性质：（4）对顶角。15.在图15.在图20,AB=AE,BC=ED,AC=AD,(1)NB=NE吗？为什么？过关训练1.如图23,在△ABC和4DCE中,AB=BC=CA,CD=DE=EC,/1=N2=60°,点E在BC上，AE与BD相等吗？'（）=（）解：由已知得＜Nl=N2=60°（）=（）16.如图21,AABC中AB=AC,AD是连接A与BC的支架，当D在BC的什么位置时，AD和BC垂直？为什17.如图22,在4ABC和ZSDCB中，已知AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M。（1）求证：△ABCgZ\DCB（2）过C点做CN//BD,过点B做BN//AC,CN与BN交于点N,判断线段BN与CN的数量关系，证明你的所以△9△所以AE=BD,其中判断全等的依据是。2.如图24,增加下列各组条件，不能得到△ABC^ABAD的是( )A.BC=AD,NABC二/BAD B.BC=AD,ALBDC.AC=BD,ZBAC=ZABDD.BC=AD,ZCAB=ZDBA3.如图25,0D=OB,应添加=,就可以得到：Z^AOB名△COD,请你写出理由。A图25.如图26,点E、F分别是AD上的两点，AB//CD,AB=CD,AF=DE,问：线段CE与线段BF有怎样的数量关系和位置关系？并加以证明。二图26.如图27,D是AABC中BC边上的一点，EB=EC,ZBAE=ZCAE,求证：ZABE=ZACE.AD c图27.如图28,在AABC中，点D是BC的中点，作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E、F,连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF/Z\CDE,并加以证明.你添加的条件是 .(不添加辅助线).图28.如图7,E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE〃CF,AE=CF,BE=DF.求证：△ADEgZ\CBF. 幺 BD C图29.如图30,AC=AD,ZBAC=ZBAD,点E在AB上.(1)你能找出 对全等的三角形；(2)请写出一对全等三角形，并证明.AB图30.如图31,D是等边AABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△£口(),连接AE,找出图中的一组全等三角形，并说明理由.A E二B C图31.如图32,ZABC=90°,DC±BC,E,F为BC上两点，且BE=CF,AB=DC.求证：4ABF/Z\DCE.bdBE FC图32.如图33,将矩形EFBC一条对角线FC向两端延伸，使AF=DC,连接AB、ED,求证：△AFB/4DCE.二图33 1k°.如图34,梯形ABCD中，CD/7AB,AD=BC,M是底边AB的中点.求证：△AMDgABMC.D CA M B图3412.2三角形全等的判定（3）［用“ASA”及“AAS”判定两个三角形全等有两个角及夹边对应相等的两个三角形全等。根据三角形的内角和，可以得到任意两个三角形中，已知两个角和一条边（无论是夹边还是其中一个角的对边）对应相等，这个两个三角形全等。判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是补课缺少的，要注意两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。满足三个角分别对应相等的两个三角形不一定全等，故不能用“AAA”来证明两个三角形全等。2.用“ASA”及“AAS”判定两个三角形全等的应用全等三角形是证明线段相等和角相等的重要方法之一，解题思路如下：（1）观察要怎么的线段或角在哪两个三角形中，证明这个两个三角形全等；（2）分析要证明全等的三角形中，已知条件是什么,还缺什么；（3）设法证明所缺的条件；（4）有时需要添加辅助线。

5.如图38,在下列条件中，不能直接证明△ABD^AACD的是（ ）A.BD=DC,AB=AC B.ZADB=ZADC,BD=DCC.ZB=ZC,ZBAD=ZCADD.ZB=ZC,BD=DC.下列判断中错误的是（ ）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等.如图39,已知AABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点F.（1）求证：Z\ABE2△CAD；（2）求NBFD的度数.8.如图40,AC8.如图40,AC平分/BAD,CF±AD于F,CE±AB于E,DC=BC.求证：ZXCFD/ZXCEB.过关训练(1)ZA=ZEAB=EFZB=ZD( )(2)ZA=ZDAB=DEZB=ZE( )2.如图(1)ZA=ZEAB=EFZB=ZD( )(2)ZA=ZDAB=DEZB=ZE( )2.如图35,AABC^ADBC,ZA=80°,NABC=30°,3.如图36,Z1=Z2,要得到AABD会Z^ACD,还需从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ）A.AB=AC B.DB=DCC.ZADB=ZADCD.ZB=ZC4.如图37,是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点0,且ABWAD,则下列判断不正确的是（ ）.如图41,AABC与4CDE均是等腰直角三角形，NACB=/DCE=90°,D在AB上，连结BE.请找出一对全等三角形，并说明理由.

.已知,如图42,AB=CD,DF_LAC于F,BE_LAC于E,DF=BEo求证:AF=CEo.如图43,△ABC中，D,E,尸分别在AB,BC,AC上，且BD=CE,NDEF=NB求证：ED=EF.证明：'：ADEC=ZB+Z.BDE（ ）,又（已知），•••/ =/（等式性质）.a在△砌7与△尸应■中，Z =Z（已证）,=（已知），NQ/C（已知），/.（）.：.ED=EF{）.图4312.如图44,工人师傅要检查人字梁的N8和NC是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺.他是这样操作的：①分别在外和以上取BE=CG；②在8c上取BD=CF；③量出冰的长a米，尸G的长6米.如果。=b,则说明和NC是相等的.他的这种做法合理吗？为什么？13.如图45,把△?!宛纸片沿如折叠，当点4落在四边形况宏内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设NAED的度数为x,2人£^的度数为丫，那么/1,Z2的度数分别是多少？（用含有*或y的代数式表示）（3）/4与/1+N2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.B12.2三角形全等的判定（4）判定两个直角三角形全等的方法：斜边，直角边（HL）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）注意：（1）“HL”只适用于直鱼三角形；（2）判定一般三角形全等的方法在直角三角形中照样适用；强化训练.能使两个直角三角形全等的条件是（）A.两直角边对应相等 B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等 D.斜边相等.两个三角形有以下三对元素相等，则不能判定全等的是（ ）A.一边和两个角 B.两边和它们的夹角C.三边 D.两边和一对角.下列说法中，错误的是（ ）A.三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用B.已知两个锐角不能确定一个直角三角形C.已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形D.已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形.如图46,ZA=ZD=90°,AC,BD交于0,AC=BD.求证：0B=0C.图46E二＞A'求证：AD=CE。图47.如图47,在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,直线I经过点C,AD±I,BEJJ,垂足分别为E二＞A'求证：AD=CE。图4712.3角平分线的性质（1）知识要点：.角平分线的做法作已知角/BOA的角平分线1）以0为圆心，任意长度为半径作弧，分别与角的两边交于点D、E;2）分别以D、E为圆心，木干DE一半的相同长度为半径作弧,两弧在角的内部交于C;3）作射线0C.射线0C为NB0A的角平分线

.角平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。角平分线的判定也是证明两角相等的方法。有时为了证两角相等，可以由角的内部的一点向角的两边做垂线，通过证线段相等来证明两角相等。拓展：（1）角的平分线的判定的主要作用是证明一个点在某个角的平分线上，或两个角相等。他与角的平分线的性质恰好是条件和结论的交换，在运用时不要混淆。（2）交点平分线可以看作是由角的内部到角的两边距离相等的所有点组成的射线。（3）利用判定定理时，一般过P点作两边的垂线，即添加辅助线，是解决此类问题的基本方法。（4）三角形的三条角平分线交于一点，这一点骚三边的距离相等。C卬“ 图51 63.如图52,在直角三角形C卬“ 图51 63.如图52,在直角三角形ABC中，ZC=90°,AD是/BAC的平分线，DC=2,则D到AB的边的距离为 4.如图53,ZA=52°,0是NABC、/ACB的角平分线的交点，那么N0CB=5.如图54,NBAC=90°,AB=3,AC=4.AD平分ZBAC交BC于D,则BD的长为过关训练.如图50,AABC的角平分线CD、BE相交于点F,且/A=60°,则NBFC等于（ ）A、80°B、100°C、120°D、140°.如图51,4ABC中，Z1=Z2,N3=N4,若ND=36°,则NC的度数为（ ）A、82°B、72° C、62°D、52°2.角平分线性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的性质能够证明线段相等或证三角形全等提供条件，如果一个点在某角的角平分线上，则常过该点作角的两边的垂线段，以便在解题时应用该性质得到线段相等。注意：（1）应用角平分线的性质的前提是有角平分线，有垂直。（2）用角平分线的性质证明线段相等，可以直接得出结论，不需再用证明三角形全等来完成。（3）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论。平分线BD交CF平分线BD交CF于G,DE_LAB于E,则下列结论①/A=/BCF,②CD=CG,③AD=BD,④BC=BE中正确的个数是.已知AD是4ABC的角平分线，DE±AB于E,且DE=3cm,贝I］点D至IJAC的距离是.如图62,Rt^ABC中，CF是斜边AB上的高，角点D,PEJ_OB于点E.若0D=8,0P=10,则PE的长为7.如图56,0P平分/MON.PALON,点Q是射线0M上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为图56 图57

.如图63,在四边形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分NABC,求证：ZA+ZC=180°..如图64,CD1AB,BE1AC,BD=CE,BE交CD于0,求证：A0平分/BAC.图58 图图58 图598.如图57,在△ABC中，Z0=90°,NABC的平分线BD交AC于D,若CD=3cm,则点D到AB的距离DE是9.如图58,AD是4ABC中NBAC的平分线，DEXAB于点E,DFLAC交AC于点F.Sa«c=7,DE=2,AB=4,则AC长是 1212.如图61,若AB〃CD,AP、CP分别平分NBAC和NACD,PEJ_AC于E,则要求AB与CD之间的距离，只需测量出 .如图59,点P是/BAC的平分线AD上一点，PELAC于点E.已知PE=3,则点P到AB的距离是 .如图60,NA0B=30°,0P平分NAOB,PC〃OB,PD±OB,如果PC=6,那么PD等于图60图60图61.如图65,Rtz2\ABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,DE_LAB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长；(2)求AADB的面积.图65

.如图66,点E是NAOB的平分线上一点，EC10A,ED10B,垂足分别为C、D.求证：(1)ZECD=ZEDC；(2)OC=OD；(3)0E是线段CD的垂直平分线..如图70,在AABO中，AD_LOB于D,BC_LOA于C,AD,BC交于点E,且0E平NA0B.求证：4AEB是等腰三角形.图66.如图67,AD是AABC的角平分线，DE±AB,DF±AC,垂足分别是点E,F,连接EF,交AD于点G,求证：ADXEF. a图67图6824.如图72,BE=CF,DE±AB的延长线于点E,DF±AC于点图67图6824.如图72,BE=CF,DE±AB的延长线于点E,DF±AC于点F,且DB=DC,求证：AD是NBAC的平分线.21.如图69,在AABC中，NC=90°,AC=BC,AD是ZBAC的平分线，DE±AB,垂足为E,若AB=10cm,求ADBE的周长图69图72.已知，如图68,BD是AABC的角平分线，AB二AC,(1)若BC=AB+AD,请你猜想NA的度数，并证明：(2)若BC=BA+CD,求/A的度数？(3)若NA=100°,求证：BC=BD+DA.23.如图71,已知：0D平分/AOB,在0A,0B边上取OA=OB,PM1BD,PNXAD.求证：PM=PN.

全等三角形测试题选择题（共8小题）1.已知△A|B|G，ZXAzB2c2的周长相等，现有两个判断：①若A|B产A2B2,AC尸A2c2，则△AiBiG丝AAzB2c2；②若NAi=NA2，ZB!=ZB2,则△A,B|C|=4AzB2c2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①，②都错误D.①，②都正确.如图，在aABC中，AD1BC,CE1AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是（ ）.如图，在直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点，将一块锐角为45。的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC.下列判断正确的有（ ）©△ABE^ADCE；②BE=EC；③BE_LEC；④EC=J^DE.A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，Z\ABC中，/ABC、NEAC的角平分线PA、PB交于点P,下列结论：①PC平分NACF；②NABC+NAPC=180。；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；®ZBAC=2ZBPC.其中正确的是（ ）A.只有①②③B.只有①③@C.只有②③@D.只有①③

5.如图，AB,CD相交于点E,且AB=CD,试添加一个条件使得△ADE/^CBE.现给出如下五个条件：@ZA=ZC；②NB=/D；③AE=CE；④BE=DE；⑤AD=CB.其中符合要求有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个.下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等;②有两条边和第三