弹性地基梁理论

第3章弹性地地基梁理论本章内容—弹性地基梁理理论概述弹性地基梁的的计算模型弹性地基梁的的挠度曲线微微分方程及其其初参数解弹性地基梁短短梁、长梁及及刚性梁算例123451.概述定义：弹性地基梁，，是指搁置在在具有一定弹弹性地基上，，各点与地基基紧密相贴的梁。如铁路枕木、、钢筋混凝土土条形基础梁梁，等等。通过这种梁，，将作用在它它上面的荷载载，分布到较较大面积的地地基上，既使使承载能力较较低的地基，，能承受较大大的荷载，又又能使梁的变变形减小，提提高刚度降低低内力。地下建筑结构构的计算，与与弹性地基梁梁理论有密切切关系。地下下建筑结构弹弹性地基梁可可以是平放的的，也可以是是竖放的，地地基介质可以以是岩石、粘粘土等固体材材料，也可以以是水、油之之类的液体介介质。弹性地地基梁是超静静定梁，其计计算有专门的的一套计算理理论。1.概述通过这种种梁，将将作用在在它上面面的荷载载，分布布到较大大面积的的地基上上，既使使承载能能力较低低的地基基，能承承受较大大的荷载载，又能能使梁的的变形减减小，提提高刚度度降低内内力。地下建筑筑结构的的计算，，与弹性性地基梁梁理论有有密切关关系。地地下建筑筑结构弹弹性地基基梁可以以是平放放的，也也可以是是竖放的的，地基基介质可可以是岩岩石、粘粘土等固固体材料料，也可可以是水水、油之之类的液液体介质质。弹性性地基梁梁是超静静定梁，，其计算算有专门门的一套套计算理理论。1.荷载种类类和组合合弹性地基基梁与普普通梁的的区别：：1.超静定次次数是无无限还是是有限，，这是它它们的一一个主要要区别。。2.地基的变变形是考考虑还是是略去，，这是它它们的另另一个主主要区别别。2.弹性地基基梁的计计算模型型计算模型型分类：：.由于地基基梁搁置置在地基基上，梁梁上作用用有荷载载，地基基梁在荷荷载作用用下与地地基一起起产生沉沉陷，因因而梁底底与地基基表面存存在相互互作用反反力，，的的大小与与地基沉沉降y有密切关关系，很很显然，，沉降越越大，反反力也也越越大，因因此在弹弹性地基基梁的计计算理论论中关键键问题是是如何确确定地基基反力与与地基沉沉降之间间的关系系，或者者说如何何选取弹弹性地基基的计算算模型问问题。局部弹性性地基模模型2.半无限体体弹性地地基模型型局部弹性性地基模模型1867年前后，，温克尔尔（E.Winkler）对地基基提出如如下假设设：地基表面面任一点点的沉降降与该点点单位面面积上所所受的压压力成正正比。即即式中,y为地基的的沉陷，，m；k为地基系系数，，，其其物理意意义为：：使地基产产生单位位沉陷所所需的压压强；p为单位面面积上的的压力强强度，。。这个假设设实际上上是把地地基模拟拟为刚性性支座上上一系列列独立的的弹簧。。当地基基表面上上某一点点受压力力p时，由于于弹簧是是彼此独独立的，，故只在在该点局局部产生生沉陷y，而在其其他地方方不产生生任何沉沉陷。因因此，这这种地基基模型称称作局部部弹性地地基模型型。（3.1）优点：按温克尔尔假设计计算地基基梁时，，可以考考虑梁本本身的实实际弹性性变形，，因此消消除了反反力直线线分布假假设中的的缺点。。局部弹性性地基模模型缺点：温克尔假假设本身身的缺点点是没有有反映地地基的变变形连续续性，当当地基表表面在某某一点承承受压力力时，实实际上不不仅在该该点局部部产生沉沉陷，而而且也在在邻近区区域产生生沉陷。。由于没没有考虑虑地基的的连续性性，故温温克尔假假设不能能全面地地反映地地基梁的的实际情情况，特特别对于于密实厚厚土层地地基和整整体岩石石地基，，将会引引起较大大的误差差。但是是，如果果地基的的上部为为较薄的的土层，，下部为为坚硬岩岩石，则则地基情情况与图图中的弹弹簧模型型比较相相近，这这时将得得出比较较满意的的结果。。2.半无限体体弹性地地基模型型为了消除除温克尔尔假设中中没有考考虑地基基连续性性这个缺缺点，后后来又提提出了另另一种假假设：把把地基看看作一个个均质、、连续、、弹性的的半无限限体（所所谓半无无限体是是指占据据整个空空间下半半部的物物体，即即上表面面是一个个平面，，并向四四周和向向下方无无限延伸伸的物体体）。优点：缺点：一方面反反映了地地基的连连续整体体性，另另一方面面又从几几何上、、物理上上对地基基进行了了简化，，固而可可以把弹弹性力学学中有关关半无限限弹性体体这个古古典问题题的已知知结论作作为计算算的基础础。当然这个个模型也也不是完完美无缺缺的。例例如其中中的弹性性假设没没有反映映土壤的的非弹性性性质，，均质假假设没有有反映土土壤的不不均匀性性，半无无限体的的假设没没有反映映地基的的分层特特点等。。此外，，这个模模型在数数学处理理上比较较复杂，，因而在在应用上上也受到到一定的的限制。。本章所讨讨论的弹弹性地基基梁计算算理论采采用局部部弹性地地基模型型。3.弹性地基基梁的挠挠度曲线线微分方方程式及及其初参参数解基本假设设：在弹性地地基梁的的计算理理论中，，除上述述局部弹弹性地基基模型假假设外，，还需作作如下三三个假设设：（1）地基梁梁在外荷荷载作用用下产生生变形的的过程中中，梁底底面与地地基表面面始终紧紧密相贴贴，即地地基的沉沉陷或隆隆起与梁梁的挠度度处处相相等；（（2）由于梁梁与地基基间的摩摩擦力对对计算结结果影响响不大，，可以略略去不计计，因而而，地基基反力处处处与接接触面相相垂直；；（3）地基梁梁的高跨跨比较小小，符合合平截面面假设，，因而可可直接应应用材料料力学中中有关梁梁的变形形及内力力计算结结论。1.弹性地基基梁的挠挠度曲线线微分方方程式左图所示示为局部部弹性地地基梁上上的长为为l、宽度为为b单位宽度度1的等截面面直梁，，在荷载载及及Q作用下，，梁和地地基的沉沉陷为，，梁梁与地基基之间的的反力为为。。在在局部部弹性地地基梁的的计算中中，通常常以沉陷陷函数作作为基本本未知量量，地基基梁在外外荷载、、Q作用下产产生变形形，最终终处于平平衡状态态，选取取坐标系系xoy，外荷载载，地基基反力，，梁截面面内力及及变形正正负号规规定如右右图所示示。1.弹性地基基梁的挠挠度曲线线微分方方程式为建立应应满满足的挠挠曲微分分方程，，在梁中中截取一一微段，，考察该该段的平平衡有：：得：得：化简得：

将上式对对于x求导得：：略去二阶阶微量得得：（3.2）（3.3）（3.4）如果梁的的挠度已已知，则则梁任意意截面的的转角θ，弯矩M，剪力Q可按材料料力学中中的公式式来计算算，即:1.弹性地基基梁的挠挠度曲线线微分方方程式此即为弹弹性地基基梁的挠挠曲微分分方程式式令，，若若地基基梁宽度度为b，则有2.对应齐次次微分方方程的通通解上面推导导得弹性性地基梁梁的挠曲曲微分方方程式是是一个四四阶常系系数线性性非齐次次微分方方程，令令式中，即得对对应齐次次微分方方程：由微分方方程理论论知，上上述方程程的通解解由四个个线性无无关的特特解组合合而成。。为寻找找四个线线性无关关的特解解，令并代入上上式有：：或由复数开开方根公公式得：：是与梁和和地基的的弹性性性质相关关的一个个综合参参数，反反映了地地基梁与与地基的的相对刚刚度，对对地基梁梁的受力力特性和和变形有有重要影影响，通通常把称为特征系数，称为换算长度。（3.7）（3.8）（3.9）2.对应齐次次微分方方程的通通解由上式（（3.8），分别别令时k=1,2,3时，即可可得四个个线性无无关的特特解，将将其进行行组合并并引入四四个积分分常数，，即得齐齐次微分分方程式式（3.7）的通解解；利用双曲曲函数关关系：且令则有式中B1、B2、B3、及B4均为待定定积分常常数式（3.10）和式（（3.11）均为微微分方程程（3.7）的通解解，在不同的的问题中中，有各各自不同同的方便便之处。。（3.10）（3.11）（一）初初参数法法3.初参数解解由式（3.11），再据据式（3.5）有（3.12）式（3.12）中积分常数B1、B2、B3、B4的确定是一个重要环节，梁在任一截面都有四个参数量，即挠度y、转角、弯矩M、剪力Q、而初始截面（x=o）的四个参数、、、就叫做初参数。用初参数数法计算算了弹性性地基梁梁的基本本思路是是，把四四个积分分常数改改用四个个初参数数来表示示，这样样做的好好处是:使积分常常数具有有明确的的物理意意义;根据初参参数的物物理意义义来寻求求简化计计算的途途径。3.初参数解解（二）用用初参数数表示积积分常数数如图3.4所示，梁梁左端的的四个边边界条件件（初参参数）为为（3.13）将上式代代入式（（3.12），解出出积分常常数得：：（3.14）3.初参数解解再将式（（3.14）代入式式（3.12），并注注意，，则有（3.15）3.初参数解解其中、、、、、及及称称为双曲曲线三角角函数，，它们之之间有如如下微分分关系：：式（3.15）即为用用初参数数表示的的齐次微微分方程程的解，，该式的一一个显著著优点是是式中每每一项都都具有明明确的物物理意义义，如式（3.15）中的第第一式中中，表表示示当原点点有单位位挠度（（其他三三个初参参数均为为零）时时梁的挠挠度方程程，表示原点点有单位位转角时时梁的挠挠度方程程，等等等；另一个显显著优点点是，在四个个待定常常数、、、、、、中中有有两个参参数可由由原点端端的两个个边界条条件直接接求出，，另两个个待定初初参数由由另一端端的边界界条件来来确定。。这样就就使确定定参数的的工作得得到了简简化。表表3.1列出了实实际工程程中常遇遇到的支支座形式式反荷载载作用下下梁端参参数的值值。3.初参数解解3.初参数解解式（3.7）等价于于地基梁梁仅在初初参数作作用下的的挠曲微微分方程程，式（（3.6）等价于于地基梁梁既有初初参数作作用，又又有外荷荷载作用用的挠曲曲微分方方程，其其特解项项就是仅仅在外荷荷载作用用下引起起的梁挠挠度的附附加项。。下面根根据梁上上作用的的各种形形式荷载载分别加加以讨论论。4.弹性地基基梁挠曲曲微分方方程的特特解（一）集集中荷载载作用的的特解项项1、集中力力作用的的特解项项。如图3.5为一弹性性地基梁梁，O端作用有有初参数数、、、、、、，，A点有集中中力p。设y1为OA段的挠度度表达式式，y2为AB段的挠度度表达式式，由梁梁上无分分布荷载载作用，，故OA和AB段的挠曲曲微分方方程分别别为4.弹性地基基梁挠曲曲微分方方程的特特解其中式（3.16a）的解可可用梁端端初参数数来表示示，即（3.17）式（3.16b）的解可可用初参参数作用用下的解解y1与集中力力pi单独作用用下引起起的附加加项叠加加，即将式（3.18）代入式式（3.16b），并注注意式（（3.16a）有（3.19）比较式（（3.16a）和式（（3.16b）知，式式（3.19）解的形形式与式式

（3.17）相同，，不同之之处是将将x换为，，四个个初参数数应解释释为处处的突突变挠度度，，转角，，弯弯矩，，剪剪力，，故故有（3.20）4.弹性地基基梁挠曲曲微分方方程的特特解由A点的变形形连续条条件和受受力情况况有代入式（（3.20）,并据式（（3.5）得（3.21）当时时，取特解解项为零。。4.弹性地基梁梁挠曲微分分方程的特特解2、集中力偶偶mi作用的特解解项。由pi作用下特解解项的推导导结果可知知，挠度附附加项形式式与初参数数Q。作用下的的挠度相同同，只是坐坐标起点与与符号不同同。同理，，在集中力力偶mi作用下挠度度附加项与与初参数M。作用下挠挠度也具有有相同的形形式，如图图3.6所示，Mo=Mi，故有（3.22）当时时，取特特解项为零零。4.弹性地基梁梁挠曲微分分方程的特特解（二）分布布荷载作用用下的特解解项分布荷载可可分解成多多个集中力力，按集中中力求特解解项，为此此，在x截面左边，，离端点的的距离为u处取微段du，微段上荷荷载为qdu，此微荷载载在它右边边的截面x处引起的挠挠度特解项项为（如图图3.7）而x截面以左所所有荷载引引起的特解解项为（3-23）下面讨论分分布荷载的的几种特殊殊情况。4.弹性地基梁梁挠曲微分分方程的特特解1、均布荷载载如图3.7，荷载均布布于ab段，对于oa段显然没有有附加项，，当时时，，积分限是是，，由式式（3.23）及式（3.5）有（3.24）当时时，积分分限是（xa、xb），由式（（3.23）及式(3.5)有（3.25）4.弹性地基梁梁挠曲微分分方程的特特解当荷载满跨跨均布时，，积分限是是（o、x），故有（3.26）2、三角形分分布荷载如图3.8所示，三角角形荷载分分布于ab段，有(3.27)当时时，积积分限为,由式（3.27）及式（（3.5）得4.弹性地基梁梁挠曲微分分方程的特特解（3.28）当时，积分限是，同理得（3.29）当三角形荷荷载布满全全跨时，积积分限是（（o、x）有（3.30）3、梁全跨布布满梯形荷荷载的特解解项。如图3.9所示的地基基梁在梯形形荷载作用用下的特解解项只须把把式(3.26)与式（3.30）两式叠加加即可。4.弹性地基梁梁挠曲微分分方程的特特解4.弹性地基梁梁挠曲微分分方程的特特解（三）弹性性地基梁在在、、、、、、、、、、、、共共同作作用下挠曲曲微分方程程的通解如图3.10所示的弹性性地基梁，，同时作用用有集中力力、力偶、、均布载、、三角载时时，综合各各种荷载的的影响，就就可得出挠挠度的一般般公式，进进行微分运运算后，还还可得出转转角、弯矩矩及剪力的的一般公式式，即4.弹性地基梁梁挠曲微分分方程的特特解

式（3.31）中，当，时，pi、mi两项取值为零。（3.31）4.弹性地基短短梁、长梁梁及刚性梁梁上节的结果果，能直接接用于计算算各种几何何尺寸及弹弹性特征值值的的弹性性地基等截截面直梁。。在工程实实践中，经经计算比较较及分析表表明，可根根据不同的的换算长度度，，将地地基梁进行行分类，然然后采用不不同的方法法进行简化化。通常将将弹性地基基梁分为三三种类型。。弹性地基梁梁的分类短梁（又称有限限长梁）（（图3.11（a）），当弹弹性地基梁梁的换算长长度时时，，属于短梁梁，它是弹弹性地基梁梁的一般情情况。长梁：无限长梁梁（图3.11（b））、半无无限长梁（（图3.11（c））。当换换算长度时时，属于于长梁；若若荷载作用用点距梁两两端的换算算长度均时时，，可忽略该该荷载对梁梁端的影响响，这类梁梁称为无限限长梁；若若荷载作用用点仅距梁梁一端的换换算长度时时，，可忽略该该荷载对这这一端的影影响，而对对另一端的的影响不能能忽略，这这类梁称为为半无限长长梁，无限限长梁可化化为两上半半无限长梁梁。刚性梁（3.11（b）），当换换算长度时时，属于于刚性梁。。这时，可可认为梁是是绝对刚性性的，即EI→∞或2→0。长梁、短梁梁和刚性梁梁的划分标标准主要依依据梁的实实际长度与与梁和地基基的相对刚刚度之乘积积，划分的的目的是为为了简化计计算。事实实上，长梁梁和刚性梁梁均可按上上一节介绍绍的公式进进行计算，，但长梁、、刚性梁与与短梁相比比有其自身身的一些特特点，较短短梁相比，，计算可以以进一步简简化。1.长梁的计算算（一）无限限长梁作用用集中力Pi的计算如图3.12所示，梁上上作用有集集中力Pi，由于力作作用点至两两端点均满满足，，故把梁梁看作无限限长梁。又又因梁上分分布荷载，，为便于于分析，现现采用梁挠挠曲方程齐齐次解式的的形式，即即由条件；；又由对称条条件知：考考虑地基反力力与外载Pi的平衡条件：：式（3.10）可写为（3.32）最后可得无限限长梁右半部部分的挠度、、转角、变矩矩及剪力：1.长梁的计算（3.33）其中对于梁的左半半部分，只需需将式（3.33）中Q和改变符号即即可。（二）无限长长梁在集中力力偶mi作用下的计算算如图3.13(a)所示无限长梁梁，作和集中中力偶，尽管mi作用点并不一定在梁的对称截面上，但只要mi作用点到两端满足，则mi作用点，就可看作是梁的对称点，因而可把梁分为两根半无限长梁（图3.13(b)、（c）)。梁对称截面上的反对称条件为代入式（3.10）得A1=A2=A3=0及，，最后得无限限长梁右半部部分的变形及及内力为：（3.34）对于左半部分分，只需将上上式中y与M变号即可。（二）无限长长梁在集中力力偶mi作用下的计算算（三）半无限限长梁作用初初参数的计算算如图（3.14）所示的半无无限长梁，梁梁端作用有初参数，因因，，故可借借助挠曲方程程齐次解的结结果，为了方方便分析，采采用式（3.11）的形式：由代代入入上式得故有B1=-B3，B2=-B4再由