高数-建模层次分析法

层次分析法建模多种方案—问题的提出日常生活中有许多决策问题。决策是指在时需要依据一定的标准选择某 案。例1 准备选购一台电冰箱他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解后，选取一些中间指标进行 。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信誉、

等。然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即 电冰箱的排序权重。有了这个权重向量，决策就很容易了。例2旅游假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去凉爽宜人的或者是去山水甲天下的桂林？通常会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例3

择业毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条

件等因素择业。例4科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程因素占有相当的，各种因素的影响很难量化，从而给用数学方法解决问题带来不便。T.L.Saaty等人在20世纪七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。层次分析法（ ytic

Hierarchy Process,

AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又 法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。层次分析法的基本思路：选择钢笔质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。二 层次分析法的基本步骤买钢笔质量颜色价格可供选择的笔外形实用1

建立层次结构模型将决策问题分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层；通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重；将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。例1

选择钢笔的层次结构目标层准则层方案层选择旅游地景色费用居住苏杭、

、桂林饮食旅途例2

选择旅游地的层次结构准则层A方案层B目标层Z人们在决策的时候凭自己的经验和知识进行判断，当因素较多时给出的结果往往是不全面和 确的，如果只是定性的结果，则常常不被别人接受。Saaty等人的做法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比；二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的 ，提高准确度。选择旅游地景色费用居住饮食旅途苏杭北戴河桂林目标层准则层方案层2

,,

xn

2

构造成对比较矩阵设某层有n个因素，要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的。（即把n个因素对上层某一目标的影响程度排序）上述比较是两两因间进行的比较，比较时取1~9尺度。用aij表示第i

个因素相对于第j个因素的比较结果，则a

jiija

1

nn

a

a

a

a

a

a

n1

n

22n

nnijA

a

21a1n

a11

a1222A则称为成对比较矩阵。尺度含义１第

i个因素与第

j

个因素的影响相同３第i

个因素比第j

个因素的影响稍强５第i

个因素比第j

个因素的影响强７第i

个因素比第j

个因素的影响明显强９第i

个因素比第j

个因素的影响绝对地强比较尺度：（1~9尺度的含义）2,4,6,8表示第

i个因素相对于第j个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据。jiijaa

1

ijnn由上述定义知，成对比较矩阵

A

a

ij1,

a

0;

2,;1jiijaa

则称为正互反阵。比如，在旅游问题中， 给出第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：满足以下性质:ZA1A2A3A4A5A111/2433A221755A31/41/711/21/3A41/31/5211A51/31/5311ii3,

a

1.A1,

A2

,

A3

,

A4

,

A5分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。由上表，可得成对比较矩阵113

53

5

117A

141212表示景色A

与费用a

A21

113之比为1：2，a

4表示景色A与居住条件

A3

之比为4：1，…，可以看出，此人在选择旅游地时，费用因素最重要，景色次之，居住条件再次。旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序

？之比为1：2，之比为4：1，那么与

A21既然A1

3A

与AA2

A2

A1

2

4

8:1

，而不是7：1，才A3

A1

A3

1

1应该有：能说明成对比较是一致的。但是，n个因素要作n(n-1)/2次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了！因此，Saaty等人给出了在成对比较不一致的情况下计算各因素

A1,

A2

,

A3

,

A4

,

A5

对因素z的权重的方法，并且确定了这种不一致的容许范围，为了说明这一点，先看成对比较完全一致的情况。3

层次单排序及一致性检验层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如 一块石头重量记为1，打碎分成n

各小块，各块的重量分别记为：w1

,

w2

,,

wn则可得成对比较矩阵由右面矩阵可以看出，wi

wi

wk

1

w

11

1

w

ww2

w2

1w21

w

w

A

w

n

n

w1

w2wn

nj

k

jw

w

w即，aik

akj

aij

i,

j

1,2,,

n

7,

a21

2,

a13

4

a21

a13在正互反矩阵

A

中，若

aik

akj但在例2的成对比较矩阵中，

a23a23一致阵的性质：

aij,则称

A

为一致阵。ajiij

ii1.

a

1

,

a

1,i,

j

1,2,,

nAT也是一致阵A的各行成比例A的最大特征根（值）为

λ

n,其余n-1个特征根均等于0。A

的任一列(行)都是对应于特征根n

的特征向量。若成对比较矩阵是一致阵，则 自然会取对应于最这样确定权向量的方法称为特征根法.定理：

n

阶互反阵

A

的最大特征根

n

，当且仅当

n

时，A

为一致阵。1

2

n大特征根n的归一化特征向量w

,w

,,w

，（ni

1i

w

1

）wi

表示下层第i

个因素对上层某因素影响程度的权值。

若成对比较矩阵不是一致阵，但在不一致的容许范围内，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量

w

，则Aw

ww

w1,

w2

,,

wn

n

1因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用

n

数值的大小来衡量A

的不一致程度。CI

n由于

连续的依赖于aij，则

比

n

大的越多，

A的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较定义一致性指标CI=0时，A为一致阵；CI越大A

的不一致程度越严重。注意到A

的n

个特征根之和恰好为n

，所以CI相当于除外其余的特征根的平均值(取绝对值)定义随机一致性指标

RIA1,

A2

,,

A500CI1,CI2

,,CI500500n

11

2

500RI

CI1

CI

2

CI

500500随机一致性指标RI的数值：

n则可得一致性指标随机构造500个成对比较矩阵n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51RICR

CI

0.1

时，认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对

A

加以调整。一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1及随机一致性指标的数值表，对

A

进行检验的过程。一般，当一致性比率4层次总排序及其一致性检验确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序从最

到最低层逐层进行。设：ZA1A2AmB1B2BnA层m个因素A1,A2

,,Am

,对总目标Z的排序为a1,a2

,,amB层n个因素对上层A中因素为Aj的层次单排序为b1

j

,b2

j

,,bnj

(

j

1,2,,

m)Bn

:

a1bn1

a2bn

2

ambnmB2

:

a1b21

a2b22

amb2m即B层第i

个因素对总目标的权值为：B

层的层次总排序为：

B1

:

a1b11

a2b12

amb1mm

ajbijj

1ABA1,

A2

,,

Ama1,

a2

,,

amB层的层次总排序B1b11

b12b1mm

ajb1

j

b1j

1ma

jb2

j

b2j

1m

ajbnj

bnj

1B2b21

b22b2m

Bnbn1

bn

2bnm层次总排序的一致性检验设

B

层

B1,

B2

,,

Bn

对上层(

A

层)中因素

Aj

(

j

1,2,,

m)的层次单排序一致性指标为

CI

j

，随机一致性指为

RI

j

，则层次总排序的一致性比率为：CR

a1CI1

a2CI

2

amCI

ma1RI1

a2

RI2

am

RIm当CR

0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。计算单排序权向量并做一致性检验对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。层次分析法的基本步骤归纳如下4.计算总排序权向量并做一致性检验计算最下层对最上层总排序的权向量。利用总排序一致性比率CR

a1CI1

a2CI

2

amCI

ma1RI1

a2

RI2

am

RImCR

0.1进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR

较大的成对比较矩阵。三层次分析法建模举例1

旅游问题(1)建模ZA1A2A3A4A5B1B2B3A1,

A2

,

A3

,

A4

,

A5分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。B1,

B2

,

B3分别表示苏杭、 、桂林。（2）构造成对比较矩阵

1

2A

41

7

55

BB1331

3B

113

13113

1

1414B

1

4

1

1

15B

1

1

4

4

4

1

0.263,

0.475,

0.055,

0.099,

0.110(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验成对比较矩阵

A

的最大特征值

5.073该特征值对应的归一化特征向量1.125

1RI

1.12CR

0.018

0.016

0.1则

CI

5.073

5

0.018表明

A

通过了一致性验证。故对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：B1,

B2

,

B3

,

B4

,

B5k12345k10.5950.0820.4290.6330.166k

20.2770.2360.4290.1930.166k

30.1290.6820.1420.1750.668k3.0053.00233.0093CIk0.0030.00100.0050RIk0.580.580.580.580.58CRk

0.0052

0.0017

0

0.0086

0计算

CRk

可知

B

,

B

,

B

,

B

,

B

通过一致性检验。1

2

3

4

5B1

对总目标的权值为：0.595

0.263

0.082

0.475

0.429

0.055

0.633

0.099

0.166

0.110

0.3（4）计算层次总排序权值和一致性检验又决策层对总目标的权向量为：

0.3,

0.246,

0.456同理得，B2

,B3对总目标的权值分别为：0.246,

0.456,CR

(0.263

0.003

0.475

0.001

0.055

0

0.099

0.005

0.110

0)/

0.58

0.015

0.1故，层次总排序通过一致性检验。0.3,

0.246,

0.456

可作为最后的决策依据。B3

B1

B2又

B1,

B2

,

B3故最后的决策应为去桂林。分别表示苏杭、、桂林，即各方案的权重排序为四层次分析法的优点和局限性系统性层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。3简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：第一只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。第二该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。第三从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。思考：多名的综合决策问题五正互反阵最大特征值和特征向量实用算法用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时；成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。寻找简便的近似方法。定理对于正矩阵A

（A的所有元素为正）A

的最大特征根为正单根

；

对应正特征向量w（w的所有分量为正）；3）Ak

ek

eT

Ak

elim

w其中

e

(1,1,,1)Tw

是对应

的归一化特征向量。1

幂法

步骤如下任取n

维归一化初始向量

w

(0)计算

w~(k

1)

Aw(k

)

,

k

0,1,2,w~

(

k

1)c)

归一化，即令(k

1)(k

1)(k

1)nw

ii1~/~w

wd)对于预先给定的精度

，当下式成立时wi(k

1)

(k

)

w

,

i