课件线性代数

第一节行列式的定义一阶方阵A

(a11

)的行列式det(a11

)定义a11二阶方阵aaA

a11

a12

21 22

的行列式a12a21

a22det

A

a11定义a11a22

a12a21代数

式的定义在n

阶方阵A

(ai

j)nn

中划去元素ai

j

所在的第i

行第j

列所得的n

1阶矩阵

Ai

j

称为

ai

j

的

矩阵，

det

Ai

j

称为

ai

j

的式，

(1)i

j

det

A

称为a

的代数i

j

i

j式.例如a11

a12

a13

21

22A

a

a

aa

a

a

31

32 33

23

，

A12a

，12det

Aa

a21

a23

31 33

a

a31

a21

a2333，a12

的代数

式为：12(1)12

det

A31a

a

a21

a2333n

阶行列式的定义设n

阶方阵A

(ai

j

)nn

，称A

的行列式a1n

a2nanndet

A

a21a11

a12

a22

an1

an2为n

阶行列式，当n

2

时，det

A

定义n1

j1

jj

1a

(1)

1

jdet

A其中1

j1

j(1) detA1

j为a的代数式.例如，a11

a12

a

(1)12a12

a

a

a

a11

22 12

2121a21

a22a11

a12a21

a22a31

a32

a

(1)11

a1122a13a23a33a22321112a2333

3113a2333

3132a

a

(1)11

a22a

a

a(1)12

a21a

a

a

(1)13

a21a

a11

(a22a33

a23a32

)

a12

(a21a33

a23a31

)

a13

(a21a32

a22a31

)

a11a22

a33

a11a23a32

a12

a21a33

a12a23a31

a13a21a32

a13a22a31例下三角行列式11a22

a

(1)11

a32a11

0a21

a2200an1

an

2ann0a3300an

2

an3

ann

a11a22ann对角行列式

a11a22

anna110000a220

0ann第二节行列式性质及计算定理2.1(展开定理)设n

阶方阵A

(ai

j

)nn

，则有（1）行列式按第r

行展开：nr

jj

1(1)r

j

det

Adet

A

ar

j

，(r

1,

2

,

,n),（2）行列式按第s

列展开：nisdetA

a

(1)i

s

det

Ais

，i1其中

Ai

j

为ai

j

的

矩阵.(s

1,

2

,

,n),例112b000b0002a1

a2

an00

b

0

0an100

0

n1b

0nD

bn0

a

(1)1nbn1

(1)1n

a

bb

bn

1

2

n1定理2.2

det

AT

det

A例上三角行列式a11

a120

a22a1n

a2na110

a12

a22000

0ann

a1n

a2nann

a11a22ann定理2.3（1）用一个数k

乘行列式的一列（行），相当于k

乘此行列Aj

An

，An

k

det

A1j

nA

式。以列为例，设A

(ai

j

)nn

按列分块A1则有det

A1

kAj（2）若三个行A

列式D12、D

、D除第j

列（行）外其余列（行）都相同，且D

的第j

列（行）等于D1

和D2

第j

列（行）的和，则D

D1

D2

。以列为例，有：det

A1

Bj

Cj

det

A1

BjCj

An

An

An

det

A1其中

Aj

、

Bj

、Cj

均为

n

维列向量(

j

1,

2

,

, ,

n)

。注意：若A

为n

阶方阵，则det(kA)(k

)n

det

A

；一般情况下det(A

B)

det

A

det

B例

若

A

为奇数阶称矩阵，则det

A

0称矩阵，即AT

A

，证：设A

为n

阶（n

为奇数）则有det

A

det

AT

det(

A)

(1)n

det

A

det

A所以det

A

0

.定义2.2

矩阵

A

的初等行（列）变换：（1）交换A

的i、j

两行（列）：ri

rj

(ci

c

j

)；（2）

A

的第i

行（列）乘以非零数k：k

ri(

k

ci

)（3）

A

的第j

行（列）乘以数k

加到第i

行（列）：ri

krj

(

ci

k

cj

)定义2.2行列式的初等行（列）变换：（1）交换行列式的i、j两行（列）：ri

rj(

ci

c

j

)；2行列式的第

i

行（列）乘以非零数

k：

k

ri

(

k

ci

)；行列式的第j

行（列）乘以数k

加到第i

行（列）：ri

krj

(

ci

k

cj

)3定理

2.4

交换行列式的两行（列），行列式的值变号。推论1若行列式有两行（列）相同，则行列式的值为02若行列式有两行（列）成比例，则行列式的值为0定理2.5

把行列式的某行（列）的k

倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。以列为例，有：det

A1

Ai

k

Aj

Ajdet

A

A1

iAn

AjAn

j其中A

为n

维列向量(j

1,2,,,n)定理2.5证明：设A

(ai

j

)nn

按列分块A1则AiAjAn

，det

A1

det

A1Ai

kAjAi

det

A1AjAn

AjjnA A

kAAnj

det

A1Ai

An

Aj例b.a.abbbbbDnbbb

(n

1

2c

cc1

c3c

caa

(n

1)bbb

(n

1)bbaabb1

n

a

1)b

b

baa

(n

1)bbbb0a

b00000a

br2

r1r3

r1rn

r1

a

(n

1)b(a

b)n1例

n

阶范行列式3nna2

a2

a2an1

an11

2a2an1an11a11

1a2

a31an123nD

(ai

aj

)1

j

i

n证明：n

2

时2aa1

2

1

j

i

2D

1

1

a

a

2

1

(ai

aj

)结论成立，假设对n

1结论也成立，则2

13

1n

1

n1nr

a

rr

a

rr2

a1r1an1

aan22 1

2an1

a

an23 1

3an1

a

an2n

1

nn1 1

n2111a

a100

a2

a

a02 1

2a

aa

an

12a2

a

a3 1

3a

a

an

1

nDa2

a1a2

a

aan1

aan22 1

22 1

2a2

aaan1

aan23 1

3a2

aaan1

aan2n

1

na3

a1an

a13 1

3n

1

n按第一列展开a2

a1

a2

(a2

a1)22

1an2

(a33

1

a

)nn

1an2

(aan2

(a

a

)a3

a1

a3

(a3

a1)an

a1

an

(an

a1)

a

)23

nan2an2

an22

1

3

1

(a

a

)(a

a

)(

a

an

1)1a21a31an(

a

n

a1)

(ai

aj

)2

j

i

n归纳假设(a2

a1)(a3

a1)

(ai

aj

)1

j

i

n第三节矩阵的秩一.矩阵的秩在矩阵A

(aij)mn中任意取定k行k列，位于行列交叉处的元按原位置组成的k

阶方阵称为A

的一个k

阶子矩阵，该k阶子矩阵的行列式称为A

的一个k

阶子式。例如4

A

2

36

1

0

1 2

0

20

3

,行列式21

12

为A

的一个2

阶子式.定义

2.3

若矩阵

A

中非零子式的最高阶数为

r，则称

A

的秩为r，记为rank(A)

r注意：（1）

rank

(A)

0

A

0

；当A

(ai

j

)mn

0

时，1

rank(A)

minm

,n；rank

(A)

r

A

至少有一r

阶子式非零且所有的r

+1

阶子式（若存在）均为零。例如A

2

36

1

0

1 2

0

2 4

0

3

,

A

存在非零的1

阶子式，且所有的2

阶子式均为零，故rank(A)

1

。定义

2.2

矩阵

A

的初等行（列）变换：(1)

交换

A

的

i、j

两行（列）：ri

rj

(

ci

c

j

)；(2)

A

的第

i

行（列）乘以非零数

k：

k

ri

(

k

ci

)(3)

A

的第j

行（列）乘以数k

加到第i

行（列）：

kcj

)ri

krj

(

ci注意：用A

B

表示矩阵A

经初等变换化为矩阵B定理2.6矩阵经初等变换后秩不变。定义

2.5

满足下列条件的

m

n

矩阵

B

称为阶梯形矩阵：B

的前r

(1

r

m)行非零，其余各行均为零；若B

的第k

(1

k

r)行的第一个非零元为bkj

则kj1

j2

jr12例如，阶梯形矩阵：2

7

B

8001

1

2

0

1

200

结论：阶梯形矩阵的秩等于其非零行数。例如，阶梯形矩阵2

7

80

的一个3

阶子式112017

00080B

01

1

2

0

1

20且所有的4

阶子式均为零，故rank

(B

)

3

.定理2.8非零矩阵可经初等行变换化为阶梯形矩阵。7

A

05

r1r

231

01

r43r102

例

用初等行变换化矩阵

A

为阶梯形矩阵.007

2

0003

1

1

2

10

1

2

6

2

3

2

4

3

3

4

4

30

1

2

61

1

2

10

2

3

2

40

3

4

4

3

50

1

2

60

1

2

6011212

01121r

2r

001267

r

r

001262

7

0

0

0

00

0

0

04 3

B080

1

r3r20rank

(

A)

rank

(

B)

3

.定义2.4若矩阵A

可经有限次初等变换化为矩阵B，则称矩阵A

与矩阵B

等价。定理2.71等价矩阵秩相等；2矩阵A

与自己等价；34若矩阵A

与矩阵B

等价，则矩阵B

与矩阵A

等价；若矩阵A

与矩阵B

等价，矩阵B

与矩阵C

等价，则矩阵A

与矩阵C

等价。定理

2.9

任意非零m

n

矩阵

A

等价于矩阵Er(mr

)r00r(nr

)0(mr

)(nr

)

其中rank

(A)

r

，并称该矩阵为秩为r

的m

n

矩阵的等价标准形。例

求矩阵

A

的等价标准形A

07

000

1

2

6 7

1

1

2

12

800

行c3

c2455

27

43

00

c

2c

02

c

6c

c

c

0

2c

000

c3

4

4

3

51

0

0

00

1

2

60

0

0

0

80

0

0

00

1

1

2

2

0

0

1

2

0

00

0

0

0

1

0

0

0 0

0

1

0

0

3

0

0

0

0

0

83

0

0

0

0

0 0

0

6

c

7c

c

2c62001

0

0

0

0

00

1

0

0

0

00

0

1

0

0

00

0

0

00列

C，C

为A

的等价标准形。二用初等变换求逆阵定义2.6等矩阵。对单位矩阵施行一次初等变换所得矩阵称为初（

1

）E

rirj

E(i

,j)，E

cicj

E(i

,j)，其中

10110E(i

,

j)

第i行

第j行1

第i列 第j列（2）其中E

kir

E

i(k)

，E

kci

E

i(k)

1E

i(k

)

k

第i行1第i列(3)E

irkjr

E

j(k

)

,i

，

E

cjkci

E

j(k

),i

其中E

j(k

),

i

1k11

第i行

第j行

1

第i列

第j列注意：初等矩阵可逆，且其逆阵均为初等矩阵，并有：E(i

,

j)1

E(i

,

j)Ei(k)1

E

i(k1

)E

j(k

),i

E

j(k

),i

1定理

2.10

对m

n

矩阵

A

施行一次初等行变换相当于用相应m

阶初等矩阵左乘A；对m

n

矩阵A

施行一次初等列变换相当于用相应n

阶初等矩阵右乘A.例如，设A

(ai

j

)mn

A1

A

2

按行分块

，则

A

m

A1

A1

Ai

Ai

kAj

Aj

Am

ij

1

r

kr

AjAm

1k1

A1

Ai

Aj

1

Am

E

j(k),i

A定理2.8设A

为m

n

非零矩阵，则存在m

阶初等矩阵P1

,P2

,

,Ps

使P1

P2Ps

A

为阶梯形矩阵。定理2.9

设

A

为m

n

非零矩阵且

rank

(

A)

r

，则存在m

阶初等矩阵

P1

,

P2

, ,

Ps

和

n

阶初等矩阵Q1

,

Q2

,P1

P2

Ps

A1

2tEr(

m

r

)

rQ

000r(

n

r

),Qt

使(

m

r

)(

n

r

)

定理2.11设A

为n

阶方阵，则下列条件等价：（1）A

可逆；2rank

(

A)

n

；3

det

A

0

；（4）A

可表示为有限个初等矩阵的乘积。证：(2)

(3)设A

为n

阶方阵，则rank

(A)

n

A

的非零子式的最高阶数为n

det

A

0

；(1)

(2)设n

阶方阵A

可逆，因为存在n

阶初等矩阵P1

,

P2

, ,

Ps

，

Q1

,

Q2

, ,

Qt使P

P P

A1

2

s1

2tEr(

n

r

)

rQ

000r

(

n

r

)(

n

r

)(

n

r

)

Er(

n

r

)

r00r

(

n

r

)其中rank

(A)

r

，所以0(

n

r

)(

n

r

)

也可逆，因此r

n

，即rank(A)

n

；(2)

(4)设A

为n

阶方阵且rank

(A)

n

，则存在n

阶初等矩阵P1

,

P2

, ,

Ps

，

Q1

,

Q2

, ,

Qt

使

P1

P2

Ps

A

Q1

Q2

Qt

En

，所以s11

1A

P1

P1，即A

可表示为有限个初等矩阵的乘积；(4)

(1)设A

可表示为有限个初等矩阵的乘积，由初等矩阵均可逆知A可逆。用初等行变换求逆阵设A

为n

阶可逆方阵，E

为n

阶单位矩阵，则存在n

阶初等矩阵

P1

,

P2

, ,

Ps

，

Q1

,

Q2

,P1

P2

Ps

A

Q1

Q2,Qt

使Qt

E

，所以s

11

1A

P1

P1，且t

1sA1

PP

，即P P

A

E

，t

1

s t

1

sP P

E

A1构造n

2n

矩阵A

E

，则有：A

E

行

E

A1

例

求方阵

A

的逆阵.2

1

019

A

E

523

4

1

0

2

1

0

11

2

3

0

00

10

行00

1

2

01

2

1

00

10

12

13210

0

1

0

1

0

1

8

1

1110

10 10

14

2

18

10

10 10

12 1 19

10

10 10

E

A1

(1)rr310

2r

2

2 3

0r3010

3

r19

r101

0

1

200

12

10012

110101

A1

1

1410

12

81112

181 19

定理2.12设A

(ai

j

)mn

，B

(bi

j

)n

p

，则rank

(

AB)

min

rank

(

A)

,

rank

(B)定理2.13设A、B

为n

阶方阵，则det(AB)det

A

det

B定理2.13

证明1：（）设A

为初等矩阵，则由det

E(i

,j)

1，det

E

i(k)

k

，det

E

j(k

),i

1

，知det

E(i

,

j)B

det

B

det

E(i

,

j)

det

Bdet

Ei(k)

B

k

det

B

det

E

i(k)det

Bdet

E

j(k

)

,i

B

det

B

det

E

j(k

)

,i

det

B2

设A

可逆，则存在n

阶初等矩阵P1

,A

P1

Ps

，且det

A

det

P1

det

Ps

，即,Ps

使det(

AB)

det(P1

PsB)

det

P1

det

Ps

det

B

det

A

det

B3

设A

不可逆，则det

A

0

且rank

(A)

n

，所以rank

(

AB)

rank

(

A)

n

，

det(

AB)

0

det

A

det

B

.推论（1）若n

阶方阵A、B

满足AB

E，则A、B

均可逆且A1

B（2）若A

可逆则det(A1

)(det

A)1证：（1）因为n

阶方阵A、B

满足AB

E

，所以det(

AB)

det

A

det

B

det

E

1即det

A

0

，det

B

0

，则A、B

均可逆且A1

A1

(

AB)

(

A1

A)B

B（2）因为AA1

E

，所以det

A

det(

A1

)

det(

AA1

)

det

E

1即det(A1

)(det

A)1例

设0

AA

(a

)i

j

n

n

分块

A11A12

22

其中A11

和A22

分别为r

阶和n

r

阶方阵，则det

A

det

A11

det

A22特别地，对于准对角矩阵0

AA

(a

)i

j

n

n

0

22

分块

A11有det

A

det

A11

det

A22第四节

法则引理

设

n

阶方阵

A

(ai

j

)n

n

，且

ai

j

的代数式为Ai

j

，则nj

10

ar

j

As

j(r

,

s

1,

2

,

,,n)

，

det

A0na

A

ir

i

si1

det

A r

sr

s

，r

sr

s

，(r

,

s

1,2

,

,,

n)

，引理证明（以列为例）：当r

s

时ni1det

A

按第s列展开

ais

Ais(s

1,

2

,

, ,

n)当r

s

时，设A

按列分块A1ArArAsArAn

An

B

按列分块A1则ni10

det

B

按第s列展开

air

Ais(r

,

s

1,

2

,

, ,

n)定义2.7设n

阶方阵A

(ai

j

)n

n

，定义A

的伴随矩阵A

(d

)i

j

nni

j其中dj

ii

j

A

A12AA

1n

2nn

n

A

A

A11

A21

A22

A，式，即为ai

j

的代数An1

n

2

A定理2.14若A

可逆则A1

(det

A)1

A定理2.14

证明：设n

阶方阵A

(ai

j

)n

n

，则AA

a

n1

n

2aaa11

a12a21

22

aan

n

A

A2nAA

2n

12a1n

A11

A2122An1

n

2

AA0

(det

A)Enn

1n00

det

A00 det

A0 det

A由

A

可

逆

知

det

A

0

，

所

以A1

(det

A)1

AA(det

A)1

A

E，即例2设A

为三阶方阵，det

A

1

，求det

(3A)1

2

A

.3解：因为(3A)1

1

A1

，A

(det

A)A1

，所以1det

(3