线性代数行列式与克拉默法则

关于线性代数行列式与克拉默法则第1页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五教学要求：1.了解行列式的定义和性质;2.掌握三阶、四阶行列式的计算法，会计算简单的n阶行列式;3.了解排列与对换;4.会用克拉默(Gramer)法则解线性方程组.第2页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第3页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五定义1.

二阶行列式定义为主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算第4页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五定义2.

三阶行列式定义为三阶行列式的计算---对角线法则注意

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．第5页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五说明1.

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

2.

三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.考察三阶行列式如下：第6页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第7页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五定义3.

代数余子式剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式第8页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五定义4.

是一个算式，且第9页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五注意：行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行列式中位于不同行不同列的元素构成的.(3)定义4中行列式按第一行展开，同样也可按第一列展开，甚至按行列式中任意行或列展开.

由此可计算一些行列式.Example1.第10页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五Proof.（数学归纳法）第11页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五不是对角行列式，第12页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五性质1

行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.说明

行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第13页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例如推论如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为零.证明互换相同的两行，有性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.第14页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五推论

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明注意与矩阵数乘运算的区别,第15页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五性质5若行列式D的某一列（行）的元素都是两数之和:则D等于下列两个行列式之和：例如第16页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五性质６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如第17页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五性质7.行列式按行（列）展开法则下面证明:证第18页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第19页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五相同同理第20页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第21页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五性质8.Laplace定理(2)

Laplace定理第22页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第23页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五为方便起见，引用以下符号：其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为三角行列式来计算行列式的值.第24页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五Solution.第25页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五ex3.已知204,527,255三数都能被17整除，不计算行列式的值，证明三阶行列式也能被17整除.Solution.第26页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五Solution.第27页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第28页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五Solution.第29页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五Solution.其二、当行列式各行(列)元素之和相同时，应先把各列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再考虑.第30页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五Solution.第31页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五故原方程的解为第32页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五思考其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行列式的某一行(列)化出尽量多的0元素，然后由定义按该行(列)展开.第33页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五Solution.第34页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五Solution.第35页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第36页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第37页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数学归纳法计算或证明行列式的值.第38页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五Solution.（数学归纳法）第39页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第40页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五这个行列式称为Vandermonde（范德蒙）行列式，可见Vandermonde（范德蒙）行列式为零的充要条件是注意不是Vandermonde行列式第41页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五解法1其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶同型行列式的线性关系，再由递推法得出结果.第42页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第43页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五解法2第44页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五其六.当行列式为三线非0行列式时，将其转化为三角行列式来计算.

第45页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加上一行一列.用于主对角线上元素不同，其余元素相同(或各行其余元素成比例)的行列式.Solution.第46页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第47页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第48页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五Solution.第49页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五五.分块矩阵的行列式①②③第50页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五定义1.如2431是一个4级排列.定义2.在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.第51页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例如排列32514中，32514逆序逆序逆序32514逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.第52页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五定义3.逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列.定义4.在一个排列中某两个数的位置调换，而其余的数不动，从而构成一个新的排列，这种调换叫做对换.将相邻两个数字对换，叫做相邻对换.结论1.对换改变排列的奇偶性.第53页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五结论2.关于n阶行列式的另一定义第54页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五ex14.已知Solution.含的项有两项,即在中对应于第55页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第56页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五1.线性方程组当方程个数与未知数个数相同时,线性方程组的形式为:则称此方程组为非

齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.第57页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五2.Gramer法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即第58页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为其中是把系数行列式

中第j

列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n

阶行列式，即第59页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五证明在把个方程依次相加，得第60页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五由代数余子式的性质可知,于是当时,方程组(2)有唯一的一个解第61页，共65页，2022年，5月20日，18点40分，星期五由于方程组与方程组等价,故也是方程组(1)的解.3.重要定理定理1.

如果线性方程组的系数行列式不等于0，则方程组一定有解，且解是唯一的.定理2.

如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为0.第62页，共65页，202