【疑难突破】已知函数的单调性求参数的取值范围

已知函数的单调性

求参数的取值范围已知函数的单调性求参数的取值范围讲解可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充要条件：f′（x）≥0（f′（x）≤0）在（a，b）上恒成立，且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒等于0．已知函数的单调性求参数的取值范围讲解已知f（x）在区间（a，b）上的单调性，求参数的取值范围的方法：利用集合的包含关系处理f（x）在（a，b）上单调递增（减）的问题，则区间（a，b）是相应单调区间的子集；利用不等式恒成立处理f（x）在（a，b）上单调递增（减）的问题，则f′（x）≥

0（f′（x）≤0）在（a，b）内恒成立，注意验证等号是否取到．已知函数的单调性求参数的取值范围例已知关于x的函数f（x）＝x3－ax＋b．（1）若函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的一个单调递增区间为（1，＋∞），求实数a的值．思路点拨：（1）求f′（x）—→由f′（x）≥10分离参数a—→确定实数a的取值范围．解析：（1）由题意得，f′（x）＝3x2－a．若函数f（x）＝x3－ax＋b在（1，＋∞）上是增函数，则f′（x）≥10在x∈（1，＋∞）上恒成立，即a≤3x2在x∈（1，＋∞）上恒成立，则a≤（3x2）min．所以a≤3，即a的取值范围是（－∞，3]．因为x＞1，所以3x2＞3．已知函数的单调性求参数的取值范围例已知关于x的函数f（x）＝x3－ax＋b．（1）若函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的一个单调递增区间为（1，＋∞），求实数a的值．思路点拨：（2）思路一：f′（1）＝0—→确定实数a的值．解析：（2）解法一：由题意可知f′（x）≥10在（1，＋∞）上恒成立，且f′（1）＝3－a＝0，解得a＝3，经验证，a＝3满足条件，所以a＝3．已知函数的单调性求参数的取值范围例已知关于x的函数f（x）＝x3－ax＋b．（1）若函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的一个单调递增区间为（1，＋∞），求实数a的值．思路点拨：（2）思路二：对参数a进行分类讨论—→得到实数a的值．此时，f（x）＝x3－ax＋b在R上是增函数，解析：（2）解法二：令f′（x）≥10，得x2≥

．若a≤0，则x2≥

恒成立，即f′（x）≥0恒成立，与题意不符．已知函数的单调性求参数的取值范围例已知关于x的函数f（x）＝x3－ax＋b．（1）若函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的一个单调递增区间为（1，＋∞），求实数a的值．思路点拨：（2）思路二：对参数a进行分类讨论—→得到实数a的值．若a＞0，由f′（x）≥0，得x≥

或x≤

．因为（1，＋∞）是函数的一个单调递增区间，所以

＝1，即a＝3．已知函数的单调性求参数的取值范围例已知关于x的函数f（x）＝x3－ax＋b．（1）若函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的一个单调递增区间为（1，＋∞），求实数a的值．陷阱分析理解题意时，要注意“（1）函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数”与“（2）函数f（x）的一个单调递增区间