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文档简介

归纳—猜想—证明，解决与递推公式有关的数列问题归纳—猜想—证明，解决与递推公式有关的数列问题讲解在给出了已知数列的递推关系的情况下，可根据已知写出数列的前几项，猜想出结论，然后用数学归纳法证明该结论．用不完全归纳法归纳结论，用数学归纳法证明结论．正确计算是归纳的前提，常见的等差、等比数列的有关结论是归纳的桥梁，而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿．归纳—猜想—证明，解决与递推公式有关的数列问题“归纳—猜想—证明”的解题步骤计算归纳猜想证明根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的基础通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论对一般结论用数学归纳法进行证明归纳—猜想—证明，解决与递推公式有关的数列问题例1已知数列{an}满足a1＝a（a＞0），an＝

（n≥2，n∈N*）．（1）用a表示a2，a3，a4；（2）猜想an的表达式（用a和n表示），并用数学归纳法证明．思路点拨：利用递推公式求出a2，a3，a4，归纳出通项公式，再用数学归纳法证明结论．解析：（1）由已知得，归纳—猜想—证明，解决与递推公式有关的数列问题例1已知数列{an}满足a1＝a（a＞0），an＝

（n≥2，n∈N*）．（1）用a表示a2，a3，a4；（2）猜想an的表达式（用a和n表示），并用数学归纳法证明．解析：（2）因为所以猜想下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，因为a1＝a＝

，所以当n＝1时猜想成立．②假设当n＝k（k∈N*）时猜想成立，归纳—猜想—证明，解决与递推公式有关的数列问题例1已知数列{an}满足a1＝a（a＞0），an＝

（n≥2，n∈N*）．（1）用a表示a2，a3，a4；（2）猜想an的表达式（用a和n表示），并用数学归纳法证明．即所以猜想所以当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时猜想也成立．根据①与②可知，猜想对任意n∈N*都成立．归纳—猜想—证明，解决与递推公式有关的数列问题例2已知数列{an}，an≥0，a1＝0，

，求证：当n∈N*时，an＜an＋1．（2）假设当n＝k（k∈N*）时，0≤ak＜ak＋1，又an≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1＞0，证明：（1）由题意得，当n＝1时，

＋a2－1＝0，因为an≥0，所以a2＝

，即a1＜a2成立．所以＝（ak＋2－ak＋1）（ak＋2＋ak＋1＋1）＞0，所以ak＋1＜ak＋2，即

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