【教学课件】环节一 函数y=Asin(ωx+φ)（一）

函数y=Asin(ωx＋φ)环节一函数y=Asin(ωx＋φ)（一）1．创设实际情境新知探究筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业身产中得到使用（图（1））．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图（2））．图（1）图（2）假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系吗？2．建立函数模型新知探究问题1筒车上的盛水筒作匀速圆周运动，具有周期性，可以考虑用三角函数模型来刻画它的运动规律．如图，将筒车抽象成圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过ts后，盛水筒从点P0运动到点P，此时盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？它们之间有怎样的关系？答案：如图，与动点P距离水面的高度H相关的量有：筒车转轮的中心O距离水面的高度h，筒车的半径r，筒车转动的角速度为ω，初始位置P0以及所经过的时间t．2．建立函数模型如图，以O为原点，以与水面平行的直线为x轴，建立直角坐标系．设以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过ts后运动到点P(x，y)．于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωx＋φ，依据三角函数定义得

y=rsin(ωx＋φ)．①所以，盛水筒距离水面的高度H与时间之间t的关系是

H＝rsin(ωx＋φ)＋h．②新知探究2．建立函数模型新知探究函数H＝rsin(ωx＋φ)＋h就是建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律．由于h为常量，所以只需研究函数y=rsin(ωx＋φ)的性质，即只需研究形如y=Asin(ωx＋φ)（其中A>0，ω>0）的函数．3．明确研究思路答案：根据之前对函数的研究思路，接下来我们应该研究函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质及其简单应用．在本章前面的学习中，已经通过解析式研究了函数y=Asin(ωx＋φ)的性质，比如周期、单调性、最值等，所以接下来我们主要研究函数y=Asin(ωx＋φ)的图象，从而更直观地把握这个函数的性质．新知探究问题2根据以前研究函数的经验，以及已学的三角函数内容，你认为对于函数y=Asin(ωx＋φ)接下来应该研究什么？3．明确研究思路答案：类比对二次函数y=a(x－h)²+k图象的研究过程，用的是“控制变量法”．具体的研究过程是：先给两个参数赋特值，依次探究另一个参数a，h或k的变化对函数图象的影响，再综合考虑三个参数的影响．对于每个参数的研究，都采取了特殊到一般的方法，即先给参数赋特值，观察图象变化情况，之后归纳出一般规律．新知探究问题3从解析式看，y=sinx就是函数y=Asin(ωx＋φ)在A=1，ω=1，φ=0时的特殊情形，所以我们可以借助函数y=sinx的图象研究参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx＋φ)的图象的影响．函数y=Asin(ωx＋φ)含有三个参数，类比以往研究函数的经验，对于含有多个参数的函数，你认为应该按怎样的思路进行研究？3．明确研究思路新知探究问题3从解析式看，y=sinx就是函数y=Asin(ωx＋φ)在A=1，ω=1，φ=0时的特殊情形，所以我们可以借助函数y=sinx的图象研究参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx＋φ)的图象的影响．函数y=Asin(ωx＋φ)含有三个参数，类比以往研究函数的经验，对于含有多个参数的函数，你认为应该按怎样的思路进行研究？答案：所以对于函数y=Asin(ωx＋φ)的图象的研究，我们也可以先分别讨论A，ω，φ对函数y=Asin(ωx＋φ)的图象的影响，然后再综合考虑三个参数的影响．对于每个参数的研究，也采取特殊到一般的方法．4．探究φ对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响新知探究问题4我们先从探究φ对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响开始，即探究函数y=sin(ωx＋φ)的图象与y＝sinx的图象有什么关系？数学实验：借助信息技术，自己动手操作，完成下列实验．如图，取A=1，ω=1，动点M在单位圆O1上以单位角速度按逆时针方向运动．如果动点M以Q0为起点（此时φ=0），经过xs后运动到点P，那么点P的纵坐标y就等于sinx，以（x，y）为坐标描点，可得正弦函数y＝sinx的图象．新知探究4．探究φ对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响在单位圆上拖动起点Q0，使点Q0绕点O1旋转

到Q1，你发现图象有什么变化？观察发现：当起点位于Q1时，即φ=

，此时函数为y＝sin(x＋

)

，发现将y＝sinx的图象向左平移

可得到y＝sin(x＋

)的图象．新知探究4．探究φ对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响这个规律反映在图象上就是：如果F(x，y)是函数y＝sinx图象上的一点，那么G(x－

，y)就是函数y＝sin(x＋

)图象上的点．这也就说明，函数y＝sinx图象上所有点向左平移

个单位长度，就得到y＝sin(x＋

)的图象．追问1结合筒车说明，φ的值表示什么实际意义？并结合φ的实际意义，解释为什么将y＝sinx的图象向左平移

可得到函数y＝sin(x＋

)的图象？答案：φ的值表示盛水筒初始位置所对应的角．在单位圆上，如果动点M以Q0为起点到达圆周上点P的时间为xs，那么以Q1为起点到达点P的时间是(x－

)s．新知探究4．探究φ对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响追问2如果起点Q0绕O1旋转

，

，

，对应的函数图象如何变化呢？答案：通过实验操作和结合φ的实际意义解释，可以得到，当φ分别等于

，

，

时，对应的函数图象分别可以看作是函数y＝sinx图象上的所有点向右平移

、向左平移

、向右平移

个单位后得到的．新知探究4．探究φ对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响追问3根据上面的研究，你能归纳出φ对函数y=sin(ωx＋φ)图象影响的一般化结论吗？结论：一般地，当动点M的起始位置Q对应的角为φ时，对应的函数是y=sin(ωx＋φ)(φ≠0)，把正弦曲线上所有点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平移|φ|个长度单位就得到y=sin(ωx＋φ)的图象．新知探究4．探究φ对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响追问4回顾整个探究过程，你采用了哪些研究方法？答案：由特殊到一般，借用信息技术直观感知、发现规律，借助φ的实际意义和函数图象上点的坐标变化解释所得到的结论．新知探究5．探究ω(ω>0)对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响问题5类比参数φ对函数y＝sin(x＋φ)图象影响的探究过程，接下来该如何探究参数ω的变化对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响呢？请设计好你的探究思路，并进行自主探究．探究思路：（1）为了研究方便，不妨设φ=

（控制变量）．（5）归纳一般结论．（4）改变ω的取值，重复上述研究过程，写出获得的结论．（3）结合筒车模型，借助ω的实际意义和函数图象上点的坐标变化解释所得到的结论．（2）ω取不同的值，例如取ω=1，ω=2，利用信息技术做出它们的图象，观察它们图象的关系．新知探究5．探究ω(ω>0)对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响答案：当ω=1，ω=2时，动点M运动的轨迹对应的函数解析式分别为y＝sin(x＋φ)，y＝sin(2x＋φ)．追问1当ω=1，ω=2时，动点M运动的轨迹对应的函数解析式分别是什么？学生探究之后，教师追问：新知探究5．探究ω(ω>0)对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响

追问2如图，函数y＝sin(x＋φ)与函数y＝sin(2x＋φ)的图象之间存在着怎样的关系？答案：函数y＝sin(2x＋

)图象是将函数y＝sin(x＋

)图象沿横轴方向以它与y轴交点为固定点压缩为原来的

倍得到的．新知探究5．探究ω(ω>0)对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响

追问3你能借助ω的实际意义和函数图象上点的坐标变化解释“追问2”的结论吗？答案：ω的实际意义是盛水筒运动的角速度．在单位圆上，设动点M以Q1为起点，当ω=1时到达圆周上点P的时间为x1

s，当ω=2时到达圆周上点P的时间为x2

s．因为ω=2时动点的转速是ω=1时的2倍，所以x2=

x1．新知探究5．探究ω(ω>0)对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响图象上：设G(x，y)是函数y＝sin(x＋

)图象上的一点，那么K(x，y)就是函数y＝sin(2x＋

)图象上的点．这也就说明，函数y＝sin(x＋

)图象上所有点的横坐标缩短为原来的

倍（纵坐标不变），就得到y＝sin(2x＋

)的图象．

函数y＝sin(2x＋

)的周期为π，是函数y＝sin(x＋

)周期的

．从图象上也可以看出这个关系．新知探究5．探究ω(ω>0)对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响

追问4如果令ω＝

，3，

，对应的函数y=sin(ωx＋)图象与y=sin(x＋)的图象有什么关系呢？答案：通过实验操作和结合ω的实际意义解释，可以得到，当ω＝

，3，

时，对应的函数y=sin(ωx＋)图象可以分别看作函数y=sin(x＋)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍、缩短为原来的

倍、伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到的．新知探究5．探究ω(ω>0)对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响

追问5根据上面的研究，你能归纳出ω对函数y=sin(ωx＋φ)图象影响的一般化结论吗？答案：一般地，函数y=sin(ωx＋φ)的周期是

，把y=sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的

倍

（纵坐标不变），就得到y=sin(ωx＋φ)的图象．问题6（1）通过本节课的学习，你获得了哪些知识？请用结构框图表示．（2）回顾函数y=Asin(ωx＋φ)图象的研究过程，谈谈你获得了哪些研究经验？归纳小结现实世界中的匀速圆周运动函数y=Asin(ωx＋φ)参数φ，ω对函数y=sin(ωx＋φ)图象的影响函数y=sin(ωx＋φ)的性质答案：（1）（2）类比研究法：充分应用已有知识经验，比如类比二次函数图象的研究得到函数y=Asin(ωx＋φ)图象的研究