孙璐璐-容斥问题-教案

孙璐璐-容斥问题-教案孙璐璐-容斥问题-教案孙璐璐-容斥问题-教案xxx公司孙璐璐-容斥问题-教案文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度教案姓名孙璐璐授课方向数量关系授课内容容斥问题时长45分钟教学目标和要求了解容斥类题型的含义体会图解法解决容斥问题的思维过程。熟练掌握图解法。教学重点和难点教学重点：用图解法解决容斥问题。教学难点：图解法解决容斥问题的思维过程。教学内容及过程引入容斥问题是行测数量关系这一部分的常考题型。在国考中基本上每年都会考一道题。由“容斥问题是解决什么问题的”引出容斥问题是解决集合与集合之间交叉关系的。首先简单回顾一下集合与集合之间交叉关系的内容：1、AB集合A与集合B相交，我们根据以前学过的知识，我们都知道有一些符号：A∩B，A∪B,,I,¢都表示什么一些计算关系A∩B的补集和A∪B的补集是什么还有一个公式A∪B是什么我们发现这些符号和计算关系记忆都很模糊了，而且即使记得，也发现应用这个公式解决问题不是很方便。但是我们知道这个公式是从图像当中转化出来的，那也就是说解决容斥问题最好的方法还是容斥法。我们结合例题看一下图解法的解题思路和具体应用。两个集合相交时，应用图解法。例题一：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者而非奥运会志愿者的同学是多少A、3人B、9人C、10人D、17人ACBD分析：第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系。观察图形，发现图形中出现四个独立的区域。弄清楚图中各个部分表示的含义，那部分表示是奥运会自愿者而不是全运会自愿者那部分表示是全运会自愿者而不是奥运会自愿者那部分表示既是奥运会自愿者，又是全运会自愿者那部分表示两种自愿者都不是第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。A表示是奥运会自愿者而非全运会自愿者。B表示是全运会自愿者而非奥运会自愿者。C表示既是奥运会自愿者，又是全运会自愿者。D表示两种自愿者都不是。那么这样表示以后，我们会发现，题干当中任何一个概念都可以用字母的组合来实现。比如：奥运会自愿者就可以表示成A+C。第三步：根据题意建立等量关系了。A+B+C+D=50（1）A+C=10（2）B+C=17（3）D=30（4）要求全运会自愿者而非奥运会自愿者的同学数，就是图中的B。第四步：求解。在求解过程当中大家要注意，题中虽然给出四个未知数，列出四个方程，就一定都能求解。但是我们在求解这种问题的时候要注意问题是什么然后根据已知的4个方程，快速的组合出这个要求的数据就可以了。不需要把其他数据也求出来。B=(1)-(2)-(4)=50-10-30结合选项发现尾数都不一样，用尾数法计算，B的尾数为0直接选择C选项。小结：以上就是运用图解法来解决容斥问题，大家要好好体会一下它的解题过程。以及熟练把握我们的解题四步。结合选项运用尾数法选出正确答案。练习做讲义，经典例题2。对答案，点播。练习做讲义，经典例题3。这道题注意，先根据比例关系，求出具体数值。然后在根据题意画图，解题。小结：这是两个集合相交的时候，用这种方法就可以求解了。在做题过程中大家注意灵活掌握。那么在行测考试当中还经常考到比这个在复杂一点的题型。三个集合两两相交的情况。二、三个集合相交时，应用图解法例题4：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是A、69人B、65人C、57人D、46人1238分析：第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系。这个题就属于三个集合两两相交的情况，这个时候它形成8个封闭的区间。如果按照上面的方法，我们发先这样的时候封闭区间会太多。会设出8个未知数，列出8个方程。8元一次方程求解太困难了。所以这个时候会想到把几个部分放在一起看，从新设未知数的方法。第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。独立区间1、2、3都表示只看过一部影片的人。用字母A表示。独立区间4、5、6都表示只看过两部影片的人。用字母B表示。独立区间7表示三部影片都看过的人。用字母C表示。独立区间8表示三部影片都没看过的人。用字母D表示。那么这样表示以后，我们会发现，题干当中任何一个概念都可以用字母的组合来实现。第三步：根据题意建立等量关系了。A+B+C+D=125(1)A+2B+3C=89+47+63(2)C=24(3)D=20（4）这里注意等式而表示的是A表示1、2、3出现一次。2B表示4、5、6出现两次。3C表示7出现了三次。A+2B+3C刚好表示看过甲片的人，看过乙片的人，看过丙片的人的人次和。等式（1）和等式（2）一般来讲是所有三个集合两两相交的问题，必然会出现的两个等式，大家要好好体会，灵活掌握。第四步：求解。问题当中要求求解，“只看过两部影片的人数”就是这里的B。我们消去A、C、D就可以了。B=（2）+（4）-（1）-2（3）结合选项发现四个选项尾数均不同，利用尾数法求的B的尾数为6。故选择D选项。小结：四个步骤。第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系。第二步：第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。第三步：根据题意建立等量关系了。第四步：求解。练习做讲义，随堂练习2。对答案，点播。结：以上是关于容斥问题在行测考试当中最基本的两种考法。关于容斥问题，还有一种稍微复杂一点的考法。集合相交求“至多”和“至少”的问题。例题5：小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都最对的题目至少有几题A、4题B、8题C、12题D、16题分析：这道理你一看是不是就知道它考的是容斥问题，但是有同学算出来选什么了么为什么大部分同学看到这道题的时候不会做呢但是你看了答案好像还很简单的就算了出来。那是因为你欠缺了一种思维。一种由条件到答案的思维。其实这样的类型题你想清楚了，其实是很容易求解的。这个题给出的是三个集合之间求“至少”的问题。三个的直接看有点复杂，我们先看两个集合求最小的情况。（一）：两个集合求最小。ABCD分析：如我们开始学习的四步法。第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系。第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。用A表示小明答对，而非小刚答对的题目数。用B表示既是小明答对又是小刚答对的题目数。用C表示小刚答对，而非小明答对的题目数。用D表示两个人都未答对的题目数。第三步：根据题意建立等量关系了。A+B=68(1)B+C=58(2)A+B+C+D=100(3)第四步：求解。我们用（1）+（2）-（3）=B-D=68+58-100=26这里B和D都是未知量，但是通过分析我们能发现当D取最小值时，B也取最小值。D=0是它的最小值。（根据题意D不能为负，而这里A、B、C、D都表示整数）所以B=26为最小值。这里注意题中没问“至多”情况。如是“至多”也好理解，就是把小刚做对的58道，让小明也都做对。这样至多就是58道题了。结：以上我们分析了两个集合相交，求最小的情况，那三个集合相交求最小怎么求呢三个集合求最小。分析：大家都知道多米诺骨牌。它是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。多米诺是一种游戏，多米诺是一种运动，多米诺还是一种文化。其实它更蕴含一种思想，一种数学归纳的思想。我们既然分析了两个集合相交求“至少”的情况，那么接下来，我们可以把我们算得的小明与小刚的最小交集看成一个集合，在与小红的交，得到“至少的情况”，应该=26+78-100=4道。小结：这样我们就整理出来一个规律。规律：若N个集合交出一个最小值的话，一般来讲就是把所有集合加和，然后减去（N-1）×全集。就得到了。小结本节课的内容主要有两大部分：一个是容斥问题