2023学年度教案-二次函数的应用

【教学内容】北师大版九下二次函数的应用（第1课时）【教材分析】本节内容是在学完二次函数的图象及性质之后，进一步研究生活中的实际问题.本节共分2课时，这节课利用二次函数解决以最大面积为代表的实际问题.其中，通过引例让学生初步体会解决此类问题的基本思路；通过例1让学生进一步经历解决最值问题的过程，明确解决这类问题的一般步骤．【教学目标】1．经历最大面积问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值．2．能够分析和表示最大面积问题中变量之间的关系，并能运用二次函数知识求出最大值，增强解决问题的能力．【教学重、难点】教学重点：经历最大面积的探索过程，掌握解决这类问题的一般步骤.教学难点：确定自变量的取值范围.【评价】通过“问题一”，了解在解决实际问题中要考虑自变量的取值范围；通过“问题二”，了解矩形最大面积问题解决的思路；通过“问题三”，掌握几何图形最大面积问题解决的一般步骤.【教学过程】问题设计师生活动（一）创设情境“美丽中国”带来的生活环境改变.师：大家了解“美丽中国”吗？生：说出自己对“美丽中国”的认识.师：（图片展示）对比原来和现在的生活环境.〖设计意图〗体会“美丽中国”给生活和环境带来的巨大变化，培养学生爱国主义情怀，并为下面问题探究开展做好铺垫.（二）互助探究问题一：花圃最大面积小兰爸爸要在院子的空地上修建一个矩形的花圃（如图所示）.花圃的一边利用院墙（墙的最大可用长度为6米），另外三边用篱笆围成，篱笆总长为20米.设AB的长为x米，矩形花圃的面积为y平方米.（1）AB的长为x米，则BC的长为米，y关于x的函数表达式为.（2）当x=时，y有最大值.生：独立解决并回答.师：指导.（1）强调条件：“最大可用长度6米”.（2）求自变量取值范围.（3）展示图象：直观体会实际问题中的图象是二次函数图象的一部分.（4）强调实际问题要考虑自变量的取值范围.生：纠错.〖设计意图〗自变量取值范围是本节课理解的难点.“为什么要考虑自变量取值范围”？通过“花圃最大面积”，凸出了因未考虑自变量取值范围引发的错误，引起学生重视.明确问题解决时要考虑自变量取值范围，并在范围内确定二次函数最大值.问题二：鱼塘最大面积小兰家屋后有一块直角三角形的荒地（如图）.爷爷想要挖一个矩形鱼塘养鱼.小兰帮助爷爷设计了方案：在直角三角形内部作了一个矩形ABCD，AB、AD分别在两直角边上.（1）如果设矩形的一边AB=xm，用含x的代数式表示AD.（2）设矩形面积为y㎡，当AB为多少时，鱼塘面积最大，最大面积是多少？生：（1）尝试独立解决.（2）交流、汇报.师：指导.（1）巡视学生独立、交流完成情况，了解学情.（2）点拨引导，帮助学生、小组解决部分思路上的漏洞.（3）在学生汇报过程中，完善问题解决思路.（4）强调规范解题.生：纠错.〖设计意图〗通过“鱼塘最大面积”，初步体会最大面积问题解决的基本思路.“用含x的代数式表示AD”是建立矩形面积y与x的关键，因此通过问题（1）单独凸出该步的处理.整道题的解决过程通过让学生先独立尝试、再交流汇报，理清问题解决的思路.问题三：窗户最大面积小兰妈妈想把家里客厅的窗户装成如图的形状.它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m.（1）用含x的代数式表示y.（2）求x的取值范围.（取3）（3）x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到）此时，窗户的面积S是多少？（结果精确到㎡）生：（1）独立解决.（2）交流、板演、讲解.师：指导.（1）巡视学生独立、交流完成情况，了解学情.（2）点拨引导，帮助学生、小组解决部分思路上的漏洞.（3）在学生汇报过程中，完善问题解决思路，规范解答过程.生：纠错.〖设计意图〗通过“窗户最大面积”，将“最大面积”问题延伸到一般的几何图形（半圆与矩形的组合）.由于学生刚开始接触最大面积问题，缺少解决综合问题的经验，因此设计中将问题做了两步铺垫：先用含自变量x的代数式表示y,再求自变量的取值范围.在求取值范围时，由于较难把握，因此通过附加条件“取3”，在不影响结果的前提下，减轻理解、计算带来的压力，避免思维偏离重点.学生的学习过程凸出独立思考与合作交流相结合，在学生板演、讲解的基础上完善“几何图形最大面积”解决的思路.（三）步骤归纳师：将前面三个问题放在一起进行对比，逐步梳理，形成“几何图形最大面积”解决的一般步骤.（板书步骤重点）（1）引入自变量x，用含x的代数式表示另一相关量；（2）确定自变量x的取值范围；（3）构造关于x的二次函数；（4）求出二次函数最大值；（5）写出结论.〖设计意图〗通过“小结步骤”，将前三个问题对比展示，让学生再次经历解决“几何图形最大面积”问题的直观体验，掌握解决这类问题的步骤.（四）课堂总结生：谈本节课的收获.师：通过知识树引导学习升华.（1）能力：用二次函数知识解决最大面积问题（最优化问题）.（2）思想方法：二次函数建模思想.〖设计意图〗通过“课堂总结”，从知识、能力、思想方法三方面促进学生对知识更深刻的理解，实现知识的升华，能力的提高.（五）学习拓展1.在“鱼塘”问题中如果设矩形的一边AD=xm，当AD为多少时，鱼塘面积最大，最大面积是多少？2.在“鱼塘”问题中如果把矩形改为如图所示位置，其他条件不变，你能求出矩形最大面积是多少吗？生：尽力解决.师：引导学生学以致用，独立、完整的应用所学来解决问题.〖设计意图〗通过“学习拓展”，开拓学生解题视野，提高问题解决思维的多样化，提高利用知识解决问题的能力.同时，根据