人教版初中数学《图形的相似》专题突破含答案解析

专题05图形的相似一、单选题1．（2021·福建晋江·九年级期中）下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【分析】根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，逐项判断即可．【详解】解：A、，故选项错误；B、，故选项正确；C、2×8≠4×6，故选项错误；D、，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．2．（2021·四川兴文·九年级期中）若两个正方形的边长比是3：2，其中较大的正方形的面积为18，则较小的正方形的边长是（）A．8 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方即可求得答案．【详解】解：设较小正方形的面积为S，∵两个正方形的边长比是3：2，其中较大的正方形的面积是18，∴，解得：S=8，∴较小正方形的边长为，故选：B．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能够了解相似多边形的性质是解答本题的关键．3．（2021·河北桥西·九年级期中）如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用相似多边形的性质，构建方程求解即可．【详解】由题意可知，两个矩形相似，可以得到或，解得或，∵两个矩形不全等，∴（舍去），∴x=3，故答案选：A．【点睛】本题考查矩形的性质，相似多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用相似多边形的性质构建方程．4．（2021·河北桥西·九年级期中）若，则＝（）A．12 B． C． D．【答案】C【分析】利用等式和比例的性质求解即可．【详解】解：∴故选：C【点睛】此题考查了等式和比例的性质，解题的关键是熟练掌握等式和比例的性质．5．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级期中）如图，l1∥l2∥l3，且＝，则错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据比例的性质与平行线分线段成比例，列出比例式，逐项判断即可【详解】＝，,故A选项正确，不符合题意；l1∥l2∥l3，且＝，,故B选项正确，不符合题意；故D选项正确，不符合题意；根据已知条件不能求出的值，故C选项不正确，故选C．【点睛】本题考查了比例的性质与平行线分线段成比例，掌握比例的性质与平行线分线段成比例是解题的关键．6．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（）A．4 B．6 C．7 D．12【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AB：BC＝2：3，EF＝9，∴，解得：，故选：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，理解基本定理，准确找到对应线段是解题关键．7．（2021·广东揭东·九年级期中）若，则的值是（）A．1 B． C．3 D．无法确定【答案】C【分析】利用比例的性质得到，，，，代入计算即可得出答案．【详解】，，，，．故选：C．【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握常用的性质是解决本题的关键．8．（2021·河南西峡·九年级期中）如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，若，则四边形与四边形的面积之比等于（）A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9【答案】D【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，，，四边形与四边形的面积比为：，故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，解题的关键是掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质：面积比等于相似比的平方．9．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，若BP=-1，AB的长为（）A．+1 B．2 C．3+ D．3-【答案】A【分析】根据黄金分割的定义列出式子，再设出的长，从而将的长表示出来，再将、的长代入列出的等式中即可求出的长．【详解】解：如图所示，∵点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP∴设，∵∴∵∴∴∴∴的长为故选：A【点睛】本题主要考查了黄金分割点的相关知识，熟练掌握黄金分割点的定义是解答此题的关键．10．（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学九年级月考）如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的角平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EFAB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①证明∠DAE＝∠CDF，进而得∠DAF＋∠ADG＝90°，便可判断①的正误；②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF，得ED＝EF，得∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，得EFCD，便可判断②的正误；③由△AGF≌△AGD得AF＝AD，便可判断③的正误；④证明EF＝ED＝，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误．【详解】①∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAD＝∠BDC＝45°，∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，∴∠DAE＝∠CDF，∵∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠DAF+∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，即AG⊥DF，故①结论正确；②在△AGF和△AGD中，，∴△AGF≌△AGD（ASA），∴GF＝GD，∵AG⊥DF，∴EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，∴EFCDAB，故②正确；③∵△AGF≌△AGD（ASA），∴AD＝AF＝AB，故③正确；④∵EFCD，∴∠OEF＝∠ODC＝45°，∵∠COD＝90°，∴EF＝ED＝OE，∴，∴AB＝CD＝（）EF，故④错误．故选：C．【点睛】主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质与判定，涉及的知识点多，关系复杂，增加了解题的难度，关键是灵活运用这些知识解题．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝4，那么AP＝____．【答案】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【详解】解：由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，AB＝4，则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．【点睛】本题考查了黄金分割的概念．解题关键是熟记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．12．（2021·河南郑州·九年级期中）若，则______．【答案】【分析】根据可得：，代入运算求解即可．【详解】∵，∴，∴把代入得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质，正确计算是解题的关键．13．（2021·河南西峡·九年级期中）如图，直线，直线AB和直线DF分别与三条平行线相交．已知AC：CB＝2：3，EF＝6，则DE＝______．【答案】4【分析】利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．【详解】解：∵，∴AC：CB＝DE：EF，∴2：3=DE：6，∴DE＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．14．（2021·福建永安·九年级期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：AB＝1：3，AE＝1，则CE的长为____．【答案】2【分析】先由平行线分线段成比例定理求出AC＝3，再由EC＝AC−AE求出即可．【详解】解：∵DE∥BC，

∴，

∴AC＝3AE＝3×1＝3，

∴EC＝AC−AE＝3−1＝2，

故答案为：2．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．15．（2021·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学九年级期中）如图，△ABC中，D为BC上一点，且BD：CD＝2：3，点E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为_____．【答案】【分析】如图，过点D作DT∥BF交AC于点T．证明AF＝FT，CT：FT＝3：2，可得结论．【详解】解：如图，过点D作DT//BF交AC于点T．∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∵EF//DT，∴,∴AF＝FT，∵DT//BF，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．16．（2021·福建省惠安第一中学九年级期中）如图所示，一张矩形纸片ABCD的长BC=x，宽AB=1，沿EF将矩形纸片ABCD剪成大小相同的两个小矩形，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则原矩形的长x的值为_______．【答案】【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=x，AB=CD=1，∵剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，∴，即，∴（负值舍去），∴原矩形的长x的值为，故答案为：．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质，根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．17．（2021·福建南安·九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，若边DC绕点D顺时针旋转2α，使点C落在AB边上的点E处，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝α．则CF＝___．【答案】6【分析】连接EC，过点D作DH⊥EC于H点，证明ECAF，利用平行线分线段成比例定理即可求解．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠BCD=90°，AD=BC=4，AB=CD=5∵边DC绕点D顺时针旋转2α到DE，∴CD=DE=5∴AE=∴BE=5-3=2如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H点∴∠CDH=∠EDH（等腰三角形三线合一）∵∠F＝α=∠CDE，∠CDH=∠CDE∴∠F=∠CDH∵∠BCE+∠DCH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，∴∠BCE=∠CDH∴∠BCE=∠F∴ECAF∴∴∴CF=6故答案为：6．【点睛】此题主要考查矩形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是证明ECAF．18．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，D是边AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当直线A′E⊥AB时，A′B＝____．【答案】．【分析】由勾股定理，先求出AB的长度，然后利用平行线分线段成比例，求出，，再证明△ADG≌△，得到，，求得，利用勾股定理即可求出答案【详解】解：由题意，A′E⊥AB，垂足为点F，则，连接A′B，如图：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴，∵D是边AB的中点，∴，由折叠的性质，则，，∵，∴，∵∠C＝90°，∴DG∥BC，∴，即，∴，，在△ADG和△中，，∴△ADG≌△；∴，，∴，在直角中，由勾股定理，则．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．三、解答题19．（2021·四川·成都实外九年级期中）已知＝6（b+d+f≠0），且k＝．（1）求k的值；（2）若x1，x2是方程x2﹣5x+k﹣5＝0的两根，求x12+x22的值．【答案】（1）6；（2）23【分析】（1）根据题意可得，再代入k＝，即可求解；（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解．【详解】解：（1）∵＝6，∴，∴；（2）由（1）知，∴方程x2﹣5x+k﹣5＝0为，∵x1，x2是方程x2﹣5x+k﹣5＝0的两根，∴，∴．【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，一元二次方程根与系数的的关系，熟练掌握比例的基本性质，一元二次方程根与系数的的关系是解题的关键．20．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级期中）若，且x＋2y＋3z＝40，求3x＋4y＋5z的值．【答案】【分析】设，再根据，求得的值，然后求解即可．【详解】解：设，则，，，则，解得即，，【点睛】本题考查的知识点是比例的性质，解题的关键是熟练的掌握比例的性质．21．（2021·河南原阳·九年级期中）如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．（1）求证：；（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．【答案】（1）见解析；（2），【分析】（1）由平行线分线段成比例得出和，即推出．（2）设BF＝x，根据题意可求出，再根据（1）结论，即可求出x的大小，即可求出BF和CF的长．【详解】（1）证明：∵DF∥AC，∴，∵DE∥BC，∴，∴；（2）解：设，∵，∴，∵，且AE＝4，EC＝2，∴，解得：，∴，∴．【点睛】本题考查平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解答本题的关键．22．（2021·河南封丘·九年级期中）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．

任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．（2）若BD＝1，则BC的长为．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）在直角三角形△ABD中设则，利用勾股定理求出，再求出，即，则，即可得出结论；（2）若BD＝1，则，把AB代入到即可求出AC，进而可求出BC．【详解】解：（1）∵BD⊥AB，∴△ABD是直角三角形，∵BD＝AB，∴设则，∴，∵DE＝DB，AC＝AE，∴，∴∴，∴，故C是线段AB的黄金分割点．（2）若BD＝1，则，由（1）知，∴，∴，∴．【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义．23．（2021·安徽全椒·九年级期中）线段a、b、c，且（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足，求的值；【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）根据可得，由此即可得出答案；（2）设，从而可得，再根据可得的值，从而可得的值，然后代入计算即可得．【详解】解：（1）∵，∴，∴；（2）设，则，，，由得：，解得，所以，，，所以．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．24．（2021·安徽包河·九年级期中）如图所示，直线交坐标轴于A,B两点，与反比例函数交于点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D．若，求k的值．

【答案】．【分析】先根据一次函数的解析式求出点的坐标，从而可得的长，设点的坐标为，再根据已知的比例式可求出的值，从而可得点的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可得出答案．【详解】解：对于一次函数，当时，，即，由题意，可设点的坐标为，则，，，解得，经检验，是所列分式方程的解，，则点的坐标为，将点代入得：．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、比例的性质，根据比例式求出点的坐标是解题关键．25．（2021·河南西峡·九年级期中）（1）如图1，在中，∠B＝60°，∠C＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，且DE⊥AC．求．（2）将绕点A旋转角（），如图2，的值是否保持不变？并按图2的位置说明理由．【答案】（1）；（2）的值不变，仍等于，见解析【分析】（1）根据条件得，由平行线分线段成比例可得，，在中，由角所对的直角边等于斜边的一般及勾股定理找出，即可求出答案；（2）根据旋转的性质：旋转前后图形全等，故仍有，由（1）即可得证．【详解】解：（1），，，，，，在中，，，；（2）的值不变，仍等于．理由如下：由旋转的性质可得，旋转前后的图形的形状大小不变，由（1）知：，，．【点睛】本题考查相似三角形与旋转的性质，掌握平行线分线段成比例以及旋转前后图形全等是解题的关键．26．（2021·浙江衢州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且，AD分别与BC，OC相交于点E，F．（1）求证：CB平分∠ABD；（2）若AB＝8，AD＝6，求CF的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行线的性质证明∠OC