第四章-信号的检测和信号参数估计课件

第四章信号的检测和信号参数估计以正交表示为工具，将经典检测、估计扩展到观测为波形的检测和估计。14.1白噪声中检测已知信号一、相关接收与匹配滤波：观测是一个时间连续的随机波形。利用第三章的正交级数展开，可以将之变为一个高斯随机变量的集合：一般二元检测零均值高斯白噪声在H1和H0条件下，ri分别为：均值方差2知道H1和H0条件下的均值和方差，由高斯联合分布密度写出似然比：取对数并消去公共项得：同理可证：

3所以对数似然比可以写为：

其中

取决于准则：贝叶斯（代价因子、先验概率），N-P（虚警概率）从上面的推导可看出：

白噪声下已知信号的最佳检测方法是相关接收机/匹配滤波器。首先是将观测到的波形转变为判决空间的一个点，这个变换是一个相关运算，即：与的相关运算（相位同步），这一步对任何准则都不变。

4则：

得：

匹配滤波器对简单二元检测：一旦把接收波形转换到判决空间，波形不是主要的，检测性能决定于信号能量，只要变换到判决空间的同一点，所有情况是相同的。请复习第一讲匹配滤波器的推导－根据最大信噪比准则设计线性时不变接收机匹配滤波器的性质：

输出的最大信噪比与输入信号波形无关，延时T应选在全部信号结束后，信噪比在T时刻达最大。其冲击响应为信号波形的时间倒置（平移T）。5二、充分统计量由相关接收表示式由于对检测而言，真正有效维是在差信号方向，将其归一化：两个例题7三、检测性能参考P36页接收机工作特性：8结论：信号能量越大，d越大，检测性能越好；,时，最大9估计量是A的条件均值，在条件密度为多维的非高斯时，求均值是一个艰巨的任务。4.2白噪声中的信号参数估计经典估计理论：

MMSE估计MAP估计MAP方程：

需要把握住在什么条件下，这两者是等效的。求条件密度的最大值，有时是比较方便的。如何将经典参数估计的问题引入信号参数估计，仍采用K-L展开作为工具。10当待估计量是非随机的未知量时，可以略去求条件概率密度最大值时先要确定的先验概率分布。所以求最大值问题转化为求似然函数的最大值。等式右边与待估计量A有关的只有前两项，当不考虑时，剩下的就是似然函数一项。ML方程：

当先验知识完全不知道或者为均匀分布时，都应采用ML。ML估计相当于先验知识趋于零的MAP估计。

ML估计11一、估计公式设观测波形为：A是待估计的非随机参数讨论最大似然估计（ML）利用正交展开：零均值高斯白噪声是高斯变量，当有k个观测时，似然函数为：12与检测中的推导相同，有：可得：ML估计量所应满足的方程。13A是待估计的高斯分布的随机变量即：所以MAP估计为：则可应用MAP估计。这时只需在前述ML估计似然方程中左边增加一项：14二、估计性能经典检测和估计理论给出了随机参数（非随机参数）估计值的最小可能均方误差——又称估计均方误差的下界（C-R界），然后用任意方法（近似的、实验的）估计的误差与下边界比较，从而对所采用估计过程的质量进行评估，或者研究在什么条件下采用的估计方法可达均方误差下界。非随机参数估计的C-R界：由上节结果=补充证明15即由A到是线性映射，把上式代入若，则取等号。当时不等式取等号。所以：随机参数估计的C-R界为：其中三、特殊情况——线性调制参数估计1、若（A为非随机量）16可得ML似然估计量：均值为：无偏估计因为：满足C-R界取等号的条件，所以：172、若（A为0均值高斯分布随机量）线性估计器的框图：18结论：对线性调制参数估计（信号对参数求导后与参数无关），ML估计就是有效估计，可以达到方差的C－R下限值。估计误差的下限值，只有通过增加2E0/N0来降低，改变信号形式无用。

对线性调制参数估计，能量相同的任何信号的估计质量相同。非线性信号的估计则不然，它还可以通过改变信号的波形来提高估计的精度。19只有第三项积分与参数A有关，选择使此积分值最大，即为最大似然估计量（ML）,根据上述分析画出如下进行延迟时间估计的示意图：是一个非线性信号估计问题。A由信号的距离决定，是未知的非随机量，所以可用ML（似然）估计。为此，先应求似然函数，再求其最大值。四、应用举例——测量雷达的延迟时间20将信号延迟后与相关，当信号延迟到使相关输出最大时，该点就是估计量。21最佳波门函数：即为求似然函数的极值。利用CR界，可求时延估计方差的下界：所以最佳距离波门函数是的微分（白噪声条件下）。考虑巴塞伐尔定理和信号时延、导数的傅氏变换，估计方差下界为：22分子、分母同除以

Woodword公式称为有效带宽、或信号的均方根带宽。此式说明提高测距精度的两个途径：提高2E/N0，这和线性调制信号估计一样。加宽信号频谱，如窄脉冲、调频信号等。同理，可得出频率估计方差下界对应的表示式：T称为有效时宽23五、应用举例——相位估计高斯噪声由ML估计方程24

在大S/N时是渐近有效估计，在低S/N时，存在一个门限。可通过波形设计来改善估计精度。

精确确定接收机是困难的，近似充分统计量一般不存在，如果利用高频相位信息测距精度还可极大地提高，但出现多值性。

结论：25无限通带的噪声实际上是不存在的（无限通带的均匀谱密度意味着功率无穷大）。数据处理的前端一般是有限带宽，因此只能形成有限带宽的噪声。一些有源干扰源也只能是有限带宽的，这种通带有限的非白高斯过程又称色高斯过程。

4.3非白噪声下的信号检测与估计无论是检测还是估计问题，首先都要建立似然比，将似然比与相应准则下的门限比较得出判决，或寻求似然函数的最大值（或附加先验密度的条件），得出估计量。有两种方法得到色噪声条件下的似然比：白化，即可沿用白噪声下的全部结果。用K-L展开式，建立正交展开的坐标系，然后根据统计独立的ri

建

立似然比。在实际中常常需要在非白高斯噪声中检测和估计信号的参数，因为：26一、白化方法（简单二元检测）：假定：nc(t)为色噪声，w(t)为白噪声，两者均为零均值的高斯过程，协方差函数分别为和且假定r(t)通过一个线性时变滤波器

输出为：如果能得到：则称白化滤波器，其输出的噪声n*(t)是单位谱高的白高斯过程。故r*(t)似然比函数可写为：27直接写成r(t)的形式：

(a)定义一个新的函数：(b)或再定义：则：(c)28上式中右边第一项是有用的，与r(t)无关的第二项可以并入门限。与白高斯噪声下的似然函数十分相似。根据公式(a)、(b)和(c)，可用下面三种结构来描述色噪声下的二元检测最佳结构：白化结构：估计—相减结构：29其中，a、c是两种实际装置，b提供了一个有意义的说明。由上面三式可看出：必须解出hw(t,u)、g(t)或Qn(t,u)才能求出色噪声条件下的似然比。我们用Kc(t,u)的展开式来说明这三个量的求解问题（级数解），虽然没有完成这些量的最终闭式解（需解积分方程），但下述推导可以说明：1、解是存在的；2、估计—相减结构的含义；3、白分量存在的意义（一部分）。相关结构：下面求Qn(t,u)的级数解（hw(t,u)是概念上过渡用的，实际中并非要求出）首先看一下

与

的关系：

30用hw(t,v)乘两边，并对t积分可得：

意味着线性系统输出端的相关函数等于输入相关函数与系统冲击响应相关函数的卷积Kn(x,z)在积分方程中称为核函数，因此，可以将Qn(v,x)称为逆核。

31选择Qn(v,x)的形式为：参考

和接收信号的协方差Kr(t,u)，则滤波器冲激响应ho(t,u)对应W-H方程

最佳线性滤波器可见，ho(v,x)对协方差函数Kc(v,z)所对应的nc(t)进行最小均方误差滤波，从而得到非白噪声nc(t)的MMSE估计。因此前述结构b可等效为：已知消息a(t)的协方差Ka(t,u)32式中和是有色噪声协方差的特征值和特征函数，即满足：它相当于把色噪声估计出来减掉后，接着对白噪声进行处理。借鉴上述概念的应用实例：用于抑制干扰的旁瓣对消器、回声消除因此逆核为：参考上一章内容

注意：Qn(t,u)展为级数是不收敛的，但在大多数情况下Qn(t,u)是在积分号内的，而整个积分表示式是收敛的。补充，296页33二、检测性能：性能应和输入信号为s*(t)，白噪声谱高为2的最佳接收机相当。性能指标取决于d2，在简单二元检测条件下：即等于信号的能量（白化滤波后信号的能量）写成与输入信号的关系：所以

d虽然只取决于s*(t)的能量，并与它的形状无关，但是和接收机输入端的信号是有关的，那么选什么波形最佳？代入Qn(t,u)的级数展开有d2是si2的加权和，可以将信号的能量分布得使权系数较大的si2更大些。34如果有色噪声协方差存在一个最小的特征值，相应的特征函数为那么这个特征值所对应的上述加权系数最大。则最大的d2是使s(t)的波形与所对应的特征函数相同这时与之相应的si

最大

信号s(t)投影在所张成空间中所对应的坐标轴上，即信号的能量分布为：

如果（即在相应坐标轴上的观测噪声中只存在白噪声），则物理意义：若信号与有色噪声频谱不重合，则在检测前可完全去除色噪声影响！可见在采用最佳信号波形的情况下，色高斯噪声条件下的检测性能接近于白高斯噪声条件下的检测性能。35三、色噪声条件下的估计问题ML估计：白噪声下的ML估计为：可以用同样的白化方法导出有色观测噪声下的似然函数，从而可以得到色噪声条件下的极大似然估计方程：其中：若接收信号的噪声为白色噪声，则：讲义证明36MAP估计：C—R界：ML估计：MAP估计：374.4具有未知参数信号的检测（复合假设检验）前面讨论的都是信号完全已知的检测和估计问题。本节开始讨论具有未知参数的检测和估计。因为解决检测与估计问题的思路十分类似，故只讨论检测问题。无论在雷达和数字通信中，高频信号的相角常常是未知的，但在检测中又是无用的，故又称带有无用参数信号的检测。两种假设下的接收信号为：问题的解法和前面完全类似，先写出有限维观测空间的似然比，然后令维数趋于无穷大。所不同的是：在求两种假设下的条件密度时，为了消除参数，需要对积分。

两种假设下的似然函数为：38以简单二元检测为例：接收信号的似然比为：去掉常数项，可简化为：因为：所以：39是一个单调函数，故可通过修正门限而去掉，即：

未知参数的概率密度函数为：时

其中I0为第一类修正贝塞尔函数（0阶虚变量），控制密度的分散度(*)

40两边同乘

，得：

由（*）式看出，若取等号，形式上是一个圆的方程结构图为

41含有未知参数的信号检测判决区的几何解释如图：345页例2424.5多参数估计实际应用中存在不少多参数估计问题。在雷达中，最常发